一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）复数z=A．﹣5
的虚部为（ ） B．﹣2
C．5
D．﹣5i
2．（5分）某校为了调査年级对徒步活动的满意度决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级中抽取若干人组成调查小组进行调查相关数据见下表：
高一 高二 高三 人数 560 490 420 抽取人数 a b 6 则调查小组的总人数为（ ） A．18
B．21
C．24
D．28
3．（5分）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将其纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象对应的函数解析式为（ ） A．y=f（2x）
B．y=f（x）
C．y=2f（2x）
D．y=2f（x）
4． （5分）用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于90°”时，应假设（ ）A．四个内角都大于90° B．四个内角都不大于90° C．四个内角至多有一个大于90° D．四个内角至多有两个大于90°
1 / 22
5．（5分）下面的散点图与相关系数r一定不符合的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4 C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
6．（5分）已知A、B、C是复平面内的三个不同点，点A、C对应的复数分别是1+i，4﹣2i，若A．
=2
，则点B表示的复数是（ ）
B．2
C．2i
D．3﹣i
7．（5分）从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如图，若该质量指标的平均数，众数，中位数分别为a，b，c，则由频率分布直方图估计a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．（5分）已知a，b是两个不相等的正实数，且a+b=1，那么（ ）
A．2ab B．＜2ab
2 / 22
C． D．2ab
22222
9．（5分）已知某组数据的方差s= [（x﹣3）+（x2﹣3）+（x3﹣3）+…+（x6﹣3）]，
则：x1+x2+x3+……+x6=（ ） A．3
B．6
C．18
D．36
10．（5分）将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2018项为（ ）
A．1009×2021
B．1010×2017
C．1010×2023
D．1011×2019
11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）=0，则在下列不等关系中，一定成立的是（ ） A．f（1）＞ef（2） C．f（1）+ef（2）＞0
B．f（1）＜ef（2） D．f（1）+ef（2）＜0
12．（5分）为了对某校的一次考试的物理和数学成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）和物理分数如下： 学生编号 数学分数x 物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95 60 65 70 x4 x5 x6 90 95 1 2 3 4 5 6 7 8 3 / 22
其中，第4、5、6位同学的数学成绩丢失，但已知x，
（xi
2
）=1050，
y≈84.88
=58087，（yi
2
）=456，（（xi
）（yi
=688，）≈77.5
且物理分数和数学分数的线性回归方程为y=0.66x（系数精确到0.01），则约为（ ）
参考公式： =x， ==，
（xi）=
2
x
2
A．21.5 B．23.4 C．32.5 D．33.73
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
3
13．（5分）已知z∈C，复数z的共轭复数=3﹣2i，则|z|= ．
214．（5分）已知函数f（x）=x﹣3x+lnx，则函数f（x）的单调递减区间是 ．
15．（5分）有限与无限转化是数学中一种重要思想方法，如在《九章算式》方田章源田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程．例如：0.1•4•表示“14”这个循环节无限次循环，但是0.1•4•却是确定的某个值，设为x，即设x=0.1•4•，则x=0.14
，解得x=
，类比根式
中“…”即代表无限次重复，则该根式的值为 ．
16．（5分）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=cosθ，以极点O为坐标原点，x轴非负半轴为极轴建立平面直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为
（其中φ为
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参数），又过原点的直线l1的方向向量是（cosα，sinα），α∈（0，），将l1顺时针旋转
得到l2，且l1与C1交于O、P两点，l2与C2交于O、Q两点，则当|OP|•|OQ|取得最大值时，点P的直角坐标是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）为了备战2018年8月的广东省运动会，需在甲、乙两名运动员中选取一名参赛．现对甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩进行统计，并得到茎叶图如图： 已知甲、乙两名运动员该项测试成绩的平均数相同．
（1）根据题目信息，求m的值及甲运动员测试成绩的中位数．
（2）计算两运动员成绩的方差，根据计算结果，对两人的训练成绩作出评价．
18．（12分）随着智能手机的兴起，手机对人的生活影响越来越大．若规定平均每天使用手机超过2小时为“手机控”．某地区教育主管部门为了了解手机使用情况对在校学生学习的影响，从所辖区在校学生中抽取若干人调查．已知被调查的学生中，“手机控”的人数
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为196人，刚好占调查人数的一半，且“手机控”中成绩较上一学年退步的有56人．其他被调查的学生中，成绩退步的有28人． 2列联表： （1）根据题目所给的数据完成如下2×
手机控 非手机控 总计 成绩退步 成绩无退步 总计 （2）根据列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“手机控”与学习退步有关系？并说明理由．对今后的学习有什么指导意义？ 附：K2= P（K2≥k） k
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB=6，BC=8，AC=10，BB1=3，E为A1C1的中点，过A、B、E的平面与B1C1交于点F． （1）求证：点F为B1C1的中点；
（2）四边形ABFE是什么平面图形？说明理由，并求其面积．
6 / 22
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
20．（12分）已知函数f（x）=ax+blnx+在x=1处取得极值3，且在x=2处的切线与直线x+y﹣3=0垂直． （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）在区间[
]上的最大值．
221．（12分）在以O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=4ρcosθ﹣3，
直线l的极坐标方程是：θ=α． （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A、B，求
的最大值．
7 / 22
22．（12分）已知函数f（x）=
﹣（a+1）x，g（x）=lnx，a＞0．
（1）讨论函数y=f（x）+g（x）的单调性；
（2）证明：∀x＞0，g（x）＞恒成立．
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2019年佛山高二下学期期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出． 【解答】解：复数z=故选：A．
2．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【解答】解：设调查小组的总人数为n， 则由分层抽样的定义得=则n=21， 故选：B．
3．【分析】根据函数图象的平移伸缩变换关系进行求解即可．
【解答】解：将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）， 得到y=f（2x），
再将其纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象对应的函数解析式为y=2f（2x）， 故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的变换关系，结合函数平移变换法则是解决本题的关键．比较基础．
4．【分析】根据命题：“平面四边形四个内角中至少有一个不大于90”的否定是：假设四内角都大于90°，由此得到答案．
9 / 22
==﹣2﹣5i的虚部为﹣5．
==，
【解答】证明：用反证法证明命题：“平面四边形四个内角中至少有一个不大于90”时， 应假设命题的否定成立，
而命题：“平面四边形四个内角中至少有一个不大于90”的否定是： 假设四内角都大于90°， 故选：A．
【点评】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．
5．【分析】根据散点图与相关系数|r|的定义，结合题意判断正误即可．
【解答】解：对于（1），变量x，y的散点图从左向右是下降的，所以相关系数r＜0，（1）错误；
对于（2），变量x，y的散点图从左向右是上升的，所以相关系数r＞0，（2）正确； 对于（3），变量x，y的散点图从左到右是向下的带状分布，所以相关系数r＜0，（3）错误； 对于（4），变量x，y的散点图从左向右是上升的带状分布，所以相关系数0＜r＜1，（4）错误；
综上，散点图与相关系数r一定不符合的是（1）（3）（4）． 故选：C．
【点评】本题考查了散点图与相关系数的应用问题，是基础题．
6．【分析】由已知求出A，C的坐标，设出B的坐标，再由已知向量等式列式求解． 【解答】解：由题意可知，A（1，1），C（4，﹣2）， 设B（x，y）， 则由
=2
，
，
，得（4﹣x，﹣2﹣y）=（2x﹣2，2y﹣2），
10 / 22
∴，即x=2，y=0．
∴点B表示的复数为2． 故选：B．
【点评】本题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量相等的条件，是基础题．7．【分析】由频率分布直方图分别求出平均数a，众数b，中位数c，由此能求出结果． 【解答】解：由频率分布直方图得：
20×20+0.03×40×20+0.015×60×20=44， 平均数a=0.005×众数b=
=40，
中位数c=∴b＜c＜a． 故选：C．
≈43.3，
【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．【分析】用特殊值代入法，取a=，b=代入计算，再比较大小即可． 【解答】解：根据题意，用特殊值代入法， 令a=，b=，
则2ab=，
=（a2+b2）（a+b）=，
=，
11 / 22
∴2ab＜故选：D．
＜．
【点评】本题考查了代数式比较大小的应用问题，是基础题． 9．【分析】利用方差公式直接求解． 【解答】解：∵某组数据的方差：
s2= [（x﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+…+（x6﹣3）2]， ∴x1+x2+x3+……+x6=6×3=18． 故选：C．
【点评】本题考查一组数据的和的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．【分析】根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论．
【解答】解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为： n=1时，a1=2+3=×2； （2+3）×
n=2时，a2=2+3+4=×3； （2+4）×…
由此我们可以推断：
an=2+3+…+（n+2）=×[2+（n+2）]×（n+1）
∴a2018=故选：D．
12 / 22
=1011×2019．
【点评】本题考查数列的第2018项求法，考查简单的合情推等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是中档题．
xx
11．【分析】根据题意，设g（x）=ef（x），对其求导可得g′（x）=e[f（x）+f'（x）]，分
析可得g′（x）＞0，则函数g（x）在R上为增函数，据此可得g（1）＜g（2），代入g
x
（x）=ef（x）中分析可得答案．
xxxx
【解答】解：根据题意，设g（x）=ef（x），其导数g′（x）=ef（x）+ef′（x）=e[f（x）
+f'（x）]，
又由函数f（x）与其导函数f'（x）满足f（x）+f'（x）＞0， 则有g′（x）＞0，则函数g（x）在R上为增函数， 则有g（1）＜g（2），
2
即ef（1）＜ef（2），变形可得f（1）＜ef（2），
故选：B．
【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意结合导数的计算公式构造函数g（x），是中档题．
12．【分析】根据已知求出，，代入=【解答】解：∵
x
2
可得答案．
2
）=1050，
，
（xi（xi
2）=
x
2
∴1050=49100﹣8∴=77.5， 又由=84.875， ∴=故选：D．
=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，
13 / 22
【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，难度不大，属于基础题．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．【分析】利用虚数单位i的性质化简，再由|z|=||求解．
3
【解答】解：由=3﹣2i=3+2i，
得|z|=||=故答案为：
． ．
【点评】本题考查虚数单位i的性质，考查复数模的求法，是基础题．
14．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可． 【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=2x﹣3+=
，
令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，
故函数f（x）在（，1）递减，
故答案为：（，1）
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题． 15．【分析】设
的值．
【解答】解：设则
，x≥0，
=x， =x，则
2
，x≥0，从而6+x=x，由此能求出根式
∴6+x=x2，
14 / 22
解得x=﹣2（舍）或x=3． ∴根式故答案为：3．
【点评】本题考查根式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16．【分析】化曲线C2的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程，设点P极点坐标（ρ1，α），即ρ1=cosα．点Q极坐标为（ρ2，
），即ρ2=2sin（α﹣
）．代入|OP|•|OQ|，
=3．
利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可求解．
2222
，可得x+（y﹣1）=1，即x+y﹣2y=0，
【解答】解：由
∴ρ2=2ρsinθ，即曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ． 又过原点的直线l1的方向向量是（cosα，sinα），α∈（0，
），
则直线l1的极坐标方程为θ=α，α∈（0，
），
可得到l2：
．
设点P极点坐标（ρ1，α），即ρ1=cosα． 点Q极坐标为（ρ2，α﹣
），即ρ2=2sin（α﹣
）．
则|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=cosα•2sin（α﹣）=2cosα•（sinα﹣cosα）=sin（2α﹣）﹣．
∵α∈（0，），
∴2α﹣∈（﹣，），
15 / 22
当2α﹣=，即α=时，|OP|•|OQ|取最大值，
此时P的极坐标为（，），直角坐标为（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、直线与曲线相交弦长公式、直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【分析】（1）由题意得88+92+90+m+96+98+102=89+92+95+95+98+101，从而解得m=4，由此能求出甲的中位数．
（2）甲、乙两名运动员该项测试成绩的平均数为95．由此能求出甲、乙的方差，由此得到乙的训练成绩更好． 【解答】解：（1）由题意得：
88+92+90+m+96+98+102=89+92+95+95+98+101， 解得m=4，
甲的成绩从小到大为：88，92，94，96，98，102， ∴甲的中位数为：
=95．
（2）甲、乙两名运动员该项测试成绩的平均数为：（89+92+95+95+98+101）=95．
∴甲的方差为：
2
= [（88﹣95）2+（92﹣95）2+（94﹣95）2+（96﹣95）2+（98﹣95）
+（102﹣95）2]=18，
16 / 22
乙的方差为：
2
= [（89﹣95）2+（92﹣95）2+（95﹣95）2+（95﹣95）2+（98﹣95）
+（101﹣95）2]=15．
∵甲与乙的平均数相同，甲的方差大，甲不如乙稳定， 故乙的训练成绩更好．
【点评】本题考查平均数、中位数、方差的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．【分析】（1）根据已知构建方程计算出表格中手机控和非手机控及成绩有无退步的人数，并填入表格的相应位置．
22
（2）根据列联表，及K的计算公式，计算出K的值，并代入临界值表中进行比较，不难
得到答案．
2列联表如下所示： 【解答】解：（1）根据题目所给的数据完成如下2×
手机控 非手机控 总计 2
（2）由K=
成绩退步 56 28 74 成绩无退步 140 168 308 总计 196 196 392
得≈13.484，
因为13.484＞10.828，所以能在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“手机控”与学习退步有关系．
【点评】独立性检验，就是要把采集样本的数据，利用公式计算
17 / 22
的值，比较与临界值的大小关系，来判定事件A与B是
否无关的问题．具体步骤：（1）采集样本数据．（2）由计
222算的K值．（3）统计推断，当K＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当K
2
＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当K＞10.828时，有99.9%的把握说事
件A与B有关．
19．A1B1∥EF，【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理，证明A1B1∥平面ABFE，可得点F为B1C1的中点；
（2）四边形ABFE是直角梯形，先判断四边形ABFE是梯形；再判断梯形ABFE是直角梯形，从而计算直角梯形ABFE的面积．
【解答】解：（1）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1∥AB， A1B1⊄平面ABFE，∴A1B1∥平面ABFE， 又EF⊂平面A1B1C1，∴A1B1∥EF，
又E为A1C1的中点，∴点F为B1C1的中点； （2）四边形ABFE是直角梯形，理由为： 由（1）知，EF∥AB，且EF=A1B1=AB， ∴四边形ABFE是梯形；
又侧棱B1B⊥底面ABC，∴B1B⊥AB； 又AB=6，BC=8，AC=10， ∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC， 又B1B∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1； 又BF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥BF；
18 / 22
∴梯形ABFE是直角梯形； 由BB1=3，B1F=4，∴BF=5； 又EF=3，AB=6，
∴直角梯形ABFE的面积为S=×5=（3+6）×
．
【点评】本题考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题． 20．【分析】（1）f′（x）=a+
．由题意可得：f′（1）=a+b﹣c=0，f（1）=a+c=3，f′
﹣
（2）=a+﹣=1，联立解出即可得出．
（2）f′（x）=1+﹣==．可得函数f（x）的单调性，比较
与f（e）即可得出．
【解答】解：（1）f′（x）=a+﹣
．
由题意可得：f′（1）=a+b﹣c=0，f（1）=a+c=3，f′（2）=a+﹣=1， 联立解得：a=1，b=1，c=2． ∴f（x）=x+lnx+．
（2）f′（x）=1+﹣==．
可得函数f（x）在上单调递减，在（1，e]上单调递增．
又=﹣1+2e，f（e）=e+1+，
而f（e）﹣=﹣e+2＞0，∴f（e）＞．
∴f（x）在区间[
19 / 22
]上的最大值为f（e），即e+1+．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【分析】（1）直接利用转换关系，把方程进行转化． （2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
2【解答】解：（1）曲线C：ρ=4ρcosθ﹣3，
22
转换为直角坐标方程为：x+y=4x﹣3，
直线l的极坐标方程是：θ=α． 转换为直角坐标方程为：y=tanαx．
（2）直线l与曲线C相交于不同的两点A、B，
，
则：
2
整理得：ρ=4ρcosα﹣3，
2
即：ρ﹣4ρcosα+3=0，
则：ρ1+ρ2=4cosα，ρ1•ρ2=3， 所以：
=
，
22．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系，分类讨论即可求出，
g（2）要证对于∀x＞0，（x）＞恒成立，只要证lnx+﹣＞0对于∀x＞0恒成立，
由于0＜=lnx+﹣1，x＞0，＜1，只要证lnx+﹣1＞0对于∀x＞0恒成立，设φ（x）
利用导数求出函数的最小值即可证明
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【解答】解：（1）设y=h（x）=f（x）+g（x）=﹣（a+1）x+lnx，x＞0，
∴h′（x）=ax﹣（a+1）+==，
令h′（x）=0，解得x=1或x=，
①当0＜a＜1时，x∈（0，1）或（，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
x∈（1，）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
②当a＞1时，x∈（0，）或（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
③当a=1时，h′（x）＞0恒成立，函数h（x）在（0，+∞）单调递增，
综上所述：当0＜a＜1时，y=f（x）+g（x）在（0，1）或（，+∞）上单调递增，
在（1，）上单调递减，
当a=1时，y=f（x）+g（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞1时，y=f（x）+g（x）在∈（0，）或（1，+∞）上单调递增，在（，1）上单调递减，
证明：（2）：要证对于∀x＞0，g（x）＞恒成立，
只要证lnx+﹣＞0对于∀x＞0恒成立，
∵0＜＜1，
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∴只要证lnx+﹣1＞0对于∀x＞0恒成立
设φ（x）=lnx+﹣1，x＞0，
∴φ′（x）=﹣=，
当0＜x＜e时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减， 当x＞e时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增， ∴φ（x）min=φ（e）=lne+﹣1=1＞0，
∴：∀x＞0，g（x）＞恒成立．
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