平面向量的概念及线性运算专题训练

一、选择题

→→→→→→→→→→

1.已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②AB＋MB＋BO＋OM；③OA＋OB＋BO＋→→→→→

CO；④AB－AC＋BD－CD，其中结果为零向量的个数为( ) A.1

B.2

C.3

D.4

2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a与λa的方向相反 C.|－λa|≥|a|

B.a与λ2a的方向相同 D.|－λa|≥|λ|·a

→→→

3.如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )

→

A.0 B.BE →→C.AD D.CF

4.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0； ②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( ) A.0

B.1

C.2

D.3

5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面→→→→

内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( ) →→→→A.OM B.2OM C.3OM D.4OM

→→→→→

6.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于( )

21522112A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 33333333

→→→

7. 设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为( ) A.－2

B.－1

C.1

D.2

8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两

→→→

个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝( )

1111A.a－b B.a－b C.a＋b D.a＋b

2222 二、填空题

9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边→

形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA相等的向量有________个.

10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于→→→

点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.

→→→

11.向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝

2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________.

→→→→→

12.已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝

→

mAM成立，则m＝________.

→→

13.设e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1

→

＋e2，CD＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为( )

943A.－ B.－ C.－ D.不存在

498

→→14.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋→

BA，则( )

A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上

→

15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP

→→→

ABAC＝OA＋λ→＋→，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( |AB||AC|A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

)

→→→→→

16.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________.

平面向量的概念及线性运算专题训练答案

一、选择题

→→→→→→→→→→

1.已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②AB＋MB＋BO＋OM；③OA＋OB＋BO＋→→→→→

CO；④AB－AC＋BD－CD，其中结果为零向量的个数为( ) A.1

B.2

C.3

D.4

解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B

2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a与λa的方向相反 C.|－λa|≥|a|

B.a与λ2a的方向相同 D.|－λa|≥|λ|·a

解析 对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小. 答案 B

→→→

3.如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )

→

A.0 B.BE →→C.AD D.CF

→→→→→→→→→

解析 由题图知BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝CB＋BF＝CF. 答案 D

4.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0； ②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( ) A.0

B.1

C.2

D.3

解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.

答案 D

5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面→→→→

内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( ) →→→→A.OM B.2OM C.3OM D.4OM

→→→→→→→→→→→

解析 OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝2OM＋2OM＝4OM.故选D. 答案 D

→→→→→

6.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于( )

21522112A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 33333333

→→→→→→→→

解析 ∵BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC＝2(AC－AD)， →→→→→→

2121

∴3AD＝2AC＋AB，∴AD＝AC＋AB＝b＋c.

3333答案 A

→→→

8. 设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为( ) A.－2

B.－1

C.1

D.2

→→→→→

解析 ∵BC＝a＋b，CD＝a－2b，∴BD＝BC＋CD＝2a－b.

→→

又∵A，B，D三点共线，∴AB，BD共线. →→

设AB＝λBD，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1. 答案 B

8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两→→→

个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝( )

11A.a－b B.a－b

2211C.a＋b D.a＋b

22

→→

1

解析 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝

2→→→

11a，所以AD＝AC＋CD＝b＋a. 22答案 D 二、填空题

9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边→

形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA相等的向量有________个.

→

解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA相等的向量有→→→

CB，DO，EF，共3个. 答案 3

10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点→→→

O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.

→→→

解析 因为ABCD为平行四边形，所以AB＋AD＝AC＝→2AO，

→→→

已知AB＋AD＝λAO，故λ＝2. 答案 2

→→→

11.向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________.

→→→→→→

解析 由AC＝AB－CB＝4e1＋2e2＝2CD，且AB与CB不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上. 答案 ④

→→→→→

12.已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝

→

mAM成立，则m＝________.

→→→

解析 由已知条件得MB＋MC＝－MA，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB→

的中点，即M为△ABC的重心，∴AM＝ →→→→→→21

AD＝(AB＋AC)，即AB＋AC＝3AM，则m＝3. 33答案 3

→→→13. 设e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为( ) 9A.－

4

4B.－

9

3C.－

8

D.不存在

→→

解析 由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD. →→→

又AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，

→→→

所以BD＝CD－CB＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，

所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 3＝λ（3－k），9所以解得k＝－.

42＝－λ（2k＋1），答案 A

→→

14.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋→

BA，则( ) A.点P在线段AB上

B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上

→→→→→

解析 因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.

答案 B

→

15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP

→→AB→

AC＝OA＋λ→＋→，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )

|AB||AC|A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

解析 作∠BAC的平分线AD. →→AB→→

AC∵OP＝OA＋λ→＋→，

|AB|

|AC|



→→→AB→

ACAD∴AP＝λ→＋→＝λ′·→(λ′∈[0，＋∞))，

|AB||AC|

|AD|

→→→→

λ′

∴AP＝→·AD，∴AP∥AD.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.

|AD|答案 B

→→→→→

16.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________.

→→→→→→→→→

解析 OB＋OC－2OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)＝AB＋AC， →→→→→OB－OC＝CB＝AB－AC， →→→→∴|AB＋AC|＝|AB－AC|.

故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形. 答案 直角三角形