三角函数综合复习
一．选择题（共5小题）
1．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=则C=（ ）
，
A． B． C． D．
3．函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）
A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z）
C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z）
5．若cos（
.
﹣α）=，则sin2α=（ ）
.
A． B． C．﹣ D．﹣
二．填空题（共7小题）
6．已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）= ．
7．已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）= ．
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．
9．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为 ．
10．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 ．
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．
12．在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|= ．
三．解答题（共9小题）
13．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=
.
，求△ABC的面积．
.
14．已知 tanα=2．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求 的值．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
.
.
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
20．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．
21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
.
.
三角函数综合复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]
【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，
由题意可得f′（x）≥0恒成立，
即为1﹣cos2x+acosx≥0，
即有﹣cos2x+acosx≥0，
设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
当t=0时，不等式显然成立；
当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，
.
）
.
由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，
可得3a≥﹣1，即a≥﹣；
当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，
由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，
可得3a≤1，即a≤．
综上可得a的范围是[﹣，]．
另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，
解得a的范围是[﹣，]．
故选：C．
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=则C=（ ）
，
A．
.
B． C． D．
.
【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵＜A＜π，
∴A=，
由正弦定理可得=，
∴sinC=，
∵a=2，c=，
∴sinC=
.
==，
.
∵a＞c，
∴C=，
故选：B．
3．函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：函数f（x）=sin（x++sin（x+
）
）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）
=sin（x+）．
故选：A．
4．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）
A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z） C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z）
【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），
由2x+
.
=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），
.
即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），
故选：B．
5．若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，
∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，
法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，
∴（1+sin2α）=，
∴sin2α=2×﹣1=﹣，
故选：D．
二．填空题（共7小题）
6．已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）= ．
.
.
【解答】解：∵θ是第四象限角，
∴，则，
又sin（θ+）=，
∴cos（θ+）=．
∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．
则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．
故答案为：﹣．
7．已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）= ．
【解答】解：∵α∈（0，），tanα=2，
∴sinα=2cosα，
∵sin2α+cos2α=1，
解得sinα=
.
，cosα=，
.
∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=×+×=，
故答案为：
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．
【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，
2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB=，
∵0＜B＜π，
∴B=，
故答案为：
9．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为 1 ．
【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx
=sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx
.
.
=sinxcosφ﹣sinφcosx
=sin（x﹣φ）≤1．
所以函数的最大值为1．
故答案为：1．
10．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 π ．
【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，
故函数的最小正周期的最小正周期为 =π，
故答案为：π．
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．
【解答】解：由cosA=，cosC=，可得
sinA===，
sinC===，
.
.
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，
由正弦定理可得b=
==．
故答案为：．
12．在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|= 2 ．
【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣y﹣1=0．
圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．
则圆心C在直线上，∴|AB|=2．
故答案为：2．
三．解答题（共9小题）
13．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=
.
，求△ABC的面积．
.
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．
∴S△ABC==1．
14．已知 tanα=2．
（1）求tan（α+）的值；
.
.
（2）求 的值．
【解答】解：tanα=2．
（1）tan（α+）===﹣3；
（2）====1．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，
∴由正弦定理得：，
∴=，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
.
.
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．
sinA=，=
+==1，=，
tanB=4．
16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，
∴sinA==，
∵B=A+．
∴sinB=sin（A+）=cosA=，
由正弦定理知=，
.
.
∴b=•sinB=×=3．
（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞
∴cosB=﹣=﹣，
sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，
∴S=a•b•sinC=×3×3×=．
17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，
∴c•acosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，
.
.
∴a2+c2=13②，
联立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，
由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC===，
则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
.
.
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
.
.
（Ⅱ）求cosC的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：
；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；
根据正弦定理，；
∴，带入（1）得：；
∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；
∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；
又a，b＞0；
.
.
∴；
∴由余弦定理，=；
∴cosC的最小值为．
20．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．
∴a2+c2﹣b2=ac．
∴cosB===，
∴B=
（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，
∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）
.
.
=cosA﹣cosA+sinA
=cosA+sinA
=sin（A+）．
∵A∈（0，），
∴A+∈（，π），
故当A+=时，sin（A+）取最大值1，
即cosA+cosC的最大值为1．
21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，
∴3csinBsinA=2a，
.
.
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC=；
（2）∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC=，
∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，
∴cos（B+C）=﹣，
∴cosA=，
∵0＜A＜π，
∴A=，
∵===2R==2，
∴sinBsinC=
.
•===，
.
∴bc=8，
∵a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣bc=9，
∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=
∴周长a+b+c=3+．
.
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