（精品）带电粒子在磁场中运动情况汇总

一、带电粒子在磁场中运动的分析方法 (1)圆心的确定 圆心的确定

因为洛伦兹力f指向圆心，根据f⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点(一般是射入和射出磁场两点)，先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，

(2)半径的确定和计算 半径的确定和计算

利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，并注意以下几何特点：粒子速度的偏向角j，等于转过的圆心角a，并等于AB

弦与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，如右图所示， 图所示， 即 j＝a＝2q

(3)粒子在磁场中运动时间的确定 粒子在磁场中运动时间的确定

若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角θ的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式t＝

aT，确定通2p过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。 与运动轨迹的长短无关。

二、带电粒子在有界磁场中运动情况分析 1、无边界磁场

例1、如图所示，质量为m，电荷量为q，重力不计的带正电粒子，以速度v从A点垂直射入匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。若粒子以直于纸面向里。若粒子以A点为中心，可在垂直磁场的平面内向任意方点为中心，可在垂直磁场的平面内向任意方向发射，但速度大小一定为v，那么，粒子可能经过的区域怎样? 2、一边有界磁场

例2、如图所示，质量为m，电荷量为q，重力不计的带正电粒子，以速度v从A点垂直射入匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂

直于纸面向里。 直于纸面向里。

M

（1）设置一块足够长的挡板MN，若粒子可从A点向挡板右侧任意方向发射，但速度大小一定为v，

P1

那么粒子射到挡板上的范围多大? 

v

（2）若粒子以与边界夹角为（与x轴的正方向）q射入磁场，求离开磁场时与边界的Av

vv夹角和粒子做圆周运动的圆心角。 夹角和粒子做圆周运动的圆心角。

B N

例2（1）图 ）图

A

v2rB

例1图

例2（2）图 ）图

（3）如例3（3）图所示，在发射点A右侧距离A点为d(d<2r)处设置一块足够长的挡板，若粒子以A点为中心，可在垂直磁场的平面内向任意方向发射，但速度大小一定为v，那么，粒子能射到挡板上的范围为多大 BAvvMP2QP1NBvvMP2AQP1N例3（3）图 ）图 MBAvBMAQP2vP1NN“滚钱币、钢圈”若带电粒子既有正电荷又有负电荷，则相切时如第一个图，达到最大范围如第二个图所示（达到最大范围如第二个图所示（AP1=2r，注意条件中的(d<2r)），由此图我们可知带点粒子能够飞出磁场边界MN的条件为(d<2r)，临界点为。只有正电荷如第三个图所示。 (d=2r)。只有正电荷如第三个图所示。 练习1、如图所示, 真空室内存在匀强磁场, 磁场方向垂直于纸面向里, 磁感应强度的大小 磁感应强度的大小 B＝0.60T, 磁场, 板面与磁场方向平行, 在距 （足够大）内有一块平面感光板ab在距 ab 的距离 的距离 l＝16cm处, 有一个点状的a放6射源 射源 S, 它向各个方向发射a粒子, a粒子的速度都是 粒子的速度都是 v＝3.0×10m/s, 已知每个a粒子的电荷与质量之7比 q/m＝5.0×10C/kg, 现只考虑在图纸平面中运动的a粒子, 求 ab 上被 上被 a粒子打中的区域的长度。 粒子打中的区域的长度。 a 2、两边有界磁场 例3、质量为m，电荷量为q，重力不计的带正电粒子，以速度v从A点垂直射入匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。 ，方向垂直于纸面向里。 （1）如图例3（1）所示，设置两块足够长的挡板甲乙，板间距为d（r＜d＜2r），若粒子可从A点向挡板甲右侧任意方向发射，但速度大小一定为v，那么粒子能射到甲、乙挡板上的范围分别是多大？ 能射到甲、乙挡板上的范围分别是多大？ blSBA甲d乙例3（1）图 ）图 （2）如图例3（2）所示，磁场左右两边界甲乙，板间距为d，若粒子从A点与甲板夹角为q射入磁场，速度大小可以变化，求粒子能够从乙边界飞出速度范围，（另：粒子只能从甲边界飞出的速度范围） 飞出的速度范围） BAq甲d乙例3（2）图 ）图 （3）若在（2）题中，q角可变化，求当q多大时，粒子恰能以最小速度从乙边界飞出。 多大时，粒子恰能以最小速度从乙边界飞出。 练习2、（18分）如图所示，光滑的绝缘平台水平固定，在平台右下方有相互平行的两条边界 右下方有相互平行的两条边界 MN与PQ，其竖直距离为h=1.7m，两边界间存在匀强电场和磁感应强度为B=0.9T且方向垂直纸面向外的匀强磁场，MN过平台右端并与水A vA M P 平方向呈q=37°．在平台左端放一个可视为质点的A球，其质量为mA=0.17 kg，电量为q=+0.1C，现给A球不同N 的水平速度，使其飞出平台后恰好能做匀速圆周运动．g取210 m/s． h θ （1）求电场强度的大小和方向； ）求电场强度的大小和方向； （2）要使A球在MNPQ区域内的运动时间保持不变，则A球的（3）在平台右端再放一个可视为质点且不带电的B球，A球以vA0球碰后两球均能垂直PQ边界飞出，则B球的质量为多少？ 球的质量为多少？ 速度应满足的条件？（A球飞出MNPQ区域后不再返回） Q =3 m/s的速度水平向右运动，与B 练习3、（2010年全国理综）如下图，在0£x£3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在t=0 时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向夹角分布在0~180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上P(3a,a)点离开磁场。求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／ｍ； ／ｍ； （２）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与ｙ轴正方向夹角的取值范围； 围； （３）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间． （３）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间． 练习3【解析】 ⑴粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过做OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，222根据直角三角形有R=a+(3a-R) 解得R=233a sinq==3，则粒子做圆周运动的的圆心角为120°，周期为T=3t0R2a 粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得 供，根据牛顿第二定律得 q2pppR222Bqv=m()R，v=，化简得= TTm3Bt0⑵仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出。 穿出；角度最大时从磁场左边界穿出。 角度最小时从磁场右边界穿出圆心角120°，所经过圆弧的弦与⑴中相等穿出点如图，根据弦与半径、x轴的夹角都是30°，所以此时速度与y轴的正方向的夹角是60°。 °。 角度最大时从磁场左边界穿出，半径与y轴的的夹角是60°，则此时速度与y轴的正方向的夹角是120°。 所以速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120° ⑶在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切， 磁场的右边界相切， 在三角形中两个相等的腰为R=233a，而它的高是 ，而它的高是 h=3a-23a=3a，半径与y轴的的夹角是30°，这种粒子的圆心角是330R R R 240°。所用 °。所用 时间 时间 为2t。 所以从粒子发射到全部离开所用 所以从粒子发射到全部离开所用 时间 时间 为2t0。 4、圆形区域磁场 例4、质量为m，电荷量为q，重力不计的带正电粒子，以速度v从A点垂直射入匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。 ，方向垂直于纸面向里。 （1）如图例4（1）所示，设置一个半径为R（R＜r）的圆形挡板，若粒子从A点指向挡板的圆心O发射，速度大小为v，那么粒子射到圆形挡板上某点经历的时间是多少？若粒子发射方向可以改变，但速度大小一定为v，那么粒子射到圆形挡板上某点经历的最长时间又是多少？ 圆形挡板上某点经历的最长时间又是多少？ BAvO例4（1）图 ）图 （2）在图例4（2）中，粒子从A点指向挡板圆心O发射时，经与挡板碰撞后又回到A点．设挡板是光滑的，粒子与挡板的碰撞是弹性的，粒子与挡板碰撞时电荷量不变，若要使粒子与挡板碰撞的次数最少，那么粒子发射速度应为多少?粒子从A点发射到回到A点经历的时间为多少?  BAvO例4（2） （3）在图例4（3）中，若设置的圆形挡板半径与粒子运动半径相等均为r，那么粒子从A点向不同方向发射时，射到板上的速度方向有何规律?  AvvOvB 图例4（3） 练习4、(2009•海南理综)如图所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求： 点射出磁场．不计重力，求： (1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； 此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； (2)此匀强磁场区域的最小面积． 此匀强磁场区域的最小面积． DCAB模拟试题练习： 1．带电量与质量分别为q，m的离子从离子枪中水平射出，与离子枪相距d处有两平行金属板AB和CD，CD，金属板长和宽也为d，整个空间存在一磁感强度为B的匀强磁场如图所示。离子垂直于磁场边界中点飞入磁场，不考虑重力的作用，离子的速度应在什么范围内，离子才能打到金属板上？ 磁场，不考虑重力的作用，离子的速度应在什么范围内，离子才能打到金属板上？ 2、如图所示，坐标平面第Ⅰ象限内存在大小为E=4×105N/C方向水平向左的匀强电场，在第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的E 匀强磁场。质荷比为m=4´10-N/C的带正电粒子从x轴上10y qv0 O A x 的A点以初速度v0=2×107m/s垂直x轴射入电场，OA=0.2m，不计重力。求： 不计重力。求： （1）粒子经过y轴时的位置到原点O的距离； 的距离； （2）若要求粒子不能进入第三象限，求磁感应强度B的取值范围（不考虑粒子第二次进入电场后的运动情况）。 3．（12分）长为L的平行金属板水平放置，两极板带等量的异种电荷，板间形成匀强电场，平行金属板的右侧有如下图所示的匀强磁场。一个带电为＋q、质量为m的带电粒子，以初速v0紧贴上板垂直于电场线方向进入该电场，刚好从下板边缘射出，射出时末速度恰与下板成30o角，出磁场时刚好紧贴金属板上板右边缘，不计粒子重力，求： ，求： （1）两板间的距离； ）两板间的距离； （2）匀强电场的场强与匀强磁场的磁感应强度。 ）匀强电场的场强与匀强磁场的磁感应强度。 E的大小为1.0×104、1.0×103V/m，（8分）如下图，在xOy坐标系的第一象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B，方向未知，B的大小为1.0T，方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内，有方向垂直纸面向里的=1×10-14kg、电荷量q=1×10匀强磁场B′。一质量m=1×10=1×10-10C的带正电微粒以某一速度v沿与x轴负方向60°角从A点沿直线进入第一象限运动，经B点即进入处于第二象限内的磁场B′区域，一段时间后，微粒经过x轴上的C点并与x轴负方向成60°角的方向飞出。已知A点的坐标为（10，0），C点的坐标为（-，不计点的坐标为（-30，0）粒子重力，g取10m/s2。 （1）请分析判断匀强电场E的方向并求出微粒的运动速度v； （2）匀强磁场B′的大小为多大？ 的大小为多大？ （3）B′磁场区域的最小面积为多少？ 磁场区域的最小面积为多少？ （4）若第二象限磁场区域为矩形，则最小面积为多少？ ）若第二象限磁场区域为矩形，则最小面积为多少？ 5、（10分）如图，平行金属板倾斜放置，AB长度为L，金属板与水平方向的夹角为θ，一电荷量为-q、质量为m的带电小球以水平速度v0进入电场，且做直线运动，到达B点。离开电场后，进入如下图所示的电磁场（图中电场没有画出）区域做匀速圆周运动，并竖直向下穿出电磁场，磁感应强度为B，重力加速度为g。试求：（1）带电小球进入电磁场区域时的速度v。 （2）带电小球在电磁场区域做匀速圆周运动的时间。 ）带电小球在电磁场区域做匀速圆周运动的时间。 （3）重力在电磁场区域对小球所做的功。 ）重力在电磁场区域对小球所做的功。 6、如图所示，相距为d、板间电压为U的平行金属板M、N间有垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场；在pOy区域内有垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场；pOx区域为无场区。一正离子沿平行于金属板、垂直磁场射入两板间并做匀速直线运动，从H（0，a）点垂直y轴进入第Ⅰ象限． 轴进入第Ⅰ象限． （1）．求离子在平行金属板间的运动速度； ）．求离子在平行金属板间的运动速度； （2）．若离子经Op上某点离开磁场，最后垂直x轴离开第Ⅰ象限，求离子在第Ⅰ象限磁场区域的运动时间； 象限，求离子在第Ⅰ象限磁场区域的运动时间； （3）．要使离子一定能打在x轴上，则离子的荷质比应满足m什么条件？ 什么条件？ qBdqBd517v1． ££mm442、解析：（1）设粒子在电场中运动的时间为t ,粒子经过粒子经过y轴时的位置与原点O的距离为y，则： ，则： SOA1=2at2F1a= ○F2……E= ○mq3y=v0t ○v y E 4解得：a=1.0×1015m/s2 t=2.0×10-8s  ○y=0.4m O1 （2）粒子经过y轴时在电场方向的分速度为： 轴时在电场方向的分速度为： v0  O A x vx=atv2x7=2´10m/s粒子经过y轴时的速度大小为；+v20v7==22´10m/s 与y轴正方向的夹角为θ：θ=arctgvx=450 v0要粒子不进入第三象限，则轨道与y轴相切，如图所示，此时粒子做圆周运动的轨道半径为R/，则：-2v22/R+R£y 由qvB=m/… 解得 解得 B³(22+2)´10T R2/3、【解析】（1）带电粒子在电场中受到电场力的作用发生偏转，做类平抛运动。 ）带电粒子在电场中受到电场力的作用发生偏转，做类平抛运动。 竖直方向：离开电场时的速度vy=v0tan30°（1分）粒子发生偏转的位移y=d=L3Lvy2t（1分） 分） 水平方向：粒子匀速运动的时间t=v0（1分）联立以上几式解得，d=6（1分） 分） （2）在电场中粒子受到电场力，由牛顿第二定律得，qE=ma（1分） 分） L根据运动学公式有，vy=at（1分）又因为粒子运动时间t=，所以E=3mv0 3qLv02 v带电粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：qvB=mr2（1分） 分） 粒子离开电场时的速度v2=v0+vy2（1分） 分） 43mv=0粒子在磁场中的运动轨迹如右图所示（1分） 分） 由几何关系得，d2=rcos30°（1分）解得，BqL（1分） 分） 4、解析（1）由于重力忽略不计，微粒在第一象限内仅受电场力和洛伦兹力，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛仑兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动。这样，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与x轴正方向成30°角斜向右上方。 角斜向右上方。 1.010Eq=Bqv（1分） 由力的平衡条件有分） 3得v=B=E´1.03m/s =10m/s（1分） 分） （2）微粒从B点进入第二象限的磁场B'中，画出微粒的轨迹如右图。 中，画出微粒的轨迹如右图。 粒子在第二象限内做圆周运动的半径为R，由几何关系可知 ，由几何关系可知 1020R=cos300cm=cm。（1分） 分） 32微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即qvB′=mv（1分） 分） Rmv2mvB′=（1分）代入数据解得B′=3T（1分） =分） qvRqR2（3）由图可知，B、D 点应分别是微粒进入磁场和离开磁场的点，磁场B′的最小区域应该分布在以BD为直径的圆内。由几何关系易得BD=20cm，磁场圆的最小半径r=10cm。（1分） 分） 所以，所求磁场的最小面积为S=πr2=0.01π=3.1×10分） =3.1×10-2m2（1分） 5、【解析】（1）对带电小球进行受力分析，带电小球受重力mg和电场力F，F合=Fsinθ，mg=Fcosθ（1分） 分） 解得F合=mgtanθ（1分） 分） 根据动能定理FL=合1mv2-1mv2， 022解得v=2gLtanq+v2（2分） 分） 0（2）带电小球进入电磁场区域后做匀速圆周运动，说明电场力和重力平衡，带电小球只在洛伦兹力作pp用下运动。通过几何知识可以得出，带电粒子在磁场中运动了1圆周，运动时间为t=T=1´2m=m444qB2qB（2分） 分） mv（3）带电小球在竖直方向运动的高度差等于一个半径，h=R=（2分） 分） qB2m2gLtanq+v02m2g2gLtanq+v0重力做的功为W=mgh=mg´6、答案：(1)v=U =（2分） 分） qBdB0qBadB1p0 (2)． (2)．t=qT=T=2p4adBU4 (3)．即 (3)．即U必须小于(1+2)mdB0Ba