在微积分中，积分是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。而对于给定的函数xsin^3x，我们可以通过积分运算来求解其原函数。
我们需要对xsin^3x进行分解，即将其拆分为两个函数的乘积。根据乘积的求导法则，我们可以得到：
xsin^3x = xsin^2x * sinx
接下来，我们需要对上述两个函数进行积分。首先考虑积分xsin^2x。根据积分的基本性质，我们可以将其拆分为两个积分的和，即：
∫(xsin^2x)dx = ∫xsin^2x dx = ∫x(1-cos^2x)dx
再根据积分的线性性质，我们可以将上式拆分为两个积分的差，即：
∫x(1-cos^2x)dx = ∫x dx - ∫xcos^2x dx
第一个积分∫x dx很容易求解，结果为x^2/2。而对于第二个积分∫xcos^2x dx，我们可以通过换元法来求解。
令u = sinx，则du = cosx dx。将其代入第二个积分中，我们得到：
∫xcos^2x dx = ∫x(1-u^2)du
再次应用积分的线性性质，我们可以得到：
∫x(1-u^2)du = ∫x du - ∫xu^2 du
第一个积分∫x du很容易求解，结果为x^2/2。而对于第二个积分∫xu^2 du，我们可以使用常数乘积法则来求解。
将积分∫xu^2 du写成常数乘积的形式，我们得到：
∫xu^2 du = ∫x(1-u)u^2 du = ∫(xu^2-xu^3)du
再次应用积分的线性性质，我们可以得到：
∫(xu^2-xu^3)du = ∫xu^2 du - ∫xu^3 du
第一个积分∫xu^2 du很容易求解，结果为x^3/3。而对于第二个积分∫xu^3 du，我们可以使用常数乘积法则来求解。
将积分∫xu^3 du写成常数乘积的形式，我们得到：
∫xu^3 du = ∫x(1-u)u^3 du = ∫(xu^3-xu^4)du
再次应用积分的线性性质，我们可以得到：
∫(xu^3-xu^4)du = ∫xu^3 du - ∫xu^4 du
第一个积分∫xu^3 du很容易求解，结果为x^4/4。而对于第二个积分∫xu^4 du，我们可以使用常数乘积法则来求解。
将积分∫xu^4 du写成常数乘积的形式，我们得到：
∫xu^4 du = ∫x(1-u)u^4 du = ∫(xu^4-xu^5)du
再次应用积分的线性性质，我们可以得到：
∫(xu^4-xu^5)du = ∫xu^4 du - ∫xu^5 du
第一个积分∫xu^4 du很容易求解，结果为x^5/5。而对于第二个积分∫xu^5 du，我们可以使用常数乘积法则来求解。
将积分∫xu^5 du写成常数乘积的形式，我们得到：
∫xu^5 du = ∫x(1-u)u^5 du = ∫(xu^5-xu^6)du
再次应用积分的线性性质，我们可以得到：
∫(xu^5-xu^6)du = ∫xu^5 du - ∫xu^6 du
第一个积分∫xu^5 du很容易求解，结果为x^6/6。而对于第二个积分∫xu^6 du，我们可以使用常数乘积法则来求解。
将积分∫xu^6 du写成常数乘积的形式，我们得到：
∫xu^6 du = ∫x(1-u)u^6 du = ∫(xu^6-xu^7)du
再次应用积分的线性性质，我们可以得到：
∫(xu^6-xu^7)du = ∫xu^6 du - ∫xu^7 du
第一个积分∫xu^6 du很容易求解，结果为x^7/7。而对于第二个积分∫xu^7 du，我们可以继续使用常数乘积法则来求解。
将积分∫xu^7 du写成常数乘积的形式，我们得到：
∫xu^7 du = ∫x(1-u)u^7 du = ∫(xu^7-xu^8)du
再次应用积分的线性性质，我们可以得到：
∫(xu^7-xu^8)du = ∫xu^7 du - ∫xu^8 du
第一个积分∫xu^7 du很容易求解，结果为x^8/8。而对于第二个积分∫xu^8 du，我们可以继续使用常数乘积法则来求解。
将积分∫xu^8 du写成常数乘积的形式，我们得到：
∫xu^8 du = ∫x(1-u)u^8 du = ∫(xu^8-xu^9)du
再次应用积分的线性性质，我们可以得到：
∫(xu^8-xu^9)du = ∫xu^8 du - ∫xu^9 du
第一个积分∫xu^8 du很容易求解，结果为x^9/9。而对于第二个积分∫xu^9 du，我们可以继续使用常数乘积法则来求解。
将积分∫xu^9 du写成常数乘积的形式，我们得到：
∫xu^9 du = ∫x(1-u)u^9 du = ∫(xu^9-xu^10)du
再次应用积分的线性性质，我们可以得到：
∫(xu^9-xu^10)du = ∫xu^9 du - ∫xu^10 du
第一个积分∫xu^9 du很容易求解，结果为x^10/10。而对于第二个积分∫xu^10 du，我们可以继续使用常数乘积法则来求解。
将积分∫xu^10 du写成常数乘积的形式，我们得到：
∫xu^10 du = ∫x(1-u)u^10 du = ∫(xu^10-xu^11)du
再次应用积分的线性性质，我们可以得到：
∫(xu^10-xu^11)du = ∫xu^10 du - ∫xu^11 du
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