一、选择题（每题3分，满分30分.） 1．4的平方根是（ ） A．16
B．2
C．±2
D．
2．下列调查中，适宜全面调查的是（ ） A．调查某班学生的身高情况
B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查春节联欢晚会的收视率 D．调查某城市的空气质量
3．下列各数中，是无理数的是（ ） A．3.1415
B．
C．
D．
4．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ） A．x+3＞y+3
B．x﹣3＞y﹣3
C．﹣3x＞﹣3y
D．
5．空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ） A．条形图 C．折线图
6．如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）
B．扇形图 D．频数分布直方图
A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE
7．如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条1m宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的上边线向下平移1m就是它的下边线，那么改造后小路的面积（ ）
A．变大了 B．变小了 C．没变 D．无法确定
8．已知x，y满足方程组A．x+y＝3
，则无论m取何值，下列各式总成立的是（ ）
B．x﹣y＝3
C．x+y＝7
D．x﹣y＝7
9．商店为了对某种商品促销，将定价为3元/件的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．现有27元钱，最多可以购买该商品的件数是（ ） A．9
B．10
C．11
D．12
10．为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产﹣﹣“抖空竹”引入阳光特色大课间．下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝100°，则∠E的度数是（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分.）
11． 如图所示，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是 ．
12．若是二元一次方程x+y＝1的一组解，则b＝ ．
13．把命题“两直线平行，同旁内角互补”改写成“如果…，那么…”的形式为： ．
14．若点M（2a﹣6，0）在x轴的负半轴上，则a的取值范围是 ．
15．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ．
16．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（x，y），若点A'的坐标为（﹣2y+1，x+1），则称A'为A（x，y）的倒映点，已知点P1（a，b）的倒映点为P2，点P2的倒映点为P3，P3的倒映点为P4，…，Pn﹣1的倒映点为Pn，若不论n取任意正整数，点Pn恒在y轴左侧，则a，b应满足的条件为 ．
三、解答题（本大题共9题，满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17．计算：
+
﹣
． ．
，并把解集在数轴上表示出来．
20．已知：A（﹣2，5），B（﹣2，0），C（3，2）． （1）在平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC． （2）写出点C到y轴的距离为 ． （3）写出△ABC的面积为 ．
18．解方程组：19．解不等式组：
21．促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某年级为该年级全体学生举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了30名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，被抽取的30名学生成绩如下：
150 149 114 178 120 188 121 158 135 177 126 171 196 166 132 199 149 82 156 130 141 103 155 169 159 137 162 142 182 143 对这30个数据按组距20进行分组，并统计整理绘制了尚不完整的统计图表． 频数分布表
组别 A B C D E F
请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：m＝ ，n＝ ； （2）补全频数分布直方图；
（3）若该年级共有600人，请估计该年级学生一分钟跳绳的次数不少于160次的人数．
次数分组 80≤x＜100 100≤x＜120 120≤x＜140 140≤x＜160 160≤x＜180 180≤x＜200
频数 1 m 7 10 6 n
22．数学课上，陈老师说：“同学们，如果∠A的两边与∠C的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下∠A与∠C的数量关系吗？”
（1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据AB∥CD，AE∥CF的条件，得出了∠A＝∠C的结论，请你帮他写出说理过程．
（2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗？ ．（填“同意”或“不同意”）．如果不同意，请写出你的结论： ．
23．小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？
24．建党一百周年之际，某中学组织七年级师生到花都区九湖村农民纪念馆开展红色教育活动．活动需要租车，某旅游公司有A、B两种客车可供租用．若租用2辆A型客车和3辆B型客车共需费用6000元；若租用1辆A型客车和2辆B型客车共需费用3500元． （1）求租用A、B两种客车，每辆费用各多少元？
（2）该学校根据实际情况，计划租用A、B型两种客车共8辆．在保证租车总费用不超过9500元的前提下，求A型车最多能租用多少辆？
（3）每辆A型客车满载客量为40人，每辆B型客车满载客量为25人，在（2）的条件下，若七年级共有师生230人，为保证师生都有座位，请写出所有可能的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱？
25．“长度”和“角度”是几何学研究的核心问题．相交线与平行线的学习，让我们对“角度转化”有了深刻的体会．某数学兴趣小组受此启发，试图沟通“角度”与“长度”间的关系．在研究过程中他们发现了一条关于三角形的重要结论﹣﹣“等角对等边”，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 如右图，在△EBD中，若∠B＝∠D，则ED＝EB．
以此为基础，该兴趣小组邀请你加入研究，继续解决如下新问题： 在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），已知（a+3）2+上
方
的
＝0，点C为x轴
一
点．
（1）如图1，若∠ABC的角平分线交AC于点D，已知点D（﹣2，2），BC上有一点E（1，2）．
则①DE与x轴的位置关系为 ； ②求BE的长度；
（2）如图2，AH、BH分别平分∠CAB、∠CBA，过H点作AB的平行线，分别交AC、BC于点F、G．若F（m，n），G（m+4，n），求四边形ABGF的周长；
（3）当点C为x轴上方的一动点（不在y轴上）时，连接CA、CB．若∠CAB邻补角的角平分线和∠CBA的角平分线交于点P，过点P作AB的平行线，分别交直线AC、直线BC于点M、N．随着点C移动，图形形状及点P、M、N的位置也跟着变化，但线段MN、AM和BN之间却总是存在着确定的数量关系，请直接写出这三条线段之间的数量关系 ．
参考答案
一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求.） 1．4的平方根是（ ） A．16
解：∵（±2）2＝4， ∴4的平方根是±2， 故选：C．
2．下列调查中，适宜全面调查的是（ ） A．调查某班学生的身高情况
B．2
C．±2
D．
B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查春节联欢晚会的收视率 D．调查某城市的空气质量
解：A．调查某班学生的身高情况，适宜用全面调查，故此选项符合题意； B．调查某批次汽车的抗撞击能力，应采用抽样调查，故此选项不合题意； C．调查春节联欢晚会的收视率，应采用抽样调查，故此选项不合题意； D．调查某城市的空气质量，应采用抽样调查，故此选项不合题意． 故选：A．
3．下列各数中，是无理数的是（ ） A．3.1415
B．
C．
D．
解：A、3.1415是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、C、D、
是无理数，故此选项符合题意；
是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； ＝2，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x+3＞y+3 B．x﹣3＞y﹣3 C．﹣3x＞﹣3y D．
解：A、在不等式x＞y的两边同时加上3，不等号的方向不变，即x+3＞y+3，原变形正确，故此选项不符合题意．
B、在不等式x＞y的两边同时减去3，不等号的方向不变，即x﹣3＞y﹣3，原变形正确，故此选项不符合题意．
C、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣3，不等号的方向改变，即﹣3x＜﹣3y，原变形错误，故此选项符合题意．
D、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等号的方向不变，即＞，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：C．
5．空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ） A．条形图 C．折线图
B．扇形图 D．频数分布直方图
解：条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，易于比较数据之间的差别，故A选项不符合题意；
扇形统计图中用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小，故B选项符合题意；
折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势，故C选项不符合题意； 频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势，故D选项不符合题意． 故选：B．
6．如图，能判定EC∥AB的条件是（ ）
A．∠B＝∠ACE B．∠A＝∠ECD C．∠B＝∠ACB D．∠A＝∠ACE
解：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误； B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误； D、正确． 故选：D．
7．如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条1m宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的上边线向下平移1m就是它的下边线，那么改造后小路的面积（ ）
A．变大了 B．变小了 C．没变 D．无法确定
解：根据平移的性质可知，改造后小路的面积没变． 故选：C．
8．已知x，y满足方程组A．x+y＝3 解：
①﹣②，得， x﹣y﹣7＝0， ∴x﹣y＝7， 故选：D．
9．商店为了对某种商品促销，将定价为3元/件的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．现有27元钱，最多可以购买该商品的件数是（ ） A．9
B．10
C．11
D．12
，
，则无论m取何值，下列各式总成立的是（ ）
B．x﹣y＝3
C．x+y＝7
D．x﹣y＝7
解：设可以购买该商品x件，
依题意得：3×5+3×0.8（x﹣5）≤27， 解得：x≤10． 故选：B．
10．为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产﹣﹣“抖空竹”引入阳光特色大课间．下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝100°，则∠E的度数是（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
解：如图2所示：延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，∠EAB＝70°， ∴∠EAB＝∠EFC＝70°， ∵∠ECD＝∠E+∠EFC， ∴∠E＝∠ECD﹣∠EFC， ∵∠ECD＝100°，
∴∠E＝110°﹣70°＝30°， 故选：A．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分.）
11．如图所示，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是 垂线段最短 ．
解：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，简称：垂线段虽短， 故答案为：垂线段最短． 12．若解：把∴b＝3，
是二元一次方程x+y＝1的一组解，则b＝ 3 ． 代入x+y＝1得：﹣2+b＝1，
故答案为：3．
13．把命题“两直线平行，同旁内角互补”改写成“如果…，那么…”的形式为： 如果两直线平行，那么同旁内角互补 ．
解：“两直线平行，同旁内角互补”的条件是：“两直线平行”，结论为：“同旁内角互补”，
∴写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两直线平行，那么同旁内角互补”． 故答案为：如果两直线平行，那么同旁内角互补．
14．若点M（2a﹣6，0）在x轴的负半轴上，则a的取值范围是 a＜3 ． 解：因为点M（2a﹣6，0）在x轴的负半轴上， 所以2a﹣6＜0， 解得a＜3． 故答案为：a＜3．
15．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为
．
解：由题意可得，
，
故答案为：
．
16．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（x，y），若点A'的坐标为（﹣2y+1，x+1），则称A'为A（x，y）的倒映点，已知点P1（a，b）的倒映点为P2，点P2的倒映点为P3，P3的倒映点为P4，…，Pn﹣1的倒映点为Pn，若不论n取任意正整数，点Pn恒在y轴左侧，则a，b应满足的条件为 ﹣1＜a＜0，
．
解：设Pn（an，bn），根据题意，
得：，，，，
可知P4以后的点和前面的开始重复， ∵点Pn恒在y轴左侧，
∴a＜0，﹣2b+1＜0，﹣a﹣1＜0，2b﹣2＜0， 解得：﹣1＜a＜0，＜b＜1， 故答案为：﹣1＜a＜0，＜b＜1．
三、解答题（本大题共9题，满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17．计算：
+
﹣
．
解：原式＝9﹣3﹣3＝3． 18．解方程组：解：
，
．
①+②，得3x＝6， 解得：x＝2，
把x＝2代入①，得2+3y＝﹣1， 解得：y＝﹣1， 所以方程组的解是19．解不等式组：
．
，并把解集在数轴上表示出来．
解：解不等式2x﹣3＜5，得：x＜4， 解不等式3x+1≥﹣2，得：x≥﹣1， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜4， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20．已知：A（﹣2，5），B（﹣2，0），C（3，2）． （1）在平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC． （2）写出点C到y轴的距离为 3 ． （3）写出△ABC的面积为 12.5 ．
解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）点C到y轴的距离为3． 故答案为：3．
（3）△ABC的面积＝×5×5＝12.5．
21．促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某年级为该年级全体学生举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了30名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，被抽取的30名学生成绩如下：
150 149 114 178 120 188 121 158 135 177 126 171 196 166 132
199 149 82 156 130 141 103 155 169 159 137 162 142 182 143 对这30个数据按组距20进行分组，并统计整理绘制了尚不完整的统计图表． 频数分布表
组别 A B C D E F
请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：m＝ 2 ，n＝ 4 ； （2）补全频数分布直方图；
（3）若该年级共有600人，请估计该年级学生一分钟跳绳的次数不少于160次的人数．
次数分组 80≤x＜100 100≤x＜120 120≤x＜140 140≤x＜160 160≤x＜180 180≤x＜200
频数 1 m 7 10 6 n
解：（1）由题意知100≤x＜120的频数m＝2，180≤x＜200的频数n＝4， 故答案为：2、4；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）估计该年级学生一分钟跳绳的次数不少于160次的人数为600× ＝200（人）．
22．数学课上，陈老师说：“同学们，如果∠A的两边与∠C的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下∠A与∠C的数量关系吗？”
（1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据AB∥CD，AE∥CF的条件，得出了∠A＝∠C的结论，请你帮他写出说理过程．
（2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗？ 不同意 ．（填“同意”或“不同意”）．如果 不同意，请写出你的结论： 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ．
解：（1）如图，
理由：∵AB∥CD，AE∥CF， ∴∠A＝∠1．∠1＝∠C， ∴∠A＝∠C；
（2）不同意甲同学的结论，
结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 理由：如图，AB∥CD，AE∥CF．
∵AE∥CF， ∴∠A+∠1＝180°． ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠C， ∵∠2＝∠1， ∴∠1＝∠C， ∴∠A+∠C＝180°， 即∠A与∠C互补．
由（1）（2）可以得出的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：不同意，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 23．小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？
解：不同意，因为正方形的面积为36cm2，故边长为6cm，
设长方形的宽为xcm，则长为2xcm， 长方形面积＝x⋅2x＝2x2＝20，解得x＝长为
，
，
即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片．
24．建党一百周年之际，某中学组织七年级师生到花都区九湖村农民纪念馆开展红色教育活动．活动需要租车，某旅游公司有A、B两种客车可供租用．若租用2辆A型客车和3辆B型客车共需费用6000元；若租用1辆A型客车和2辆B型客车共需费用3500元． （1）求租用A、B两种客车，每辆费用各多少元？
（2）该学校根据实际情况，计划租用A、B型两种客车共8辆．在保证租车总费用不超过9500元的前提下，求A型车最多能租用多少辆？
（3）每辆A型客车满载客量为40人，每辆B型客车满载客量为25人，在（2）的条件下，若七年级共有师生230人，为保证师生都有座位，请写出所有可能的租车方案，并确定哪种租车方案最省钱？
解：（1）设租用每辆A型客车需要x元，每辆B型客车需要y元， 依题意得：解得：
．
，
答：租用每辆A型客车需要1500元，每辆B型客车需要1000元． （2）设租用A型车m辆，则租用B型车（8﹣m）辆， 依题意得：1500m+1000（8﹣m）≤9500， 解得：m≤3．
答：A型车最多能租用3辆．
（3）依题意得：40m+25（8﹣m）≥230， 解得：m≥2，
又∵m≤3，且m为整数， ∴m可以取2，3， ∴共有2种租车方案，
6辆B型车， 方案1：租用2辆A型车，该方案所需费用为1500×2+1000×6＝9000（元）；5辆B型车， 方案2：租用3辆A型车，该方案所需费用为1500×3+1000×5＝9500（元）．∵9000＜9500，
∴租车方案1最省钱．
25．“长度”和“角度”是几何学研究的核心问题．相交线与平行线的学习，让我们对“角度转化”有了深刻的体会．某数学兴趣小组受此启发，试图沟通“角度”与“长度”间的关系．在研究过程中他们发现了一条关于三角形的重要结论﹣﹣“等角对等边”，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 如右图，在△EBD中，若∠B＝∠D，则ED＝EB．
以此为基础，该兴趣小组邀请你加入研究，继续解决如下新问题： 在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），已知（a+3）2+上
方
的
＝0，点C为x轴
一
点．
（1）如图1，若∠ABC的角平分线交AC于点D，已知点D（﹣2，2），BC上有一点E（1，2）．
则①DE与x轴的位置关系为 平行 ； ②求BE的长度；
（2）如图2，AH、BH分别平分∠CAB、∠CBA，过H点作AB的平行线，分别交AC、BC于点F、G．若F（m，n），G（m+4，n），求四边形ABGF的周长；
（3）当点C为x轴上方的一动点（不在y轴上）时，连接CA、CB．若∠CAB邻补角的角平分线和∠CBA的角平分线交于点P，过点P作AB的平行线，分别交直线AC、直线BC于点M、N．随着点C移动，图形形状及点P、M、N的位置也跟着变化，但线段MN、AM和BN之间却总是存在着确定的数量关系，请直接写出这三条线段之间的数量关系 BN＝AM+MN ．
解：（1）①∵点D（﹣2，2），点E（1，2），
∴DE∥AB，DE＝3， 故答案为平行； ②∵DE∥AB， ∴∠EDB＝∠DBA， ∵DB平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBE， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴DE＝BE＝3； （2）∵（a+3）2+∴a＝﹣3，b＝3，
∴点A（﹣3，0），B（3，0）， ∴AB＝6，
∵F（m，n），G（m+4，n）， ∴FG＝4，FG∥AB，
∴∠FHA＝∠HAB，∠GHB＝∠ABH， ∵AH、BH分别平分∠CAB、∠CBA， ∴∠FAH＝∠HAB，∠GBH＝∠ABH， ∴∠FAH＝∠FHA，∠GHB＝∠GBH， ∴AF＝FH，BG＝HG，
∴四边形ABGF的周长＝AB+AF+FH+HG+BG＝AB+2FG＝14； （3）BN＝AM+MN，理由如下， 如图3，
＝0，
∵PA平分∠CAE，PB平分∠ABC， ∴∠PAE＝∠PAC，∠PBA＝∠PBC， ∵PN∥AB，
∴∠NPB＝∠PBA，∠NPA＝∠PAE，
∴∠NPA＝∠PAC，∠NPB＝∠PBN， ∴PM＝AM，BN＝PN， ∵PN＝PM+MN， ∴BN＝AM+MN．
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