微专题一 数形结合与实数的运算
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是( ) A．原点在点A的左边 C．原点在点B的右边
B．原点在线段AB的中点处 D．原点可以在点A或点B上
1－220
2．(2018·浙江绍兴模拟)计算－(2)＋(2＋π)＋(－)的结果是( )
2A．1
B．2
11 C.
4
D．3
11
3．定义一种新运算☆，其规则为a☆b＝＋，根据这个规则，计算2☆3的值是( )
ab5
A. 6
1
B. 5
C．5
D．6
4．如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是( )
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
135．若实数a满足|a－|＝，则a对应于图中数轴上的点可以是A，B，C三点中的点______.
22
6．计算：8－|2－22|＋2tan 45°＝______．
7．(2019·创新题)按所给程序计算：输入x＝3，则输出的答案是________.
输入x→立方→－x→÷2→答案
8．观察下列各式： 111＝1－＝； 1×222
111112
＋＝1－＋－＝； 1×22×32233
111111113
＋＋＝1－＋－＋－＝； 1×22×33×4223344…
按以上规律，写出第n个式子的计算结果(n为正整数)____．(写出最简计算结果即可) 111111119．设S1＝1＋2＋2，S2＝1＋2＋2，S3＝1＋2＋2，…，Sn＝1＋2＋2.
122334n（n＋1）设S＝S1＋S2＋…＋Sn，则S＝____(用含n的代数式表示，其中n为正整数). 10．设an为正整数n的末位数，如a1＝1，a2＝6，a3＝1，a4＝6.则a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＋
...
4
...
a2 018＋a2 019＝______________．
11．(2019·创新题)有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4…则第2 018次输出的结果是______.
12．(2019·改编题)计算：2＋(327－
1－10
13．计算：()－|－2＋3tan 45°|＋(2－2 018)－(2－3)(2＋3)．
3
14．如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a－b|.
－2
1
6)÷6－3sin 45°. 4
回答下列问题：
(1)在数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，在数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；
(2)在数轴上表示x和－5的两点之间的距离是________；
(3)若x表示一个有理数，则|x－1|＋|x＋3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
15．我们知道，一元二次方程x＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1.若我们规定一个新数“i”，使其满足i＝－1(即方程x＝－1有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i＝i，i3
2
4
22
2
1
2
2
2
2
＝－1，i＝i·i＝(－1)·i＝－i，i＝(i)＝(－1)＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4
4n＋1
＝i·i＝(i)·i＝i，同理可得i4n4n4n＋2
＝－1，i4n＋3
＝－i，i＝1.求i＋i＋i4n23
＋i＋…＋
i2 018＋i2 019的值．
...
...
参考答案
1．D 2.D 3.A 4.B
nn＋2n
5．B 6.4 7.12 8. 9.
n＋1n＋110．6 666 11.4 12．解：原式＝4＋3271291315
－－3×＝4＋2－－2＝＋32. 6422424
2
13．解：原式＝3－(2－3)＋1－(2－3) ＝3－2＋3＋1－(－1) ＝3＋3. 14．解：(1)3 4 (2)|x＋5|
(3)根据绝对值的定义知|x－1|＋|x＋3|可表示点x到表示1与－3的两点的距离之和．根据几何意义分析可知当x在－3与1之间时，|x－1|＋|x＋3|有最小值4.
15．解：由题意得，i＝i，i＝－1，i＝－i，i＝1，i＝i·i＝i，i＝i·i＝－1， 故可发现4个一循环，一个循环内的和为0. ∵2 019÷4＝504……3 ∴i＋i＋i＋i＋…＋i
2
3
4
2 0181
2
3
4
5
4
6
5
＋i
2 019
＝504×0＋(i－1－i)＝－1.
...
...
微专题二 代数式的化简与求值
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．下列运算正确的是( ) A．x－2x＝－x C．x＋x＝x
2
2
4
B．2x－y＝－xy
D．(x－1)＝x－1
2
2
1112ab
2．(2018·浙江丽水模拟)已知－＝，则的值是( )
ab3a－b1
A. 6C．6
1B．－
6
D．－6
2
2
3．实数a在数轴上的位置如图所示，则（a－4）＋（a－11）化简后为( )
A．7
B．－7 D．无法确定
2
2
C．2a－15
4．已知m＝1＋2，n＝1－2，则代数式m＋n－3mn的值为( ) A．9 C．3
B．±3
D．5
5．已知2a－3b＝7，则8＋6b－4a＝________. 6．已知a<0，化简：12
4－（a＋）－a
12
4＋（a－）＝________.
a
1ab
7．若＝＋，对任意自然数n都成立，则a＝____，b＝______；
（2n－1）（2n＋1）2n－12n＋11111
计算：m＝＋＋＋…＋＝____.
1×33×55×719×21
8．(2019·改编题)若m＝n＋2，n＝m＋2(m≠n)，则m－2mn＋n的值为________. 9. 先化简，再求值：(x＋2)(x－2) ＋x(1－x)，其中x＝－1.
a＋1a3a＋1
10．化简：(－)÷2 a－1a＋1a＋a
x＋2x＋1x
11．已知A＝2－.
x－1x－1(1)化简A.
2
2
2
3
3
...
...
x－1≥0，
(2)当x满足不等式组且x为整数时，求A的值．
x－3<0，
m－4m＋43
12．先化简，再求值：÷(－m－1)，其中m＝2－2.
m－1m－1
13．为鼓励学生努力学习，某校拿出了b元资金作为奖学金，其中一部分作为奖学金发给了n个学生．奖金分配方案如下：首先将n个学生按学习成绩、思想道德评价(假设n个学生b
的综合评分均不相同)从高到低，由1到n排序，第1位学生得奖金元，然后再将余额除以
nn发给第2位学生，按此方法将奖金逐一发给了n个学生．
(1)假设第k个学生得到的奖金为ak元(1≤k≤n)，试用k，n和b表示ak.
(2)比较ak和ak＋1的大小(k＝1，2，…，n－1)，并解释此结果就奖学金设置原则的合理性．
参考答案
1．A 2.D 3.A 4.C 10
5．－6 6.－2 7. 8.－2
219．解：原式＝x－4＋x－x＝x－4. 当x＝－1时，原式＝－1－4＝－5. （a＋1）
10．解：原式＝[
（a－1）（a＋1）a（a－1）a＋a－]· （a－1）（a＋1）3a＋1a＋2a＋1－a＋aa（a＋1）＝· （a－1）（a＋1）3a＋1
...
2
2
2
2
2
22
...
＝3a＋1a（a＋1）
（a－1）（a＋1）·3a＋1
＝
a
a－1
. 11．解：(1)A＝x2
＋2x＋1x
x2－1－x－1 2
＝（x＋1）（x＋1）（x－1）－x
x－1 ＝x＋1x－1－x1x－1＝x－1. (2)解x－1≥0，得x≥1； 解x－3<0，得x<3，
∴x－1≥0，的解为1≤x<3.
x－3<0∵x为整数，∴x＝1，2. 当x＝1时，分式无意义． 当x＝2时，A＝
1
2－1
＝1. 12．解：原式＝（m－2）2
3－m2
＋1
m－1÷m－1
2
＝（m－2）（2＋m）（2m－1÷－m）
m－1 2＝（m－2）m－12－mm－1×（2＋m）（2－m）＝2＋m.
当m＝2－2时，
原式＝2－2＋24－22＋2－2＝2＝22－1.
13．解：(1)ab1k－1
k＝n(1－n).
(2)∵ab1k－1
k＝n(1－n)，
ab1k
k＋1＝n(1－n)，
∴a1
k＋1＝(1－n
)ak ... ... ... ... 微专题三 列方程(组)解应用题 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是( ) A．100元 B．90元 C．810元 D．819元 2．一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店( ) A．不盈不亏 C．亏损10元 B．盈利20元 D．亏损30元 3．中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于( )个正方体的重量． A．2 B．3 C．4 D．5 4．夏季来临，某超市试销A，B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5 300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A，B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为( ) x＋y＝5 300A. 200x＋150y＝30 x＋y＝5 300 B. 150x＋200y＝30x＋y＝30D. 150x＋200y＝5 300 x＋y＝30 C. 200x＋150y＝5 300 5．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 单价 里程费 1.8元/公里 时长费 0.3元/分钟 运途费 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、运途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算；运途费的收取方式为：行车7公里以内(含7公里)不收运途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元. 小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里和8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差( ) A．10分钟 C．15分钟 B．13分钟 D．19分钟 ... ... 6．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为__________________________． 7．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为________尺，竿子长为________尺． 8．《孙子算经》中有这样一道题，原文如下： 今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？ 大意为： 今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？ 请解答上述问题． 9．在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2 560元，求两种型号粽子各多少千克． ... ... 10．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造． (1)原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？ (2)到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1∶2，且里程数之比为2∶1.为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a＞0)，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值． 参考答案 1．A 2.C 3.D 4.C 5.D 6．2x＋56＝589－x 7.20 15 8．解：设城中有x户人家． x 依题意得x＋＝100， 3解得x＝75. 答：城中有75户人家． ... ... 9．解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克， y＝2x－20， 根据题意得 28x＋24y＝2 560，x＝40， 解得 y＝60. 答：订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克． 10．解：(1)设道路硬化的里程数是x千米，则道路拓宽的里程数是(50－x)千米． 根据题意得x≥4(50－x)，解得x≥40. 答：原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米． (2)设2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为2x千米，x千米， 2x＋x＝45，x＝15，2x＝30， 设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为y万元，2y万元， 30y＋15×2y＝780，y＝13， 2y＝26， 由题意得13(1＋a%)·40(1＋5a%)＋26(1＋5a%)·10(1＋8a%)＝780(1＋10a%)， 设a%＝m，则520(1＋m)(1＋5m)＋260(1＋5m)(1＋8m)＝780(1＋10m)， 10m－m＝0，m1＝0.1，m2＝0(舍去)， ∴a＝10. 2 ... ... 微专题四 反比例函数、二次函数图象与性质的综合应用 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．如图，若二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B(－1，0)，则 ①二次函数的最大值为a＋b＋c； ②a－b＋c＜0； ③b－4ac＜0； ④当y＞0时，－1＜x＜3.其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2 2 k 2．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点D，交BC x边于点E.若△BDE的面积为1，则k＝______． 3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x＋20x，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 2 ... ... x－2 4．参照学习函数的过程与方法，探究函数y＝的图象与性质． xx－2222 因为y＝＝1－，即y＝－＋1，所以我们对比函数y＝－来探究． xxxx列表： x－2 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐x标，描出相应的点，如图所示： (1)请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连结起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x＜0时，y随x的增大而________；(填“增大”或“减小”) x－22②y＝的图象是由y＝－的图象向______平移______个单位而得到； xx③图象关于点______________中心对称．(填点的坐标) x－2 (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝的图象上的两点，且x1＋x2＝0，试求y1＋y2＋3 x的值． ... ... 5.为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示． (1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？ ... ... mn 6．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝(x＞0，0＜m＜n)的图象上， xx对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4. (1)当m＝4，n＝20时． ①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式； ②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由． ... ... 参考答案 1．B 2.4 3．解：(1)当y＝15时，15＝－5x＋20x， 解得x1＝1，x2＝3， 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s. (2)当y＝0时，0＝－5x＋20x， 解得x1＝0，x2＝4 ∵4－0＝4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s. (3)y＝－5x＋20x＝－5(x－2)＋20， ∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20， 答：在飞行过程中，小球飞行高度在第2 s时最大，最大高度是20 m. 4．解：(1)画出函数图象如图所示． 2 2 2 2 (2)①增大 ②上 1 ③(0，1) (3)∵x1＋x2＝0，∴x1＝－x2. ∴A(x1，y1)，B(x2，y2)关于(0，1)对称， ∴y1＋y2＝2， ∴y1＋y2＋3＝5. 5．解：(1)设直线AB的表达式为y＝kx＋b， 4k＋b＝4， 代入A(4，4)，B(6，2)得 6k＋b＝2，k＝－1， 解得 b＝8， ∴直线AB的表达式为y＝－x＋8. 1 同理代入B(6，2)，C(8，1)可得直线BC的表达式为y＝－x＋5. 2 ... ... ∵工资及其他费用为0.4×5＋1＝3(万元)， ∴当4≤x≤6时，w1＝(x－4)(－x＋8)－3＝－x＋12x－35， 112 当6 w1＝－x＋12x－35＝－(x－6)＋1， ∴当x＝6时，w1取最大值是1. 当6 w2＝－x＋7x－23＝－(x－7)＋， 2223当x＝7时，w2取最大值是. 210202∴＝＝6， 3332 即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款． 4 6．解：(1)①∵m＝4，∴反比例函数为y＝. x当x＝4时，y＝1，∴B(4，1)． 4 当y＝2时，2＝， x∴x＝2，∴A(2，2)． 设直线AB的表达式为y＝kx＋b， 2 2 2 2k＋b＝2，k＝－，2 ∴∴ 4k＋b＝1， b＝3， 1 ∴直线AB的表达式为y＝－x＋3. 2②四边形ABCD是菱形． 理由如下：如图，由①知，B(4，1)． 1 ∵BD∥y轴，∴D(4，5)． ... ... ∵点P是线段BD的中点，∴P(4，3)． 44 当y＝3时，由y＝得x＝， x32020 由y＝得x＝， x3 48208∴PA＝4－＝，PC＝－4＝， 3333∴PA＝PC. ∵PB＝PD，∴四边形ABCD为平行四边形． ∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形． (2)四边形ABCD能是正方形． 理由如下：当四边形ABCD是正方形时， PA＝PB＝PC＝PD＝t(t≠0)． mm 当x＝4时，y＝＝， x4m ∴B(4，)， 4 mm ∴A(4－t，＋t)，∴(4－t)(＋t)＝m， 44 mmmmm ∴t＝4－，∴点D的纵坐标为＋2t＝＋2(4－)＝8－， 44444mm ∴D(4，8－)，∴4(8－)＝n， 44∴m＋n＝32. ... ... 微专题五 以特殊三角形为背景的计算与证明 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连结AD，CD. (1)求证：△ADE≌△CDB； (2)若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值． 2．如图，在等边△ABC中，点D，E，F分别同时从点A，B，C出发，以相同的速度在AB，BC，CA上运动，连结DE，EF，DF. (1)证明：△DEF是等边三角形； S△DEF (2)在运动过程中，当△CEF是直角三角形时，试求的值． S△ABC ... ... 3．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； (2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数； (3)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． ... ... 4．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点． (1)求证：BD＝CE； (2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长． ... ... 5．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB＝6，AC＝8.点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中： (1)求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等； (2)求△PQR面积的最小值； (3)用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间，是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． ... ... 6．问题：(1)如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为________； 探索：(2)如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长． ... ... 参考答案 1．(1)证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，E为AB边的中点， ∴BC＝EA，∠ABC＝60°. ∵△DEB为等边三角形， ∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°， ∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°， ∴∠DEA＝∠DBC， ∴△ADE≌△CDB. (2)解：如图，作点E关于直线AC对称点E′，连结BE′交AC于点H，连结EH，AE′， 则点H即为符合条件的点． 由作图可知，EH＝HE′，AE′＝AE，∠E′AC＝∠BAC＝30°， ∴∠EAE′＝60°，∴△EAE′为等边三角形， 1 ∴EE′＝EA＝AB，∴∠AE′B＝90°. 2在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝3， ∴AB＝23，AE′＝AE＝3， ∴BE′＝AB－AE′＝（23）－（3）＝3， ∴BH＋EH的最小值为3. 2．(1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA. ∵AD＝BE＝CF，∴BD＝CE＝AF. 在△ADF，△BED和△CFE中， AD＝BE＝CF， ∵∠A＝∠B＝∠C， AF＝BD＝CE， ∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴FD＝DE＝EF， ∴△DEF是等边三角形． (2)解：∵△ABC和△DEF是等边三角形， 2 2 2 2 ... ... ∴△DEF∽△ABC. 当DE⊥BC时(EF⊥BC时，同理)，∠BDE＝30°， 11 ∴BE＝BD，即BE＝BC， 232CE＝BC. 3 233 ∵EF＝EC·sin 60°＝BC·＝BC， 323S△DEFEF2321 ∴＝()＝()＝. S△ABCBC33 3．(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形． 1 ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°， 2∴∠ACD＝∠A＝40°， ∴△ACD为等腰三角形． ∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC， ∴△BCD∽△BAC， ∴CD是△ABC的完美分割线． (2)解：①当AD＝CD时，如图， 则∠ACD＝∠A＝48°. ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°. ②当AD＝AC时，如图， 180°－48° 则∠ACD＝∠ADC＝＝66°. 2∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°. ③当AC＝CD时，如图， ... ... 则∠ADC＝∠A＝48°. ∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°. ∵∠ADC＝∠BCD＝48°与∠ADC>∠BCD矛盾， ∴AC＝CD不成立． 综上所述，∠ACB＝96°或114°. (3)解：由已知得AD＝AC＝2. BCBDCD ∵△BCD∽△BAC，∴＝＝. BABCAC设BD＝x(x>0)， 则(2)＝x(x＋2)， 解得x＝3－1(负值舍去)， CDBD3－1∴＝＝， ACBC2∴CD＝ 3－1 ×2＝6－2. 2 2 4．(1)证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE. (2)解：如图，①当点E在AB上时，BE＝AB－AE＝1. ∵∠EAC＝90°，∴CE＝AE＋AC＝5. 同(1)可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA＝∠ECA. ∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC， PBBEPB125∴＝，∴＝，∴PB＝. ACCE255②如图，当点E在BA延长线上时，BE＝3. 22... ... ∵∠EAC＝90°，∴CE＝AE＋AC＝5. 同(1)可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA＝∠ECA. ∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC， PBBEPB365∴＝，∴＝，∴PB＝. ACCE2552565综上所述，PB的长为或. 55 5．(1)证明：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8， AC843 ∴BC＝10，sin∠B＝＝＝，sin∠C＝. BC1055如图，过点Q作QE⊥AB于点E，作QD⊥AC于点D. 2 2 在Rt△BQE中，BQ＝5t， QE4 ∴sin∠B＝＝，∴QE＝4t. BQ5在Rt△CDQ中，CQ＝BC－BQ＝10－5t， 3 ∴QD＝CQ·sin∠C＝(10－5t)＝3(2－t)， 54 QE＝BQ·sin∠B＝5t·＝4t. 5由运动知AP＝3t，CR＝4t， ∴BP＝AB－AP＝6－3t＝3(2－t)，AR＝AC－CR＝8－4t＝4(2－t)， 11 ∴S△APR＝AP·AR＝×3t×4(2－t)＝6t(2－t)， 2211 S△BPQ＝BP·QE＝×3(2－t)×4t＝6t(2－t)， 2211 S△CQR＝CR·QD＝×4t×3(2－t)＝6t(2－t)， 22 ... ... ∴S△APR＝S△BPQ＝S△CQR， ∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等． (2)解：由(1)知，S△APR＝S△BPQ＝S△CQR＝6t(2－t)． ∵AB＝6，AC＝8， ∴S△PQR＝S△ABC－(S△APR＋S△BPQ＋S△CQR) 12＝×6×8－3×6t(2－t)＝24－18(2t－t) 2＝18(t－1)＋6. ∵0≤t≤2，∴当t＝1时，S△PQR最小＝6. (3)解：存在．由(1)知QE＝4t，QD＝3(2－t)，AP＝3t，CR＝4t，AR＝4(2－t)， ∴BP＝AB－AP＝6－3t＝3(2－t)， AR＝AC－CR＝8－4t＝4(2－t)． ∵∠A＝90°，∴四边形AEQD是矩形， ∴AE＝DQ＝3(2－t)，AD＝QE＝4t， ∴DR＝|AD－AR|＝|4t－4(2－t)| ＝|4(2t－2)|， PE＝|AP－AE|＝|3t－3(2－t)| ＝|3(2t－2)|. ∵∠DQE＝90°，∠PQR＝90°， ∴∠DQR＝∠EQP， ∴tan∠DQR＝tan∠EQP. 在Rt△DQR中， DR4|2t－2| tan∠DQR＝＝， DQ3（2－t）在Rt△EQP中， PE3|2t－2| tan∠EQP＝＝， QE4t4|2t－2|3|2t－2| ∴＝， 3（2－t）4t18 ∴t＝或1. 25 6．解：(1) BC＝DC＋EC (2)BD＋CD＝2AD，理由如下： 如图，连结CE. 2 2 2 2 ... ... ∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△BAD与△CAE中， AB＝AC， ∵∠BAD＝∠CAE， AD＝AE，∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B， ∴∠DCE＝90°，∴CE＋CD＝ED. 在Rt△ADE中，AD＋AE＝ED，AD＝AE， ∴BD＋CD＝ED，ED＝2AD， ∴BD＋CD＝2AD. (3)如图，作AE⊥AD，使AE＝AD，连结CE，DE. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD与△CAE中， AB＝AC， ∠BAD＝∠CAE， AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE＝9. ∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°， ∴∠EDC＝90°，∴DE＝CE－CD＝62. ∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝ 2 DE＝6. 2 2 2 ... ... ... ... 微专题六 以特殊四边形为背景的计算与证明 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证： (1)∠BOD＝∠C； (2)四边形OBCD是菱形． ... ... 2．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连结CF. (1)求证：△AEF≌△DEB； (2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． ... ... 3．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连结MN. (1)求证：OM＝ON； (2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长． ... ... 4．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC. (1)求证：点F为AB的中点； (2)延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED＝2，求AH的值． ... ... 5．问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.并且量得AB＝2 cm，AC＝4 cm. 操作发现： (1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是________； (2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连结CC′，取CC′的中点F，连结AF并延长至点G，使FG＝AF，连结CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论； 实践探究： (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连结CC′，试求tan∠C′CH的值． ... ... 参考答案 1．证明：(1)如图，延长AO到E. ∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO. 又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO， ∴∠BOE＝2∠BAO. 同理∠DOE＝2∠DAO， ∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)， 即∠BOD＝2∠BAD. 又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C. (2)如图，连结OC. ∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC， ∴△OBC≌△ODC， ∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO. ∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC， ∠BCD＝∠BCO＋∠DCO， 11 ∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD. 22又∠BOD＝∠BCD， ∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC. 又OB＝OD，BC＝CD， ∴OB＝BC＝CD＝DO， ∴四边形OBCD是菱形． 2．证明：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝DE. ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB， ∴△AEF≌△DEB(AAS)． (2)如图，连结DF. ... ... ∵AF∥CD，AF＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE. ∵AE＝DE， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB. ∵AB＝AC，∴DF＝AC， ∴四边形ADCF是矩形． 3．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°， ∴∠OAM＝∠OBN＝135°. ∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠AOM＝∠BON， ∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON. (2)解：如图，过点O作OH⊥AD于点H. ∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2. ∵E为OM的中点，∴HM＝4， 则OM＝2＋4＝25， ∴MN＝2OM＝210. 4．(1)证明：∵EF⊥EC， ∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠AEF＋∠AFE＝90°， ∠DEC＋∠DCE＝90°， ∴∠AEF＝∠DCE，∠AFE＝∠DEC. 22... ... ∵AE＝DC，∴△AEF≌△DCE. ∴ED＝AF. ∵AE＝DC＝AB＝2DE， ∴AB＝2AF，∴F是AB的中点． (2)解：由(1)得AF＝FB，且AE∥BH， ∴∠FBH＝∠FAE＝90°，∠AEF＝∠FHB， ∴△AEF≌△BHF，∴HB＝AE. ∵ED＝2，且AE＝2ED，∴AE＝4， ∴HB＝AB＝AE＝4， ∴AH＝AB＋BH＝16＋16＝32， ∴AH＝42. 5．解：(1)菱形 (2)在图1中，∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°， ∴∠BAC＋∠ACB＝90°. 在图3中，由旋转知，∠DAC′＝∠DAC， ∴∠ACB＝∠DAC′， ∴∠BAC＋∠DAC′＝90°. ∵点D，A，B在同一条直线上， ∴∠CAC′＝90°. 由旋转知，AC＝AC′. ∵点F是CC′的中点，∴AG⊥CC′，CF＝C′F. ∵AF＝FG， ∴四边形ACGC′是平行四边形． ∵AG⊥CC′，∴四边形ACGC′是菱形． ∵∠CAC′＝90°， ∴菱形ACGC′是正方形． (3)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4， ∴BC′＝AC＝4，BD＝BC＝23， AB1 sin ∠ACB＝＝， AC2∴∠ACB＝30°. 由(2)结合平移知，∠CHC′＝90°. 2 2 2 ... ... 在Rt△BCH中，∠ACB＝30°， ∴BH＝BC·sin 30°＝3， ∴C′H＝BC′－BH＝4－3. 在Rt△ABH中，AH＝1 2AB＝1， ∴CH＝AC－AH＝4－1＝3， 在Rt△CHC′中， tan ∠C′CH＝C′HCH＝4－3 3. ... ... 微专题七 与圆有关的计算与证明 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．若将半径为12 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是( ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm 2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋︵ 转90°得到△BOD，则AB的长为( ) A．π 3 B.π 2 C．3π D．6π 3. 如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为( ) 2 A.π－23 34 C.π－23 3 2 B.π－3 34 D.π－3 3 4．一般地，如果在一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，并用A表示“试M 验结果落在区域D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为PA＝.如图， D现在往等边三角形ABC内投入一个点，则该点落在△ABC的内切圆中的概率是______. 5．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为________． ... ... 6．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r的圆内接正n边形的周l6rl 长为L，圆的直径为d.如图所示，当n＝6时，π≈＝＝3，那么当n＝12时，π≈＝ d2rd____________．(结果精确到0.01，参考数据：sin 15°＝cos 75°≈0.259) 7．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是______. 8．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60 cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当 弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120°. (1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为________cm. (2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为______________cm. 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E，F. ... ... (1)求证：EF是⊙O的切线； ︵ (2)若AC＝4，CE＝2，求BD的长度．(结果保留π) 10.如图，已知AB是圆O的直径．弦CD⊥AB，垂足为H.与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连结AF交CD于点N. (1)求证：CA＝CN； 4 (2)连结DF，若cos∠DFA＝，AN＝210，求圆O的直径的长度． 5 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x－23与x轴，y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1. ... ... (1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由； (2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长； (3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标． ... ... 参考答案 1．D 2.B 3.C 4. 3 π 5.πa 6.3.11 7.42 9 8．(1)303 (2)105－10 9．解：(1)证明：如图，连结OD. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO， ∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE. ∵AE⊥EF，∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线． (2)如图，作OG⊥AE于点G，连结BD， 1 则AG＝CG＝AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°， 2∴四边形ODEG是矩形， ∴OA＝OB＝OD＝CG＋CE＝2＋2＝4，∠DOG＝90°. ∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°， ∴△ADE∽△ABD， AEAD6AD∴＝，即＝， ADABAD8∴AD＝48. 在Rt△ABD中，BD＝AB－AD＝4. 在Rt△ABD中，∵AB＝2BD， ∴∠BAD＝30°， ∴∠BOD＝60°， ︵60·π·44π则BD的长度为＝. 180310．(1)证明：如图，连结OF. ∵ME与圆O相切于点F，∴OF⊥ME， 即∠OFN＋∠MFN＝90°. ... 2 2 2 ... ∵∠OFN＝∠OAN，∠OAN＋∠ANH＝90°， ∴∠MFN＝∠ANH.(等量代换) 又∵ME∥AC，∴∠MFN＝∠NAC， ∴∠ANH＝∠NAC.∴CA＝CN. (2)解：如图，连结OC， 4 ∵cos ∠DFA＝， 54 ∴cos C＝. 5 在直角△AHC中，设AC＝5a，HC＝4a， 则AH＝3a. 由(1)知，CA＝CN，∴NH＝a. 在直角△ANH中，利用勾股定理得AH＋NH＝AN， 即(3a)＋a＝(210)，解得a＝2. 如图，连结OC，在直角△OHC中，利用勾股定理得OH＋HC＝OC. 50222 设圆O的半径为R，则(R－6)＋8＝R，解得2R＝， 350 ∴圆O的直径长度为2R＝. 311．解：(1)原点O在⊙P外． 理由：∵直线y＝3x－23与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴点A(2，0)，点B(0，－23)． OA3 在Rt△OAB中，tan∠OBA＝＝， OB3∴∠OBA＝30°. 如图，过点O作OH⊥AB于点H. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... ... 在Rt△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝3. ∵3>1，∴原点O在⊙P外． (2)如图，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时， ∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝30°， ∴⊙P被y轴所截得的劣弧所对的圆心角为180°－30°－30°＝120°， 120π×12π ∴弧长为＝. 1803 2π 同理，当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为. 32π ∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧长为. 3 (3)如图，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，连结DP，则PD⊥x轴， ∴PD∥y轴， ∴∠APD＝∠ABO＝30°， ... ... ∴在Rt△DAP中，AD＝DP·tan ∠DPA＝1×tan 30°＝ 3， 3 3 ，0)． 3 3， 3 ∴OD＝OA－AD＝2－∴此时点D的坐标为(2－ 当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为(2＋0)． 综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为(2－ 33 ，0)或(2＋，0)． 33 3 ，3 ... ... 微专题八 巧用图形变换进行计算与证明 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是( ) 2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( ) A.3 B．23 C．33 D．43 3．如图，已知⊙O的半径为3，∠AOB＋∠COD＝150°，则阴影部分的面积为_________. 4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝5 m，现需在台阶从点A到点C处铺上红地毯，则该地毯的长度为______m. ... ... 5．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6 cm，则AC＝______cm. 6．如图①，四边形CFDE是正方形，且点E，D，F分别在三角形ABC的三边上，观察图①和图②，请回答下列问题： (1)请简述由图①变成图②的形成过程：_______________________________ _______________________. (2)若AD＝3，DB＝4，则△ADE和△BDF的面积之和为______. 7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是______形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB的任意点，则PE＋PF的最小值是_________． 8．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2 019次后，点P的坐标为______________________. ... ... 9．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，CD边上的动点(含端点)，且∠MBN＝45°.求证：AM＋CN＝MN. 10．问题背景： 如图1，点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，则点C即为所求． (1)实践运用： 如图2，已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为________． (2)知识拓展： 如图3，在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE＋EF的最小值，并写出解答过程． ... ... 11．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°.连结AD，BC，点H为BC中点，连结OH. 1 (1)如图1所示，求证：OH＝AD且OH⊥AD； 2 (2)将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论． ... ... 参考答案 15π 1．A 2.B 3. 4.8 5.6 4 6．(1)图①中的△ADE绕点D逆时针旋转90°得到图② (2)6 7．菱 15 8.(6 058，1) 4 9．证明：∵∠C＝∠A＝90°，BC＝BA， ∴将△BCN绕点B逆时针旋转90°得到△BAN′，如图所示． ∵∠MBN＝45°，∴∠MBN′＝45°. 在△MBN和△MBN′中， BN＝BN′， ∠MBN＝∠MBN′， BM＝BM. ∴△MBN≌△MBN′(SAS)， ∴MN＝MN′， 即AM＋AN′＝MN， ∴AM＋CN＝MN. 10．解：(1)22 (2)如图，在斜边AC上截取AB′＝AB，连结BB′. ∵AD平分∠BAC， ∴∠B′AM＝∠BAM， 在△B′AM和△BAM中， AB′＝AB， ∠B′AM＝∠MAB， AM＝AM， ∴△B′AM≌△BAM(SAS)， ∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90°， ∴点B与点B′关于直线AD对称． 如图，过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结B′E， 则线段B′F的长即为所求．(点到直线的距离最短) 在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°， ... ... AB′＝AB＝10， ∴B′F＝AB′·sin 45°＝AB·sin 45° ＝10× 2 ＝52， 2 ∴BE＋EF的最小值为52. 11．(1)证明：∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°， ∴OC＝OD，OA＝OB. 在△AOD与△BOC中， OA＝OB， ∠AOD＝∠BOC， OD＝OC， ∴△AOD≌△BOC(SAS)， ∴BC＝AD，∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC， ∵点H为线段BC的中点， 11 ∴OH＝BC＝AD， 22可得OH＝HB， ∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD， 又∵∠OAD＋∠ADO＝90°， ∴∠ADO＋∠BOH＝90°，∴OH⊥AD. 1 (2)解：①结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图，延长OH到E，使得HE＝OH，连结BE， 2 易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD， 11∴OH＝OE＝AD. 22 ... ... 由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO， ∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°， ∴OH⊥AD. ②结论不变，如图．延长OH到E，使得HE＝OH，连结BE，延长EO交AD于G. 易证△BEO≌△ODA， ∴OE＝AD， 11∴OH＝OE＝AD. 22 由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO. ∴∠DAO＋∠AOG＝∠EOB＋∠AOG＝90°， ∴∠AGO＝90°，∴OH⊥AD. ... ... 微专题九 相似三角形综合运用 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为( ) 1 A. 3 1 B. 4 1 C. 5 1D. 6 2．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连结AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为( ) A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连结AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为( ) A．5 B．4 C．35 D．25 4．如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连结AF，CF，CF与AB交于G.有以下结论： ①AE＝BC； ②AF＝CF； ③BF＝FG·FC； ④EG·AE＝BG·AB； 其中正确的个数是( ) 2 ... ... A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF＝2，那么线段BF的长度为______． 6．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝15，BM＝8，则DE的长为__________． 7．如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为_________． 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°. (1)求证：△ADE∽△BEC. (2)若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长． ... ... 9．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC＝AB·AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点． (1)求证：△ADC∽△ACB； (2)CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由； AC (3)若AD＝4，AB＝6，求的值． AF 2 10．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E，F. (1)求证：EF＝AE－BE； AFDF (2)连结BF，如果＝.求证：EF＝EP. BFAD ... ... 11．(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝33，BO∶CO＝1∶3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题(如图2)． 请回答：∠ADB＝________°，AB＝________． (2)请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝33，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO∶OD＝1∶3，求DC的长． 参考答案 1．D 2.D 3.D 4.C 1691213 5．4 6. 7. 813 8．(1)证明：∵AD∥BC，AB⊥BC， ... ... ∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°， ∴∠ADE＋∠AED＝90°. ∵∠DEC＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°， ∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC. (2)解：∵△ADE∽△BEC， ∴BEAD＝BCAE，即BE1＝32， ∴BE＝32，∴AB＝AE＋BE＝72. 9．(1)证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∵AC2 ＝AB·AD，∴ACAB＝ADAC， ∴△ADC∽△ACB. (2)解：CE∥AD，理由如下： ∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.∵点E为AB的中点，∴CE＝AE＝1 2AB， ∴∠EAC＝∠ECA. ∵∠DAC＝∠EAC， ∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD. (3)解：由(2)得，CE＝1 2AB＝3. ∵CE∥AD，∴CFCEFA＝AD＝3 4， ∴AC7AF＝4 . 10．证明：(1)∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°. ∵BE⊥AP，DF⊥AP， ∴∠BEA＝∠AFD＝90°. ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3. 在△ABE和△DAF中， ... ... ∠BEA＝∠AFD， ∠1＝∠3， AB＝DA，∴△ABE≌△DAF， ∴BE＝AF，∴EF＝AE－AF＝AE－BE. AFDF (2)如图，∵＝，而AF＝BE， BFADBEDFBEBF∴＝，∴＝， BFADDFAD ∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4＝∠3， 而∠1＝∠3，∴∠4＝∠1. ∵∠5＝∠1，∴∠4＝∠5， 即BE平分∠FBP， 而BE⊥EP，∴EF＝EP. 11．解：(1)75 43 (2)如图，过点B作BE∥AD交AC于点E. ∵AC⊥AD，BE∥AD， ∴∠DAC＝∠BEA＝90°. ∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB， BOEOBE∴＝＝. DOAODA BOBE1 ∵BO∶OD＝1∶3，∴＝＝. AODA3∵AO＝33，∴EO＝3，∴AE＝43. ∵∠ABC＝∠ACB＝75°， ... ... ∴∠BAC＝30°，AB＝AC， ∴AB＝2BE. 在Rt△AEB中，BE2 ＋AE2 ＝AB2 ， 即(43)2 ＋BE2 ＝(2BE)2 ， 解得BE＝4，∴AB＝AC＝8，AD＝12. 在Rt△CAD中，AC2 ＋AD2 ＝CD2 ， 即82 ＋122 ＝CD2 ， 解得CD＝413. ... ... 微专题十 统计与概率的综合运用 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．下列说法正确的是( ) A．为了解我国中学生课外阅读的情况，应采用全面调查的方式 B．一组数据1，2，5，5，5，3，3的中位数和众数都是5 C．抛掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上” D．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定 2．某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为________度． 3．为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项)．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题： (1)求n的值； (2)若该校学生共有1 200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数； (3)若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率． ... ... 4．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次活动共调查了________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为________； (2)将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“________”； (3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 参考答案 1．D 2.90 3．解：(1)n＝5÷10%＝50. 10 (2)样本中喜爱看电视的人数为50－15－20－5＝10(人)，1 200×＝240， 50 ... ... ∴估计该校喜爱看电视的学生人数为240人． (3)画树状图如下． 共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6， 61 ∴恰好抽到2名男生的概率＝＝. 1224．解：(1)200 81° (2)微信 补全图形如下． (3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C， 画树状图如下． ∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， 31 ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝. 93 ... ... ... 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容