关于房价问题数学建模分析

2011陕西理工学院大学生数学建模竞赛

参 赛 题 号： B 参赛报名号 ： JM65 参 赛 队 员：1. 陈江 2. 周旺松 3. 刘东昌

参 赛 日 期： 2011-5-20

关于房价问题数学建模分析

陈江； 周旺松； 刘东昌

（金属082，金属081，金属081）

摘要

近几年，我国出台了一系列事关民生国情的利民政策，但房价的持续增高仍让很多人把买房当成了一种奢望。本文根据题目要求，进行了合理假设，主要从影响房价的因素方面考虑，建立相应数学模型，根据数据分析了我国当前房价的合理性，预测房价未来走势，提出具体措施使房价回归合理，并进行定量分析。

分析题目，我们分为三个问题进行讨论建模：问题一，房价合理性评判；问题二，未来房价走势；问题三，房价的应对及建议。问题一中针对各代表性城市现今房价是否合理的问题，我们以代表性城市上海、西安为例，做出合理的假设，采用了经济学领域的关于正态分布的模型，评定房价的合理性。最后我们认为2006年以来上海高速增长的房价是不合理的；而西安虽然房价在不断上涨，但城市居民收入水平也有了比较大的提高，其增长比例基本还能维持协调，故西安的房价比较稳定合理。问题二，利用了灰色马尔科夫预测对未来两年的具有代表

性的几个城市的房价进行了定量的预测，从而得出这样的结论：西安房价增长相对来

说较为平稳，涨幅不 大；有较明显上升趋势的是成都和徐州的房价，在未来几年里，成都、徐州、西安的房价大致在 5000 元左右；而北京、上海的房价，从 08 年起有很明显的上升 趋势，而且涨幅在 8000～10000 元左右，若没有国家政策等特别因素影响，未来 两年里，仍然会呈现出持续增高的趋势，并且涨幅不会低于 8000 元。问题三，主要就针对现实的房价问题对社会造成的影响及提出了一些建设性的意见。 关键词：房价升高 数学模型 正态分布模型 灰色马尔科夫预测 意见

1

一．问题重述

房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。

请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。

二、问题分析

题目要求依据建筑成本、居民收入等影响房价变化的因素，对具有代表性城市的房价进行合理性定量评估并定量预测房价未来走势、控制合理房价的措施和对经济发展的影响。我们将问题进行分述如下三个部分，并对其分别建模：

2-1

房价合理性分析模型

考虑评判房价的合理性，我们首先想到与房价密切相关的各种因素，认为房屋的合理定价应该由房屋所在城市的经济发达程度、环境优美度、居民归属感等生活标准来反应，而这些项目又有很多是难以量化的指标，因此我们采用了城市居民年人均收入刻画生活标准。房屋的价格应该满足本市居民的居住需要，于是这部分我们没有引入投资等市场因素。 2-2 房价未来走势模型

本问是对房价的走势进行估计和预测。房地产价格的高低涉及社会生活中多 方面的经济利益,也是百姓生活中关注比较多､比较重要的问题之一｡较为准确地预测未来房地产的销售价格,对社会经济发展和人民生活极其重要,可以为经济决策提供参考,故其研究意义相当重大｡

2

经分析可知，本问要用到相关的数学模型为华中科技大学控制科学与工程系 教授，博士生导师邓聚龙于 1982 年提出的灰色模型，据大量学者的经验表明， 该预测模型的算法可以提高预测的精度。

灰色模型的定义如下：如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变 化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。具有灰色性 的系统称为灰色系统。在灰色系统理论中，利用较少的或不确切的表示灰色系统 行为特征的原始数据序列作生成变换后建立的，用以描述灰色系统内部事物连续 变化过程的模型，称为灰色模型，简称GM模型。灰色预测方法的特点表现在： 首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微 分方程式处理数据，而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数 列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性 2-3 后期房价应对模型

要求我们根据前面的分析结果，进一步探讨使得房价合理的具

体措施，以及可能对经济发展产生的影响。提出控制房价使之合理的措施，涉及到影响房价的具体因素。

三、数学模型的建立及求解

模型假设 ：引起房地产市场波动的因素有很多，居民收入、供求比例、空置率、货币政策、建设成本、国家政策和人口结构及变化趋势等众多因素。我们从中提取重要因素对次要因素作出如下假设：

1城市消费状况用人均收入来代替。

2忽略消费成本如交通费用、物业费用、停车费用等对住房价格的影响。

3

3政府宏观调控政策，仅考虑税收政策、货币政策 、土地政策的影响。忽略其他政策的影响。

4在同一地区房价为销售均价，没有街道区域差异。

6根据经济发展状况分别对部分城市来概括全国城市的房屋均价，排除特殊情况。 3-1

城市房价合理性模型建立及分析

符号说明：

Mes:单位面积商品房售价 Sqr:当地人均住房居住面积

Te:预期使用当年全年收入归还房贷所需年数

Mr:购买商品房支付的总价

Se:当地人均年收入

Mr=Mes*Sqr

模型建立

若以当地人均年收入Se作为人口收入正态分布模型的x=0，人均年收入的

2n倍定为x=n，则x~N(0,1)，函数图象如图3-1(a)所示。

4

图3-1（a）

令Te年内可用全年工资购买人均住房面积住房的下限倍率为Br。

根据假设及上述，得出Br：

MesSqrBrlog2()TeSe

P=1(Br)

一．以上海市区居民购房为例（数据见表3-1-1）

年份 住房面积（m2） 商品房销售均价(元每平方米) 人均年收入(元) 2002 13.1 2003 13.8 2004 14.8 2005 15.5 2006 16 2007 16.5 2008 16.9 2009 17.2 2010 17.8

5539 6032 6640 6952 8102 10293 13659 15467 19168

13250 14867 17175 18645 20668 23623 26675 28838 31838

表3-1-1

令能够使用Te年全年收入购买人均住房面积住房的人口比例为P，假设5年为合理还贷期，通过查阅标准正态分布表，得到的年份、Br值及P值如表3-1(a)所示。

年份 2002 2003 2004

Br 0.131 0.163 0.195

5

P 0.448 0.435 0.423

2005 2006 2007 2008 2009 2010

0.208 0.327 0.523 0.791 0.884 1.1 表3-1-1(a)

0.417 0.372 0.298 0.214 0.189 0.136

从表中可以看出，从2002年以来，在不计算贷款利率及房产税率的情况下，能够用5个整年工资来购买人均住房面积住房的上海市区居民的比例一直低于50%，并且每年都呈下降趋势，特别是在2006年炒房潮爆发以后，比例加速下降，直到2010年竟然下降到13.6%。

作者查询了相关的资料，发现加拿大等欧美国家的房屋均价折合成人民币和上海现在的房价相差无几，但收入水平却远高于上海市民的收入水平，于是造成了加拿大居民和上海居民的生活水平的巨大差距。同时，资料显示，加拿大中产阶级房屋贷款限额是年收入的3倍，这个比例对于上海中产阶级来说，可能都难以支付房屋购买的首付。随着上海的发展及其成为了亚洲第一大港，房屋价值的增长也是正常的现象，但房屋价格的高速增长不符合上海本地居民的人均收入水平，因此我们认为2006年以来上海高速增长的房价是不合理的。 二．以西安市区居民购房为例（数据如表3-1-2所示）

年份 住房面积 单位面积住宅销售价格 西安市人均年收入 2008 17.0 2009 17.6 2010 18.2

4397 4913 5398

表3-1-2

西安市区居民购房情况表采用了2008至2009年度的数据。同样以五年作为合理还贷期，计算得到表3-1-2(a)。

年份 2008

Br -0.02

P 0.508

15207 18963 21807

6

2009 2010

-0.133 -0.15

0.553 0.56 表3-1-2(a)

从表中我们可以看到，西安的房价从2008年到2010年有上涨，但是城市居民收入水平也有了比较大的提高，使得能够使用5年全年工资还清购房债务的人口比例保持稳定并有所上升。这说明西安的房价比较稳定合理。 三．结果分析

对房价合理性的分析应该从当地居民能够用合理的资金购买到合理面积、合理地段住房的角度入手，而不像房价预测一样需要考虑市场等因素，因此我们选取了人均收入和人均住房居住面积来刻画某地房价的合理性。经过我们对各类型城市通过建立的模型进行分析，如果某地区能够用5年当年全年工资购买当地人均住房居住面积住房的居民的比例小于1/3，则说明该城市的房市已经出现过热（房价收入比已经大于6），房价不合理。 3--2. 未来房价变化的灰色预测模型

模型假设

本模型不考虑未来突发事件，如经济低迷或举办大型活动，如奥运会、世博会等因素对房价产生的影响。

城市年平均房价的预测为基于历史情况的变化。 不考虑政府政策调控引起房价的大起伏变化。

符号说明

x：居民收入（单位：元）；

1x：人均 GDP（单位：元）；

2

x3

：土地均价（单位：元/m）; 32x ：房地产商营业利润（单位：万元）；

4

模型的建立

7

根据计量经济学观点，基于灰色马尔科夫预测可以得到房价关于时间变化的模型[1]。 设 x(0) 是 n 维非负序列，xTT(1) 为xT(0) 的1 - AGO 序列，z(1) 为x(1) 的紧邻均

dx(1)ax(1)b为灰色方程值生成序列，[a,u]= （BB)By ,则GM（1,1）模型dt1x(0)(k)az(1)(k)b的白化方程，其中，x(1)(k)z(1)z(1)2,z(1)(3),z(1)(n),z(1)(j)xi1k(0)(i)；k=1,2，…，n；

12x(1)(j)x(1)(j1),j2,3,n；

-z(1)(2)(1)T(0)(0)(0)z(3)y=x(2),x(3),,x(n),B=(1)z(n)11 11GM(1,1)灰色微分方程的响应序列为：

bbˆ(1)(k1)x(1)(0)eak,k1,2,.nxaa

利用最小二乘法估计参数a,b后，代入上式进行数据还原即得预测值：

ˆ(0)(k1)xˆ(1)(k1)xˆ(0)(k) x这反映了原始数据的总体变化趋势。

利用GM(1,1)模型最终可以得到房价的变化趋势，进而求得未来房价走势。 模型的求解

通过查找资料得到各地的房价数据： 年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 成都（元） 1161 1226 1436 1572 1978.66 2196.4 2462.3 3187.41 3523.56 4324.13 上海 4300 4688 5118 6385 6698 8627 15000 14099 15404 19168 北京 4715.9 4467 4582 4751 6776 6232 15162 13222 15051 22310 西安 3270 3390 3360 3470 3485 3510 3720 4460 4720 5130 徐州 1743 1875 2278 2626 2300 3000 3360 3600 4500 4632 表 3-2-1：01－10 年代表性城市房价均价

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基于灰色马尔科夫预测预测房价

根据已建立模型，依据表 9 数据，得到预测结果和预测图像：

成都（元） 原始 1161 1226 1436 1572 2196.4 2462.3 预测 1161 上海 原始 预测 北京 原始 预测 西安 原始 预测 3270 3270 徐州 原始 预测 1743 1743 4300 4300 4715.9 4715.9 1238.749 4688 3406.905 4467 1425.01 5118 4438.485 4582 1639.277 6385 5782.418 4751 2169.309 8627 9814.289 6232 2502.293 3390 3338.365 1875 1948.668 3392.602 3360 3397.234 2278 2162.798 4599.68 3470 3457.141 2626 2400.458 6236.232 3485 3518.104 2300 2664.233 8455.066 3510 3580.142 3000 2956.993 1978.66 1885.762 6698 7533.28 6776 2495.49 15000 12785.97 15162 11463.35 3720 3643.274 3360 3281.923 3187.41 2870.717 14099 16657.44 13222 15541.98 4460 3707.52 3600 3642.558 3523.56 3302.363 15404 21701.16 15051 21071.77 4720 3772.898 4500 4042.822 4324.13 3798.913 19168 28272.07 22310 28569.05 5130 3839.429 4632 4487.069 4370.124 5027.225 36832.59 47985.16 38733.83 52515.21 3907.134 3976.032 4980.132 5527.376 表 3-2-2：01－10 年及 11 年、12 年代表性城市房价及预测值

图 3-2-2(a)：01－10 年及 11 年、12 年代表性城市房价及预测值

根据处理后的序列得到 2011 年、12 年的房价预测值：

年份 2011 年 2012 年

成都（元） 4370.124 5027.225 上海 36832.59 47985.16 9

北京 38733.83 52515.21 西安 3907.134 3976.032 徐州 4980.132 5527.376

表 3-2-3： 11 年、12 年代表性城市房价预测值

通过上面两种方法对房价进行预测，可以更加准确得到房价的未来变化及具体数据。 根据图像可以看出，未来几年里，西安房价增长相对来说较为平稳，涨幅不 大；有较明显上升趋势的是成都和徐州的房价，在未来几年里，成都、徐州、西 安的房价大致在 5000 元左右；而北京、上海的房价，从 08 年起有很明显的上升 趋势，而且涨幅在 8000～10000 元左右，若没有国家政策等特别因素影响，未来 两年里，仍然会呈现出持续增高的趋势，并且涨幅不会低于 8000 元

3-3 分析模型的结论

3-3-1房价上升对的社会一些影响

近年来，房价不断攀升。我国部分地区已经出现了房地产过热，主要表现在房地产开发投资高速增长，房价持续飙升，上涨幅度已经远远超出经济总体增长水平及其它行业产品与服务的涨升幅度。房价增长过快的趋势，不仅是房地产行业健康运行的突出矛盾，也是整个国民经济继续平稳发展的一个不稳定因素。通过分析以上统计数据，我们得出以下对于经济的影响：

1.影响居民生活消费水平，严重影响民间创业积极性过热的房价导致居民消费支出减少，房价上涨过快在带动住房消费和家居类商品消费的同时，在一定程度上却抑制了其他消费，这种虚假的购买力，透支着中国未来的经济

2.贫富差距拉大，财富过于集中，影响社会稳定。在房价过快增长的情况下，低收入阶层不仅没有能力购买可以增值的房产，反而会因为房价上涨过快而更加贫困。

3．加剧金融风险的聚集。房价持续上涨导致高房价，使居民购房不得不依赖银行金融支持。个人住房按揭贷款的增加使整个银行体系的风险累积，引起金融部门流动性下降和全社会金融风险的增加。

4.拉高物价水平，提高了劳动力成本，降低了制造业的国际竞争力，境外资本炒做房产掏空国民财。

5.晚婚情况会更加严重，甚至出现多数婚龄群体结不起婚的问题，影响社会稳定。

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6.加剧产业结构的不平衡。高房价与高利润使社会经济要素配置错位，致使房地产业投资居高不下，并导致了上下游产业的畸形发展。

3-3-2就目前房价迅猛上涨，政府及有关部门可以从以下方面进行改善： 1、切实调整住房供应结构，放缓一线城市的建设，加快二三四线城市的建设，完善城市公共配套措施。

2、通过国家政策提高居民收入提高房价的合理性，不断发挥税收、信贷、土地政策的调节作用，加强国家的宏观调控。

3、合理控制城市房屋拆迁的规模及进度，减缓被动性住房需求，防止民生建设的资本投资出现过热化。

4、加强房地产行业的管理。虽然建房成本在房价中虽占有一定的比重，但是很大一部分价值处于开发商的非成本成分。所以合理优化房价，必须加强房地产行业管理。进一步严格房地产市场进入和退出制度，对开发企业资本、资金、开发业绩等进行严格规定，并建立动态的考核体系，随时对房地产开发商进行监督，减少违规行为的发生并对地产企业经营行为进一步进行约束，从而促使房地产开发企业优胜劣汰，使其朝着有利于市场健康发展的方向投资。

5、加快城镇廉价租住房的制度建设，规范经济适用房市场。建立住房保障基金，给中低收入家庭予以补贴，以帮助其实现购房意愿，可以鼓励置买二手房等，即政府必须完善廉租房建设计划。

6、加强土地的管理。土地价格是房地产价格影响因素的重中之重，而我国目前关于土地方面的政策措施还有诸多不完备之处，针对这种状况，首先对土地政策措施提出建议。注意优化供地结构，加快存量地的盘活，以缓解房地产开发用地供应不足的压力。

7、完善房地产统计与信息披露制度，实现房地产开发商与消费者间的信息对称。

3-3-3 对购房（新房）者提出一些建议：

购房，无非考虑的就是地域条件和价格问题。那么，首先要明确的就是购房 动机。比如，确定购买来为自已居住；或居住或观望价格上涨后转手售出；直接

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买卖，赚取差价等等情况。前面分析我们知道，影响房价的主要因素是房产成本 和供需关系，当然这是大的方面。从小的方面讲就还有很多因素了，这也是需要 购房者加以考虑的因素，像地理位置，环境经济的发展程度，区域发展前景等等。 都可以考虑进来。同样，这些因素也是针对不同人群而定的。

针对刚性购房者，即买来就为了自己居住的人。这一类的购房者不必考虑太 多的因素，在排除价格因素之后只是环境及周边设施自已觉得满意即可，任何时 候想买都可以出手。房地产价格长期趋势必然是向上的，而且是螺旋上升的过程。

对于中低收入的家庭，我们不建议去购买商品房，而是去选择价格较低的保 障性住房。因为从影响房价的因素来考虑，商品房的各项成本指标都会比普通保 障性住房的高。同时，商品房往往会选择地理位置好的地段，所以这也无形中抬 高了成本。

对于中长期的房地产投机者或投资者来说，这一类人对于购置房产时要考虑 的因素就多了。他们需要结合多种制约因素，主要从盈利的角度来考虑是否需要 购买某处房产。首先是分析建造成本，房产能不能卖个好价钱，建造的质量也是 很关键的。在这一点的基础上，再分析该地段房产价格的未来走势，即是可以利 用我们在前面问 题中对房价预测的数学模型来预测，利用科学的方法分析出未来。

四 模型的评价

1、本模型依赖于线性方程构建的想法，模型建立之后进行了修正得到的结果比较符合实际。方案简洁明了，易于操作；

2、本模型建立过程中忽略了众多因素对房价的影响，导致模型的结果与真实值之间存在一定误差；

3、模型建立过程中，适当在加入一些参数可能会使模型更加精细，更符合实际情况。

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4．在大量数据中筛选出比较具有代表性的数据进行计算，在选取数据的时候能够比较具有针对性，比较能够反映近期的各因素和房价的走势，以此能够大致推算出未来的数据。

5、收集的数据时间跨度不长，不能更完美地说明所求对象随时间变化的关系，预测未来的数值也具有偏大的不确定性。

参考文献

【1】 程松林，基于灰色理论的武汉商品房价格预测和分析，华中师范大学硕士学位论文，第30～31页，2008年； 【2】中国统计年鉴; 【3】中国经济信息网;

【4】王明慈 沈恒范，概率论与数理统计（第二版）高等教育出版社; 【5】部分数据来源：中国统计数据库，http://tongji.cnki.net/kns55/index.aspx

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