人教版高中数学总复习[知识点整理及重点题型梳理]_三角函数的概念

三角函数的概念

编稿：李霞 审稿：孙永钊

【考纲要求】

1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化. 2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.

3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值.

4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题. 【知识网络】

三角函数的概念

角的概念的推广、弧度制

任意角的三角函数

同角三角函数的基本关系式

正弦、余弦的诱导公式

【考点梳理】

考点一、角的概念与推广

1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：

与终边相同的角的集合：{|2k,kZ} 第一象限角的集合：{|2k第二象限角的集合：{|22k,kZ}

22k2k,kZ}

32k,kZ} 2第三象限角的集合：{|2k第四象限角的集合：{|32k22k,kZ} 2资料来源于网络 仅供免费交流使用

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终边在x轴上的角的集合：{|k,kZ} 终边在y轴上的角的集合：{|k终边在坐标轴上的角的集合：{|要点诠释：

要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制

1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l2,kZ}

k,kZ} 2r，扇形面积S扇形lrr2（其中r是圆的半径，是弧所对圆心角的弧度数）.

180180rad0.01745rad；1rad()57.305718'

12122．角度制与弧度制的换算：

180；1要点诠释：

要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数

1. 定义：在角上的终边上任取一点P(x,y)，记rOP则sinx2y2

xryxyr, cos, tan，cot，sec，csc.

yyrrxx2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫做的正弦线，余弦线，正切线.

3. 三角函数的定义域：ysin，ycos的定义域是R；ytan，ysec的定义域是

{|k2,kZ}；ycot，ycsc的定义域是{|k,kZ}.

4. 三角函数值在各个象限内的符号：

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要点诠释：

①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.

②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用. 考点四、同角三角函数间的基本关系式

1. 平方关系：sincos1;2. 商数关系：tan22sec21tan2;csc21cot2.

sin;coscotcos. sincossec1

3. 倒数关系：tancot1;sincsc1;要点诠释：

①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.

②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如1sincos，

221sec2tan2tan45及方程思想的运用. 考点五、诱导公式

，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法

1.2k(kZ),,,2的三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号.

2.

2，

3的三角函数值等于的互余函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在2象限的符号. 要点诠释：

诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和

记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是记忆.

的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行2资料来源于网络 仅供免费交流使用

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【典型例题】

类型一、角的相关概念 例1.已知是第三象限角,求角【答案】

的终边所处的位置. 2是第二或第四象限角 2【解析】方法一：∵是第三象限角，即2k2k∴k3,kZ， 222k3,kZ, 4当k2n时，2n∴

222n3,nZ, 4是第二象限角， 2当k2n1时，2n∴

372n,nZ, 224是第四象限角， 2∴是第二或第四象限角. 2方法二：

由图知:

的终边落在二，四象限. 2是第二象限角，其错误原因为认2【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为为第三象限角的范围是(,3 )．解决本题的关键就是为了凑出2的整数倍，需要对整数进行分类．

2*（2）确定“分角”所在象限的方法：若是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断，(nN)

n是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n等份，并从x正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k的区域就是角如：k=3，如下图中标有号码3的区域就是

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* (nN)终边所在的范围。n终边所在位置． 2精品文档 用心整理

y

举一反三：

【变式1】已知是第二象限角,求角【答案】

3 4 1 2 2 1 x 4 3 的终边所处的位置. 3是第一或第二或第四象限角 3【解析】方法一：∵是第二象限角，即2k∴

22k,kZ，

kk22,kZ, 36333当k3n时，2n∴

632n3,kZ,

是第一象限角， 352n,kZ, 63当k3n1时，2n∴

是第二象限角， 3352n,kZ, 233当k3n2时，2n∴

是第四象限角， 3∴是第一或第二或第四象限角. 3方法二：

k=2，如下图中标有号码2的区域就是

终边所在位置． 3

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由图知：

的终边落在一，二，四象限. 3【三角函数的概念xxxxxx 例2】

【变式2】已知弧长50cm的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm）. 【答案】14cm. 【解析】200°=

180类型二、任意角的三角函数

20010，那么由lr50，得r≈14cm. 9例2. 若sincos0，则角在 象限. 【答案】第一或第三 【解析】

sin0sin0方法一：由sincos0知（1）或（2）

cos0cos0由（1）知在第一象限，由（2）知在第三象限， 所以在第一或第三象限.

方法二：由sincos0有sin20，

所以2k22kkZ, 即kk2kZ

当k2n(nZ)时，为第一象限，当k2n1(nZ)时，为第三象限 故为第一或第三象限.

方法三：分别令、、、，代入sincos0，

56676116只有6、7满足条件， 6所以为第一或第三象限.

【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题. 举一反三： 【变式1】确定

tan(3).sin5的符号.

cos1【答案】原式小于零

【解析】因为3,5,1分别是第三、第四、第一象限的角，所以tan(3)0，sin50，cos10，

所以原式小于零.

【变式2】已知tancos>0，【答案】二

tan0，则是第 象限角. sin资料来源于网络 仅供免费交流使用

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【解析】∵

tan10，∴cos0，tan0，则是第二象限角. sincossinx|cosx|tanx的值. |sinx|cosx|tanx|【三角函数的概念xxxxxx 例4】 【变式3】求

【答案】当x为第一象限角时，值为3；当x为第二、三、四象限角时，值为-1.

例3.已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为射线4x3y0(x0)，则

2sin(sincot)cos的值是（ ）

1289A. B. C. D. 5555【答案】C

【解析】在角的终边上任取一点P(3,4)，则有r5， 则原式44398()，故选C. 554255举一反三：

【变式】已知角的终边过点(a,2a)(a0)，求sin、cos、tan的值 【解析】ra2(2a)25|a|

255，cos，tan2； 55255，cos，tan2. 55（1）当a0时，r5a，∴sin（2）当a0时，r5a，∴sin类型三、诱导公式

例4. （2016 四川高考）sin7500= 。 【答案】

1 21 2【解析】sin750sin(30720)sin30举一反三：

【变式1】计算：sin330cos240 【答案】1

=sin30cos601. 【解析】原式sin(36030)cos(180+60）【变式2】化简sin(【答案】0

)cos().

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【解析】原式sin()cos()sin()sin()0. 44442xx2cos0 22类型四、同角三角函数的基本关系式 例5(2015 惠州模拟)已知sin(1)求tanx的值. (2)求

cos2x的值.

2cosxsinx4【解析】(1)由sinxxx2cos0，解得：tan2 222x2tan2224 tanx21232x1tan2cos2xsin2x222cosxsinxsinx22(2)原式=cosxsinxsinxcosx

cosxsinxsinx由(1)知cosxsinx0 所以上式=

sinxcosxtanx11

sinxtanx4举一反三：

sinsin2【变式】(2015春 包头校级期末)(1)化简f ；

33cos2cos2(2)若tan2，求f的值.

sinsincossin2【解析】(1)由题意可得f.

33cossin3cos2cos2(2)

tan2

fcossintan13

3cossin3tan例6．已知2sincos0，求下列各式的值

4sin3cos22（1） ；（2）2sin3sincos5cos

2sin5cos资料来源于网络 仅供免费交流使用

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【答案】512； 451， 2【解析】由2sincos0得tan4sin3cos4tan35cos（1）原式；

2sin5cos3tan54cos112222（2）原式cos(2tan3tan5) (2tan3tan5)1tan25举一反三：

【变式】已知tan2，求值

sincos1 ；（2） 2sincos2sincoscos15【答案】；

33（1）【解析】

sincostan11cos（1）原式；

sincostan13cos（2）原式1 22sincoscoscos2()2cos1tan25 2tan13

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