带电粒子在磁场中运动的极值问题是学生普遍认为的学习的难点。中学阶段,考虑到带电粒子以速度V垂直于磁场方向进入有界匀强磁场,在只受洛仑兹力作用时,粒子做匀速圆 周运动的这一特点,而极问题又涉及到 粒子的初速度的大小、方向,以及磁场的形状、边界等条件的约束。能否从分析带电粒子在磁场中所做圆运动轨迹的变化出发,运用直观的几何知识来简单地解决具体问题呢?为了突破这一难点,本文就用动态圆分析带电粒子在磁场中运动的极值问题,谈谈个人的教学体会。应用这个方法的思考过程如下:
建立物理图景(通过动态圆)由渐变到突变(约束条件)临界状态(运用几何知识)寻求极值。
下面通过具体实例说明这个方法的运用。 【例1】如图1所示,经X轴的上方(y0)存在着垂直纸面向外的磁场,磁感应强度为B,在原点O处有一离子源向X轴上方任意方向发射质量为m,电量为q的正离子,速率都为V。对那些在XOY平面内运动的离子,在磁场中可能达到的最大位移X= ,最大位移Y= 。(重力不计) 【分析与解答】由于离子
y y
在O点向X轴上方任意Q · · · · · · B · 方向以相同的速率V发A B
射,很容易确定全部离子
x · · · · · · x 在磁场中做圆周运动的
O D O P 动态圆的圆心,都 在以
O为圆心、半径为C mvr的半圆周ADC
Bq图1
图2
弧上,如左图。很显然,沿Y轴入射以D为圆心做圆周运动的离子将在X轴上有最大位移X,且X=OP=2r2mv;同理沿X轴负方向入射的离子,在Y轴上有最大的位移Y,Bq且Y=OQ=2r2mv。 Bq【点评】离子以相同的速率、不同方向射入磁场,动态圆的圆心在半个圆周上。
【例2】如图,在边界为AA/、DD/狭长区域内,匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,磁场区域宽度为d。电子以不同的速率V从边界AA/的S处沿垂直于磁场方向射入磁场,入射方向跟AA/的夹角为θ.已知电子的质量为m,带电量为e。为使电子能从另一边界DD/射出,问电子的速率应满中足什么条件?(重力不计)
1
【分析与解答】由
v2evBmr,得:
rmvv eB不同速率的电子以相同的方向射入磁场后,做半径不同的 × 圆周运动。由左手定则决定的这些动态圆的圆心都 在与V × 方向垂直的射线SP上,如图
D/
A所示。图中沿1、2轨迹运 ×
/动的电子均从AA射出,而沿
图3
/4、5轨迹运动的电子均从DD图4
射出。于是动态圆由1、2向4、5渐变过程中,总存在一个临界圆,相应的临界半径为r0,如图4中轨迹3所示。
当r × × V θ × S × × A/ × A × D × × r0r0cosd 将r0mv0代入上式求解,得临界速率为: eBv0eBd m1cos故当veBd时,电子俑从另一边界DD/射出。 1cosm【点评】电子以相同方向不同大小的速率由同一点射入磁场,动态圆的半径不同,但其圆心都在过入射点且与初速度方向垂直的射线上。 【例3】如图5,在边界AA/、DD/狭长区域内,匀强磁场的磁感应强度为B,方向街纸面向里,磁场区域的宽度为d。电子枪S发射质量为m、电量为e的电子,当电子枪水平发射时;在DD/右侧发现了电子当电子枪在竖直平面内发射时,刚刚在AA/左侧发现了电子,试画出电子在磁场中运动的轨迹,并计算该电子在边界AA/的射入点和射出点间的距离(电子射入的速度始终为V0) 【分析解答】在0-π范围内由电子枪S射入磁场的电子,其动态圆的圆心都 在以S为圆心,半径为r的圆周EOF上,如图5中的红线所示,当电子水平发射时,在DD/的右侧发 2 2mv0现电子,由ev0B得到一隐含的重 r要的约束条件: rmv0d。 eBE 因此。只有圆心在O,动态圆刚好与DD/相切所对应的电子才能从AA/边界射出,所以该电子在磁场中的运动轨迹是弧线SQC,由几何关系,得: × B V × A θ V S S × × r 图5 O × A/ d × × D F × × × Q SC2rrd222mv0d2d2eB D/ C D A V0 S D/ O 【点评】很多同学求解的结果看似正确,但却画出了如图6 r 所示的错误轨迹图,其原因在于忽略了r>d这一隐含约束条 C 件。如果能从动态圆这一思维过程考虑,就能有效地避免错A/ B误。 B 图6 【例4】如图7所示,点S为一电子源,它可以在纸面内的3600的范围内发射速率相同、质量为m,电量为e的电子、M慢一块足够在 M 的挡板,与点S的距离OS=L。挡板下面即电子N 源一侧充满垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应 强度为B,问: (1) 若使电子源发射的电子有可能到达挡 板,则发射的电子速率至少是多大?发射方向如何? (2) 若发射的电子的速率为(1)中所求的速 率的2倍,则挡板被电子击中的区域范围有多大?发射方向的范围如何? 【分析与解答】(1)由:evB=mv2/r,得: 3 × × × × × × × × × × × × × × × × ×S × × × × × × B × × × × × 图7 veBr mM a O b/ B S P C A 图8 因此,欲使电子能到达挡板,且 速率最小的条件是r0=L/2,其电 电子的最小速率为: bv Q N B v0eBL,由左手定则,电 2m子应平行于MN板水平向左发射。 (3) 当V=2V0时,电子在磁场中做圆周运动的半径r=2r0=L 在由左手定则所确定的所有动态圆中,其圆心都应在以S为圆心、半径为L的圆周上,如图8所示。在这个圆周上,只有以上半圆周上各点为圆心的动态圆上的电子才能击中挡板。因此,电子发射方向只能在沿SO和SA发射方向左侧的0-π范围内,如图8所示的箭头所示的角度范围内。 在如图8所示中,由SA方向顺时针方向至SP方向发射的电子,其圆心在相应的弧OQ上,打在板上的点b/ 到点b上,与最远点b对应的圆心为点Q,发射方向为SO,由几何关系,得Ob=L,所以板MN上被 电子打中的范围为线段ab,则: ab=oa+ob= 31L 【点评】确定动态圆圆心的轨迹考虑电子在磁场中顺时针运动才能击中板的约束条件,进一步确定电子发射方向的范围,再由动态圆的渐变到突变,在临界状态通过简单的几何关系求解极值,是解决这类问题的有效方法。如果能用动态圆模型(纸板)直观教学和练习,学生更是一目了然。 【例5】在xoy平面内有很多质量为m,电量为e 的电子,从坐标原点O不断地以相同的速率V0沿不同方向射入第一象限,如图9所示。现加一垂直于xoy平面向里,磁感应强度为B的匀强磁场。要求这些入射电子穿过磁场能增行于X轴正向运动,试问符合该条件的磁场的最小面积为多大?(不考虑电子间的相互作用)。 4 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容