物理方法专题二+隔离法(精品)

方法简介

隔离法就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来，然后单独分析被隔离部分的受力情况和运动情况，从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。隔离法在求解物理问题时，是一种非常重要的方法，学好隔离法，对分析物理现象、物理规律大有益处。

赛题精讲

例1：两个质量相同的物体1和2紧靠在一起放在光滑水平桌面上，如图2—1所示，如果它们分别受到水平推力F1和F2作用，且F1＞F2 ， 则物体1施于物体2的作用力的大小为（ ）

A．F1

FFFFB．F2 C．12 D．12

22

解析：要求物体1和2之间的作用力，必须把其中一个隔离出来分析。先以整体为研

究对象，根据牛顿第二定律：F1－F2 = 2ma ①

再以物体2为研究对象，有N－F2 = ma ②

解①、②两式可得N =

F1F2，所以应选C 2例2：如图2—2在光滑的水平桌面上放一物体A ，A上再放一物体B ，A 、B间有摩擦。施加一水平力F于B ，使它相对于桌面向右运动，这时物体A相对于桌面（ ）

A．向左动 B．向右动 C．不动 D．运动，但运动方向不能判断 解析：A的运动有两种可能，可根据隔离法分析

设AB一起运动，则：a =

F

mAmB

AB之间的最大静摩擦力：fm = μmBg 以A为研究对象：若fm≥mAa ，即：μ≥若μ＜

mAF时，AB一起向右运动。

mB(mBmA)gmAF ，则A向右运动，但比B要慢，所

mB(mBmA)g以应选B

例3：如图2—3所示，已知物块A 、B的质量分别为m1 、m2 ，A 、B间的摩擦因数为μ1 ，A与地面之间的摩擦因数为μ2 ，在水平力F的推动下，要使A 、B一起运动而B不至下滑，力F

至少为多大？

解析： B受到A向前的压力N ，要想B不下滑，需满足的临界条件是：μ1N = m2g 。

设B不下滑时，A 、B的加速度为a ，以B为研究对象，用隔离法分析，B受到重力，A对B的摩擦力、A对B向前的压力N ，如图2—3甲所示，要想B不下滑，需满足：μ1N≥m2g ，即：μ1m2a≥m2g ，所以加速度至少为a =

再用整体法研究A、B，根据牛顿第二定律，有： F—μ2(m1 + m2)g = (m1 + m2)g = (m1 + m2)a 所以推力至少为：F = (m1 + m2)(

1+ μ2)g 1g 1

例4：如图2—4所示，用轻质细绳连接的A和B两个物体，沿着倾角为α的斜面匀速下滑，问A与B之间的细绳上有弹力吗？

解析：弹力产生在直接接触并发生了形变的物体之间，现在细绳有无形变无法确定。所以从产生原因上分析弹力是否存在就不行了，应结合物体的运动情况来分析。

隔离A和B ，受力分析如图2—4甲所示，设弹力T存在，将各力正交分解，由于两物体匀速下滑，处于平衡状态，所以有：

mgAsinα = T + fA ① mgBsinα + T = fB ②

设两物体与斜面间动摩擦因数分别为μA 、μB ，，则： fA = μANA = μAmAgcosα ③ fB = μBNB = μBmBgcosα ④ 由以上①②③④可解得：

T = mAg (sinα—μAcosα)和T = mBg (μBcosα—sinα)

若T = 0 ，应有：μA = tanα ，μB = tanα

由此可见，当μA = μB时，绳子上的弹力T为零。 若μA≠μB ，绳子上一定有弹力吗？

我们知道绳子只能产生拉力。当弹力存在时，应有：T＞0 ，即：μA＜tanα ，μB＞tanα 所以只有当μA＜μB时绳子上才有弹力。

例5：如图2—5所示，物体系由A 、B 、C三个物体构成，质量分别为mA 、mB 、mC 。用一水平力F作用在小车C上，小车C在F的作用下运动时能使物体A和B相对于小车C处于静止状态。求连接A和B的不可伸长的线的张力T和力F的大小。（一切摩擦和绳、滑轮的质量都不计）

解析：在水平力F作用下，若A和B能相对于C

静止，则它们对地必有相同的水平加速度。而A在绳的

张力作用下只能产生水平向右的加速度，这就决定了F只能水平向右，可用整体法来求，而求张力必须用隔离法。

取物体系为研究对象，以地为参考系，受重力(mA + mB + mC)g ，推力F和地面的弹力N ，如图2—5甲所示，设对地的加速度为a ，则有：

F = (mA + mB + mC)a ①

隔离B，以地为参考系，受重力mBg 、张力T 、C对B的弹力NB ，应满足：

NB = mBa ，绳子的张力T = mBg ②

隔离A ，以地为参考系，受重力mAg ，绳的张力T ，C的弹力NA ，应满足；

NA = mAg ③ T = mAa ④

当绳和滑轮的质量以及摩擦都不计时，由②、④两式解出加速度：

a =mBg mAmB(mAmBmC)g

mA

代入①式可得：F =

例6：如图2—6所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m0

的平盘，盘中有一物体质量为m ，当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L ，今向下拉盘，使弹簧再伸长ΔL后停止。然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（ ）

A．(1 +C．

L)mg LB．(1 +

L)(m + m0)g LLLmg D．(m + m0)g LL

解析：确定物体m的加速度可用整体法，确定盘对物体的支持力需用隔离法。选整体

为研究对象，在没有向下拉盘时有：

KL = (m + m0)g ① 在向下拉伸ΔL又放手时有：

KΔL = (m + m0)a ② 再选m为研究对象：FN－mg = ma ③

解得：FN = (1 +

L)mg L应选A 。此题也可用假设法、极限法求解。 例7：如图2—7所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自动转动。细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ ，AP长度是杆长

1的，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等

4于 。

解析：求圆柱体对杆的支持力可用隔离法，用力矩平衡求解。求挡板对圆柱体的作用力可隔离圆柱体，用共点力的平衡来解。

以杆为研究对象，受力如图2—7甲所示，根据力矩平衡条件：

l32mgcosθ = Fl ，解得：F =mgcosθ 。根据牛顿第三定律，杆对圆柱体的作用力与

243F大小相等，方向相反，再以圆柱体为研究对象，将力F正交分解，如图2—7—乙，在水

平方向有：

21mgcosθsinθ =mgsin2θ 331即挡板对圆柱体的作用力为mgsin2θ 。

3例8：如图2—8所示，质量为m的小球被两个劲度系数皆为k的相同弹簧固定在一个质量为M的盒中，盒从h高处（自桌面量起）开始下落，在盒开始下落的瞬间，两弹簧未 发生形变，小球相对盒静止，问下落的高度h为多少时，盒与桌面发生完全非弹性碰撞后还能再跳起来。

解析：盒下落过程可用整体法研究，下落后弹簧的形变情况应用隔离小球研究，盒起跳时可隔离盒研究。

在盒与桌面发生碰撞之前，小球仅受重力作用，着地时速度为：v =2gh。

碰撞后盒静止，球先压缩下面的弹簧，同时拉上面的弹簧，当小球向下的速度减为零后，接着又向上运动，在弹簧原长位置上方x处，小球的速度又减为0 ，则在此过程中，对小球有：

11mv2 = mgx + 2kx2 22把盒隔离出来，为使盒能跳起来，需满足：2kx＞Mg ，代入上式可解得： h =

MgM(1 +) 2k2m例9：如图2—9所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光

滑水平面上，三根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量作用在质点A ，并使这个质点速度变为u，方向沿绳向外，试求此瞬间质点D的速度。

解析：要想求此瞬间质点D的速度，由已知条件可知得用动量定理，由于A 、B 、C 、D相关联，所以用隔离法，对B 、C 、D分别应用动量定理，即可求解。以B 、C 、D分别为研究对象，根据动量定理：

对B有：IA－IBcos60°= mBu ① IA cos60°－IB = mBu1 ② 对C有：IB－ID cos60°= mCu1 ③ IBcos60°－ID = mcu2 ④ 对D有：ID = mDu2 ⑤ 由①~⑤式解得D的速度：u2 =

1u 13例10：有一个两端开口、粗细均匀的U形玻璃

细管，放置在竖直平面内，处在压强为p0的大气中，

两个竖直支管的高度均为h ，水平管的长度为2h ，玻璃细管的半径为r ，且rh 。今将水平管内灌满密度为ρ的水银，如图2—10所示。

1．如将U形管两个竖直支管的开口分别密封起来，使其管内空气压强均等于大气压强，问当U形管向右做匀加速移动时，5加速度应为多大时才能使水平管内水银柱的长度稳定为h？

32．如将其中一个竖直支管的开口密封起来，使其管内气体压强为1个大气压。问当U形管绕以另一个竖直支管（开口的）为轴做匀速转动时，转数n应为多大才能使水平管内水银柱的长5度稳定为h（U形管做以上运动时，均不考虑管内水银液面的倾斜）

3

解析：如图2—10—甲所示，U形管右加速运动时，管内水银柱也要以同样加速度运动，所以A管内气体体积减小、压强增大，B管内气体体积增大、压强减小，水平管中液体在水平方向受力不平衡即产生加速度。若U形管以A管为轴匀速转动时，水平部分的液体也要受到水平方向的压力差而产生向心加速度。

1．当U形管以加速度a向右运动时，对水平管中水银柱有：F1－F2 = ma ，即：

(pA + ρg

h5)S－pBS =hSρa ① 33h)S ，解得： 3对A中气体有：p0hS = pA(h－

3pA =p0 ②

2

对B中气体有：p0hS = pB(h +

h)S ，解得： 33pB =p0 ③

49p4gh将②、③式代入①式可得：a =0

20h 2．如图2—10—乙，若U形管以A管为轴匀速转动时，对水平管中水银柱有：F2—F1 = ma 。若转速为n ，则有：

(pB′+ ρg

h7)S－p0S = m(2πn)2h ① 36h)S ，解得： 3

图 2－10－乙

对B中气体有：p0hS = pB′(h－

3pB′=p0 ②

2将②式代入①式可解得转速：

n =19p06gh h140例11：如图2—11所示，一个上下都与大气相通的竖直圆筒，

内部横截面的面积S = 0.01m2 ，中间用两个活塞A与B封住一定质量的理想气体，A 、B都可沿圆筒无摩擦地上、下滑动，但不漏气，A的质量可不计，B的质量为M ，并与一倔强系数k = 5×103N/m的较长的弹簧相连。已知大气压强p0 = 1×105Pa ，平衡时，两活塞间的距离l0 = 0.6m 。现用力压A使之缓慢向下移动一定距离后，保持平衡，此时，用于压A的力F = 5×102N 。求活塞A向下移动

的距离。（假定气体温度保持不变。）

解析：活塞A下移的距离应为B下降的距离与气体长度的减小量之和，B下降的距离可用整体法求解。气体长度的变化可隔离气体来求解。

选A 、B活塞及气体为研究对象，设用力F向下压A时，活塞B下降的距离为x ， 则有：F = kx ①

选气体为研究对象，据玻意耳定律有：p0l0S = (p0 +

F)lS ② S解①②两式可得：x = 0.1m ，l = 0.4m

则活塞A下移的距离为：y = 0.1 + 0.6—0.4 = 0.3m

例12：一个密闭的气缸，被活塞分成体积相等的左右两室，气缸壁与活塞是不导热的，它们之间没有摩擦，两室中气体的温度相等，如图2—12所示，现利用右室中的电热丝对右室中的气3体加热一段时间，达到平衡后，左室的体积变为原来体积的，

4气体的温度T1 = 300K 。求右室中气体的温度。

解析：可隔离出A 、B两部分气体，用理想气体状态方程求解。 设原来两室中气体的压强都为p ，温度都为T ，体积都为V ，

3pVpV对左边气体有：=4 ①

T1T

5pVpV对右边气体有：=4 ②

TT25①、②两式相比，可得右室中气体温度T2 =T1 = 500K

3例13：如图2—13所示，封闭气缸的活塞被很细的弹簧拉着，气缸内密封一定质量的气体，当温度为27℃时，弹簧的长度为30cm ，此时缸内气体的压强为缸外大气压的1.2倍，当气温升到

123℃时，弹簧的长度为36cm ，求弹簧的原长。

解析：本题所研究的对象就是密封在气缸内的一定质量的气体，气体所处的初态为：

T1 = 300K 、V1 = SL1 、（S为气缸横截面积，L1为弹簧长度）p1 = p0 +末态为T2 = 396K 、V2 = SL2 、p2 = p0 +

F1= 1.2P0 ，SF2（p0为大气压强，F1 、F2为弹簧的弹力）。气S体从初态过渡到末态时质量恒定，所以可利用状态方程求解：

将上述各状态参量代入状态方程：

p1V1p2V2= T1T2解得：p2 = 1.1p1 = 1.32p0

由于弹力产生的压强等于气缸内外气体的压强差，所以： KL1= p1—p0 = 0.2p0 ① SKL2= p2—p0 = 0.32p0 ② S联立①、②式得：ΔL2 = 1.6ΔL1 即：L2—L0 = 1.6 (L1—L0) 解得弹簧的原长为L0 = 20cm

例14：一个由绝缘细细构成的钢性圆形轨道，其半径为R ，此轨道水平放置，圆心在O点，一个金属小珠P穿在此轨道上，可沿轨道无摩擦地滑动，小珠P带电荷Q 。已知在轨道平面内A点（OA = r＜R）放有一电荷q。若在OA连线上某一点A1放电荷q1 ，则给小珠P一个初速度，它就沿轨

道做匀速圆周运动，求A1点的位置及电荷q1之值。

解析：小珠P虽沿轨道做匀速圆周运动，但受力情况并不清楚，因此不能从力的角度来解决，可以从电势的角度来考虑，因为小珠P沿轨道做匀速圆周运动，说明小珠只受法向的电场力。由此可知，电场力对小珠P做功为零，根据W = qU可知，圆轨道上各点电势相等，根据题意作图如图2—14 ，设A1点距圆形轨道的圆心O为r1 ，A点放的电荷q距圆心为r ，由此得：

kq1kq= ① Rrr1Rkq1kq= ② Rrr1RR2R解①、②两式可得：A1点的位置距圆心O的距离为r1 =，所带电量q1 =q

rr例15：如图2—15所示，两个电池组的电动势ε1 = ε2

= 3V ，每节电池的内阻均为0.5Ω ，R1 = 1Ω ，R2 = 2Ω ，R3 = 1.8Ω ，求通过R1 、R2 、R3的电流及两个电池组的端电压各是多少？

解析：解此题时，可采用与力学隔离法相似的解法，即采用电路隔离法。

气体从初态过渡到末态时质量恒定，所以可利用状态方程求解。

先将整个电路按虚线划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个部分，则 有：

UAB = ε1 —I1 (R1 + 2r) ① UAB = ε2—I2 (R2 + 2r) ② UAB = I3R3 ③ I1 + I2 = I3 ④ 联立①②③④四式解得：I1 = 0.6A ，I2 = 0.4A ，I3 = 1A ，电池组ε的端电压U1 = 2.4V ，电池组ε2的端电压U2 = 2.6V 。

例16 如图2—16所示，两根相互平行的间距L = 0.4m的金属导轨水平放在B = 0.2T的匀强磁场中，磁场垂直于导轨平面，导轨上的滑杆ab 、cd所受摩擦力均为0.2N ，两杆电阻均为0.1Ω ，导轨电阻不计。当ab受到恒力F作用时，ab以v1做匀速运动，cd以v2做匀速运动，求通过ab杆的电流强度的大小和方向。

解析 要求通过ab杆的电流强度，应通过ab杆受的安培力求解，这就需要隔离出ab杆进行受力分析。

以ab杆为研究对象，因右手定则确定电流的方向为b→a ，受力如图2—6—甲所示。因为ab杆匀速运动处于平衡状态，故有：

F = f + BIL

再以滑杆ab 、cd整体作为研究对象，受力如图2—16—乙所示，因为ab 、cd均做匀速运动，受力平衡，故有：

F = 2f = 0.4N

代入上式，解得通过ab杆的电流为： I =

Ff= 2.5A BL所以通过ab杆的电流的大小为2.5A ，方向b→a 。

针对训练

1．质量为8kg的木块m放在质量为16kg的木板M上，并通过滑轮用细绳连接，如图2—17所示，M与m间，M与水平地面间的动摩擦因数μ均为0.25 ，滑轮摩擦不计。欲使M向匀速运动，水平拉力应为多大？（g取10m/s2）

2．在水平面上有两个物体A和B，它们之间用不可伸缩的质量不计的细绳连接起来，其中mA = 3kg ，mB = 2kg ，它们与地面间的动摩擦因数μ = 0.1 。如图2—18所示，今用一与水平方向成37°角、大小为10N的恒力拉B ，使AB一起向右做匀加速直线运动，试求A对B的拉力。（g取10m/s2）

3．如图2—19所示，小物体m放在大物体M上，M系在固定于墙上的水平弹簧的另一端，并置于光滑水平面上，若弹簧的劲度系数为k ，将M向右拉离平衡位置x后无初速度释放，在以后的运动中M与m保持相对静止，那么m在运

动中受到的最大和最小摩擦力分别为多大？

4．电梯内有一个物体，质量为m ，用细线挂在电梯的天花板上，当电梯以

g的加速3度竖直加速度竖直加速下降时（g为重力加速度），细线对物体的拉力为（ ）

2A．mg

34C．mg

31B．mg

3D．mg

5．两物体A和B ，质量分别为m1和m2 ，互相接触放在光滑水平面上，如图2—20所示，对物体A

施以水平的推力F ，则物体A对物体B的作用力等于（ ）

A．

m1F

m1m2

B．

m2mF C．F D．2F

m1m2m16．在光滑水平面上有一木板，一木棒A、B可沿水平轴O转动，其下端B搁在木板

下，而整个系统处于静止状态（如图2—21所示）。现在用水平力F向左推木板，但木板

仍未动。由此可以得出结论：施力F后，木板和木棒之间的正压力（ ）

A．变大 B．不变 C．变小 D．条件不足，不能判断如何改变

7．如图2—22所示，两木块的质量分别为m1和m2 ，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2 ，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为（ ）

A．

m1g k1B．

m2g k1C．

m1g k2D．

m2g k28．如图2—23 ，质量为2m的物块A与水平地面的摩擦可忽略不计，质量为m的物块B与地面的摩擦系数为μ 。在已知水平推力F的作用下，AB做加速运动，A对B的作用力为 。

9．如图2—24所示，两块木块A和B，质量分别为mA和mB，紧挨着并排在水平桌面上，AB间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ角。A、B间的接触面是光滑的，但它们与水平桌面间有摩擦，静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ。开始时A、B都静止，现施一水平推力F于A。要使A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动，则

（1）μ的数值应满足什么条件？

（2）推力F的最大值不能超过多少？ （只考虑平动，不考虑转动问题）

10．系统如图2—25所示，滑轮与绳的质量忽略，绳不可伸长。设系统所有部位都没有摩擦，物体B借助导轨（图中未画出来）被限定沿物体C的右侧面运动，试求物体C的运动加速度。

11．质量分别为m1 、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔

软的轻绳AB和BC连接，∠ABC为π－α ，α为一锐角，如图2—26所示，今有一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于质点C ，求质点A开始运动时的速度。

12．如图2—27所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳连结成菱形ABCD ，静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个力时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V ，其他质点也获得一定的速度，∠BAD = 2α（α＜

）。求此质点系统受到冲击后所具有的总动量和总能量。 4

13．如图2—28所示，一三角木块ABC置于光滑水平面上，两斜边与平面夹角分别为30°、60°。在斜边上有两个物体m1 、m2，用不可伸长的细绳连接并跨在顶点A的定滑轮上，m1 、m2可在斜面上无摩擦地滑动。已知木块的质量为M ，三物体的质量比为m1∶m2∶M=4∶1∶16 ，滑轮光滑且质量可忽略。

（1）求M的加速度a及m1相对于M的加速度a′；

（2）若m1从静止开始沿斜面移动20cm ，求M沿水平面移动的距离。

14．如图2—29所示，可沿气缸壁自由活动的活塞将密封的圆筒形气缸分隔成A 、B两部分。活塞与气缸顶部有一弹簧相连。当活塞位于气缸底部时弹簧恰好无形变，开始时B内充有一定量的气体，A内是真空，B部分高度为l1 = 0.10米，此时活塞受到的弹簧作用力与重力的大小相等。现将整个装置倒置。达到新的平衡后B部分的高度L2于多少？设温度不变。

15．图2—30中竖直圆筒是固定不动的，粗筒横截面积是细筒的4倍，细筒足够长。粗筒中A、B两轻质活塞间封有空气，气柱长l = 20厘米。活塞A上方的水银深H = 10厘米，两活塞与筒壁间的摩擦不计。用外力向上托住活塞B ，使之处于平衡状态，水银面与粗筒上端相平。现使活塞B缓慢上移，直至水银的一半被推入细筒中，求活塞B上移的距离（设在整个过程中气柱的温度不变，大气压强p0相当于75厘米高的水银柱产生的压强）。

16．如图2—31是容器的截面图，它是由A、B两部分构成，两部分都是圆筒形，高度都是h ，底面积SB = S ，SA = 2S ，容器下端有一小孔a与大气相通，上端开口，B中有一质量为m厚度不计的活塞，它与B的器壁有摩擦，最大摩擦力为f(f)mg，开始时活塞

N位于B的最下端，已知大气压强为p0 ，当时温度为T0 ，现把a孔封闭，为保证封闭气体不与外界相通，筒中气体温度允许在多大范围内变化？

17．如图2—32所示，长为2l的圆形筒形气缸可沿摩擦因数为μ的水平面滑动，在气缸中央有一个截面积为S的活塞，气缸内气体的温度为T0 ，压强为p0（大气压强也为p0）。在墙壁与活塞之间装有劲度系数为k的弹簧，当活塞处于如图位置时，弹簧恰好在原长位置。今使气缸内气体体积增加一倍，问气体的温度应达到多少？（气缸内壁光滑，活塞和气缸总质量为m）。

18．A 、B两带电小球，A固定不动，B的质量为m。在

库仑作用下，B由静止开始运动。已知初始时A 、B间的距离为d ，B的加速度为a 。a经过一段时间后，B的加速度变为，此时A 、B间的距离应

4为 。已知此时B的速度为v ，则在此过程中电势能的减少量为 。

19．如图2—33所示，是电磁流量计的示意图，在非磁性材料做成的圆管道外加一匀强磁场区域，当管中的导电液体流过磁

场区域时，测出管壁上、下表面两点a 、b间的电动势为ε ，

从而可求出管中液体在单位时间内的流量Q 。已知圆管的内径为D ，磁感应强度为B ，试推导出Q与ε的关系表达式。

20．如图2—34所示，一矩形管中（管长为l ，两侧面为导电面，并有导线在外面与之相连，上下面则为绝缘面）有电阻率为ρ的水银流动，当其一端加上压强p时，水银的流速为v0 。现在竖直方向加上磁感应强度为B的匀强磁场。试证明：此时水银的流速为：

v0B2L－1

v = v0 (1 +) 。（设水银的速度与压

p强成正比）

参考答案

1．F = 100N 2．T = 5.16N 3．fmax =4．A 5．B 6．C

mkx，fmin = 0 Mm7．C 8．

F2mg 3mA(mmB)mAgtanθ ；（2）F＜A(tanθ－μ)

mBmAmB9．（1）μ＜10．aC =11．vA =

mAmBg

(mAmBmC)(mAmB)mAlm2cos，方向沿AB方向。

m2(m1m2m3)m1m2sin24mv2mv212．P =，E =

12sin212sin213．（1）a = 0.5m/s2 ，a′= 0.64m/s2 ；（2）3.78cm

14．0.2m 15．8cm 16．

pSmgfp0SmgfT0≤T≤0T0

p0Sp0Sklmg)T0 ；摩擦力不是足够大时T = 2 (1 +)T0 p0Sp0S17．摩擦力足够大时，T = 2 (1 +118．2d ，mv2

219．Q =

D 4B20．证明略。