广西工学院学报JOURNALOFGUANGXIUNIVERSITYOFTECHNOLOGYVol.23No.1第卷Mar.232012
文章编号1004-6410（2012）01-0070-04
ut=uuy+αvux+βuyy+αβuxx（2＋1）维Burgers方程组的亚纯行波解vy=uxΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ
熊维玲
（广西工学院
信息与计算科学系，广西柳州
545006）
摘要：通过行波变换将（2＋1）维Burgers方程组转变为复域中的常微分方程组，以Nevanlinna值分布理论的有关知
识为基础，研究了Burgers方程组亚纯解的结构，得到了（2＋1）维Burgers方程组的亚纯行波解的形式．关键词：亚纯函数；行波解；Burgers方程组中图分类号：O175．4
文献标志码：A
0引言
众所周知，许多非线性偏微分方程都有着非常重要的物理学背景，它们现已成为数学物理研究的基本
方程之一［1-3］．最近，人们已经将部分偏微分方程的研究与复常微分方程的研究紧密结合起来［4-7］．
2005年，EremenkoA［4］研究了Kuramoto－Sivashinsky方程vw′″+bw″+μw′w+A=0，v≠0（其中v，μ，b和A
2
2
是复常数）亚纯解的结构;1986年，EremenkoA［5］就k阶的Briot—Bouquet方程ΣPk（w）（w（k））n-k=0（其中Pk（w）是关于w的常系数多项式）进行了研究，给出了k为奇数时方程亚纯解的结构;2007年，EremenkoA［6］等给出的k为偶数时，Briot—Bouquet方程亚纯解的结构;因此，关于高阶Briot—Bouquet微分方程亚纯解的结构已经清楚了．
本文的主要工作是：考虑在参数任意选择的情况下，给出（2＋1）维Burgers方程组的亚纯行波解的结构．本文使用常用的Nevanlinna值分布理论的记号，如T（r，f），m（r，f），N（r，f），S（r，f）.
k=0
n
1有关引理
引理1［8］
（Clunie引理）设w是方程wnp（z，w）＝Q（z，w）的超越亚纯解，其中p（z，w）和Q（z，w）是关于
w和w导数的多项式，w导数的系数亚纯，记｛aλ|λ∈I〉且对所有的λ∈I有m（r，aλ）＝S（r，w）．若Q（z，w）关于w和w导数的多项式总次数≤n，那么m（r，p（a，w））＝S（r，w）．
引理2［9］（Mohon.ko引理）设w为亚纯函数，若关于w的不可约有理函数
R(z,w)=p（z，w）=
Q（z，w）
Σa（z）w
ii=0q
j
j=0
p
i
的系数ai（z），bj（z）亚纯，且T（r，ai）＝S（r，w），i＝1，…，p，T（r，bj）＝S（r，w），j＝1，
j
Σb（z）w
…，q，则T（r，R（z，w）＝dT（r，w）＋S（r，w）．其中d＝max（p，q）．
引理3［9］设f为亚纯函数，若T（r，f）=S（r，f），则f为有理函数．
收稿日期:2012-01-05
基金项目：国家自然科学基金项目（10661002）；广西自然科学基金项目（桂科自0728041）资助．作者简介：熊维玲，教授，研究方向：复分析，E-mail：xiongwl@163.com.
第1期
熊维玲：（2＋1）维Burgers方程组
u=uu+αvu+βu+αβu≠v=u
t
y
x
yy
y
x
xx
的亚纯行波解
71
引理4［4］设w＝w（z）为周期亚纯函数，具有无穷多个极点，z0为其一个极点．则w的所有极点的集合可
表示为z0+Γ，其中Γ是（C，+）上的一个非平凡离散子群．
若Γ同构于Z×Z，则w是椭圆函数且在每个周期格内仅有一个极点．
若Γ同构于Z，则，C/Γ=C*=C/0，且w是单周期亚纯函数，所以w可以用R（exp（az））（a∈C）来表示，其中
R是C*上的亚纯函数且在C*上仅有一个极点．
2定理及其证明
（2＋1）维Burgers方程组的一般形式为
ut=uuy+αvux+βuyy+αβuxx
vy=ux
通过变换u＝u（ξ），ξ＝kx＋qy＋wt，把方程（1）转化成为如下形式
wu=qu2＋αkqv2＋（βq2＋αβk2）u′＋C1
22qv=ku+C2
定理1方程组（2）的解只能有以下4种情形：1)u为常数．
∈∈∈∈∈∈∈∈∈
∈（1）
（2）
q＋αk322
（ξ－ξ0）－1+A．2)u（ξ）＝（βq＋αβk）
22q3)u为椭圆函数，此时每个周期内有一个二阶极点．
4)u＝R（z），z＝R（exp（aξ））（a∈C），其中R（z）是关于z的有理函数且仅有一个极点．其中qv＝ku＋C1，A，C1，为常数．
证明由（2）得到
23αkCqαk2w-＋u=u2+（βq2＋αβk2）u′+C322qq2
其中C3=αkC2+C1．
2q（I）证明恰有一个以ξ=0为极点的亚纯Laurent级数满足方程（3）
∈∈－1
∈∈∈∈（3）
设有级数
u（ξ）＝Σcjξj，m＜0，cm≠0
j＝m
∞
（4）
将式（4）代入式（3）得到
qαkw-αkC∈cξ=∈＋≠∈Σcξ∈+（βq＋αβk）∈ΣΣcξ∈+Cq22q∈qαk考虑式（5）左右边的最低次项得到∈＋cξ+（βq＋αβk）cξ=0，所以∈22q
q＋αk
c+（βq＋αβk）c=0且2m=m-1∈∈22q
2
∞2jj
3
∞
∞
j＝m
jj
2
2
jj
j＝m
j＝m
3
22m
m
2
2
m
m-1
3
2m
2
2
m
2
′
3
（5）
因此
q＋αk3
m=-1，c-1=（βq＋αβk）
22q
2
2
∈∈－1
同理其它的系数也都被唯一确定．
q＋αk3
因此，u（ξ）=βk
22q
2
∈∈ξ+p（ξ），其中p（ξ）为整函数．
-1
－1
72
（II）u为只有有限多个极点的亚纯函数时（i）证明u不可能为超越亚纯函数
广西工学院学报第23卷
q＋αk32w-αk2C2将式（3）改写为u=u-βk2u′-C3．
22qq
由引理1知：m（r，u）＝S（r，u），又N（r，u）＝S（r，u），由此T（r，u）＝S（r，u），由引理3，得到u为有理函数．（ii）证明u在复平面只有一个极点
设ξ0，ξ1为u在C平面上的两个不同极点，则u（ξ+ξ0）和u（ξ+ξ1）都为方程（3）的以ξ=0的极点的解．故由（I）可知：u（ξ+ξ0）＝u（ξ+ξ1），即u（ξ）=u（ξ-ξ0+ξ1），所以u为周期函数．而周期有理函数只能为常数，没有极点，这与u在复平面有极点的条件矛盾，所以u在C上只有一个极点．
（iii）确定u的形式
假设u在C平面上只有一个极点记为ξ0，且记u在ξ=ξ0的去心邻域内的Laurent展式为u（ξ）=Σcj（ξ-j＝pn
ξ0）j（p＜0）．将其代入（3）式得
qαkw-αkCc（ξ-ξ）=-+CΣc（ξ-ξ）+βkΣΣc（ξ-ξ）22qq
2
n
2j
0j
3
n
n
j＝p
j
0j
2
k
0j
j＝p
j＝p
2
2
′
3
q+αk3
类似（I）的证明，考虑上式ξ-ξ0的最低次幂的项可得p=-1，c-1=βk
22q
q+αk3
u（ξ）=βk
22q2
2
-1
．故
（6）
2
（ξ-ξ）+p（ξ）=C（ξ-ξ）+p（ξ）
0-1
4
0
-1
q+αk3
其中C4=βk，p（ξ）为多项式．
22q将式（6）代入式（3）可以得到
23
w-αkC2（C4（ξ-ξ0）-1+p（ξ））=q+αk（C4（ξ-ξ0）-1+p（ξ））2+βk2（C4（ξ-ξ0）-1+p（ξ））′+C3
22qq
-1
q+αk3
考虑上式p（ξ）的最高次数可得p（ξ）为常数A，因此，u（ξ）=βk2（ξ-ξ0）-1+A
22q（III）u为有无限多个极点的亚纯函数时
设ξ0，ξ0为u在C平面上的2个不同极点，则u（ξ+ξ0）和u（ξ+ξ1）都为方程（3）的以ξ=0的极点的解．故由唯一性性质可知：u（ξ+ξ0）＝u（ξ+ξ1），即u（ξ）=u（ξ-ξ0+ξ1），所以u为周期函数，且每一对极点ξ0-ξ1都是u的一个周期．所以所有极点的集合可以表示成ξ0+Γ，其中Γ是（C，+）上的一个非平凡离散子群．则Γ或者同构于Z或者同构于Z×Z．下面我们分别讨论之．
若Γ同构于Z×Z，由引理4知u为椭圆函数，此时每个周期格内有一个二重极点．
若Γ同构于Z，由引理4有u=R（z），z=exp（aξ），R为仅有一个极点的亚纯函数，a为某一复常数．将u=R（z）代入方程（3）整理得
23αkCqαk2w-+（7）=R+βk2azR′+C3122qqRR-1
令
αk2C2q+αk3′R2w-L（R）=-βkaz，L1（R）=R+C31
q22qRR
如果R为超越亚纯，则m（r，L（R））≤S（r,R），而R为仅有一个极点的亚纯函数，所以N（r，R）＝S（r，R），从而有N（r，L（R））≤N（r，1/R）+S（r，R）．因此
（8）T（r，L（R））≤N（r，1/R）+S（r，R）≤T（r，R）+S（r，R）
第1期
熊维玲：（2＋1）维Burgers方程组
u=uu+αvu+βu+αβu∈v=u
t
y
x
yy
y
x
xx
的亚纯行波解
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由引理2，有
（9）T（r，L（R））=2T（r，R）+S（r，R）
结合式（7），式（8）和式（9）式，得到T（r，R）=S（r，R）．由引理6，得到R为有理函数，与R不为有理函数矛盾，故R为有理函数．这就证明了u=R（z），z=R（exp（aξ））（a∈C），其中R（z）是关于z的有理函数且仅有一个极点．
综上所述，定理1得证．
参考文献
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［6］EremenkoA，LiaoLW，NgTW．MeromorphicsolutionsofhigherorderBriot—Bouquetdifferentialequations［J］．Arxiv，2007（28）：98．［7］柏玲玲，吴奇峰，袁文俊．高阶KdV方程的复化解结构［J］，应用数学学报，2010，33（4）：681－689．［8］何育赞，萧修治．代数体函数与常微分方程［M］．北京：科学出版社，1988．［9］杨乐．值分布理论及其新研究［M］．北京：科学出版社，1982．
［10］熊维玲，邓涛．一类亚纯函数的分解［J］．广西工学院学报，2011（4）：1－4．
［11］赵展辉，韩松．一类拟线性边值问题的多重凸解［J］．广西工学院学报，2010（3）：61－66．
Meromorphictravelsolutionsof（2＋1）dimensionBurgerssystems
XIONGWei－ling
（DepartmentofInformationandComputingScience，GuangxiUniversityofTechnology，Liuzhou545006，China）
Abstract：Throughthetravelingwavetransformationinthepaper，wetransformtheBurgerssystemstotheordinarydifferentialequationincomplexfield．BasedontheknowledgeofNevanlinnavalueddistributiontheory，weinvestigatetheformsofmeromorphicsolutionsoftheBurgersequationsandobtaintypeofmeromorphictravelsolutionsof（2＋1）dimensionBurgerssystems．
Keywords：meromorphicfunction；travelsolutions；Burgerssystemofequations
（责任编辑
李彦青）
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