带电粒子在复合场中运动的经典例题解析

2015年带电粒子在复合场中运动的经典例题

1、（15分）如图所示，MN、PQ是平行金属板，板长为L，两板间距离为d，在PQ板的上

方有垂直纸面向里的匀强磁场。一个电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0从MN板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从PQ板左边缘飞进磁场，然后又恰好从PQ板的右边缘飞进电场。不计粒子重力。试求： （1）两金属板间所加电压U的大小； （2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；

（3）在图中画出粒子再次进入电场的运动轨迹，并标出粒子再次从电场中飞出的位置与速度方向。

2．（16分）如图，在xoy平面内，MN和x轴之间有平行于y轴的匀强电场和垂直于xoy平面的匀强磁场，y轴上离坐标原点4 L的A点处有一电子枪，可以沿+x方向射出速度为v0的电子（质量为m，电量为e）。如果电场和磁场同时存在，电子将做匀速直线运动.如果撤去电场，只保留磁场，电子将从x轴上距坐标原点3L的C点离开磁场.不计重力的影响，求：

（1）磁感应强度B和电场强度E的大小和方向；

（2）如果撤去磁场，只保留电场，电子将从D点（图中未标出）离开电场，求D点的坐标； （3）电子通过D点时的动能。

3．（12分）如图所示，在y＞0的空间中，存在沿y轴正方向的匀强电场E；在y＜0的空间中，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小也为E，一电子（电量为－e，质量为m）在y轴上的P（0，d）点以沿x轴正方向的初速度v0开始运动，不计电子重力，求： （1）电子第一次经过x轴的坐标值

Q d N L P v0 m,-q M B

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（2）电子在y方向上运动的周期

（3）电子运动的轨迹与x轴的各个交点中，任意两个相邻交点间的距离 （4）在图上画出电子在一个周期内的大致运动轨迹

4．（16分）如图所示，一个质量为m=2.0×10-11kg，电荷量q=+1.0×10-5C的带电微粒（重力忽略不计），从静止开始经U=100V电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中。金属板长L=20cm，两板间距d=103cm。求：⑴微粒进入偏转电场时的速度v是多大？⑵若微粒射出电场过程的偏转角为θ=30°，并接着进入一个方向垂直与纸面向里的匀强磁场区，则两金属板间的电压U2是多大？⑶若该匀强磁场的宽度为D=103cm，为使微粒不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B至少多大？ U2 U1

v B

θ

D

5、如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

解析：如图所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有

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qU12mv 2设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有

v2Bqvm

Ra S d o b 3由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过

4圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r.由以上各式解得；

c

6、核聚变反应需几百万摄氏度高温，为了把高温条件下高速运动粒子约束在小范围内（否则不可能发生核聚变），可采用磁约束的方法．如所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域内的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环形磁场的内半径R1＝0. 5 m，外半径R2＝1m，磁场的磁感应强度B＝0. 1T，若被约束的带电粒子的比荷q/m=4×107C/kg,中空区域内的带电粒子具有各个方向大小不同的速度，问（1)粒子沿环状半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；（2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度．

解析根据Bqv＝mv2 /r得r=mv/Bq，由于B、q/m一定，所以v越大，r越大，且最大半径对应最大速度，多作几个沿环半径方向但大小不同的速度所对应的磁场中运动圆轨迹，如图（b)所示，很容易得出当圆轨迹与环形磁场外边界内切时，对应的半径是粒子射不出磁场的最大半径，对应的速度就是不能穿越磁场的最大速度，由几何知识得v1max＝1. 5× 107m/s,（2)由（1）可知沿某一方向射不出磁场的最大速度对应的圆轨迹与磁场外边界内切，再作出粒子斜向左上方和竖直方向射入磁场对应的和磁场外边界内切的圆轨迹．如图（C)所示，从而得出沿各个方向射不出磁场的最大速度不同，通过比较发现，粒子垂直环半径方向射入磁场时不能穿越磁场的最大速度v1max是最小的，所以若要求所有粒子均不能穿越磁场，则所有粒子的最大速度不能超过v1max，由数学知识可得v1max＝1.0×10 7 m/s.

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7、如图所示，在直角坐标系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中的直角三角形区域内，分布着磁感应

－－

强度均为B＝5.0×103T的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里。质量为m＝6.64×10

－27

㎏、电荷量为q＝＋3.2×1019C的α粒子（不计α粒子重力），由静止开始经加速电压为U＝1205V的电场（图中未画出）加速后，从坐标点M（－4，2）处平行于x轴向右运动，并先后通过两个匀强磁场区域。

(1)请你求出α粒子在磁场中的运动半径；

(2)你在图中画出α粒子从直线x＝－4到直线x＝4之间的运动轨迹，并在图中标明轨迹与直线x＝4交点的坐标；

(3)求出α粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间。

y/m

2 B M v

O 2 －4 4 x/m －2 B －2

8、真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示。从O点在纸面内向各个方向发射速率均为v0的电子，设电子重力不计且相互间的作用也忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为r。已知电子的电量为e，质量为m。

(1)速度方向分别与Ox方向夹角成60°和90°的电子，在磁场中的运动时间分别为多少？ (2)所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？

(3)设在某一平面内有M、N两点，由M点向平面内各个方向发射速率均为v0的电子。请设计一种匀强磁场分布（需作图说明），使得由M点发出的所有电子都能够汇集到N点。

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解析：(1)当θ=60°时，t1TrTr ；当θ=90°时，t263v42v(2)如右图所示，因∠OO2A=θ故O2A⊥Ox

而O2A与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与Ox轴方向平行，即所有的电子v A 射出圆形磁场时，速度方向沿x轴正向。

(3)上述的粒子路径是可逆的，(2)中从圆形磁

θ o2 场射出的这些速度相同的电子再进入一相同的匀

v 强磁场后，一定会聚焦于同一点，磁场的分布如下θ x 图所示。 • o 注：①四个圆的半径相同，半径r的大小与磁感应强度的关系是r=mv0/qB；

②下方的两圆形磁场与上方的两圆形磁场位置关于MN对称且磁场方向与之相反； ③只要在矩形区域M1N1N2M2内除图中4个半圆形磁场外无其他磁场，矩形M1N1N2M2

区域外的磁场均可向其余区域扩展。

M1 N1

M N

M2 N2

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9、如图所示，一质量为m，带电荷量为+q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图所示。粒子的重力不计，试求：

（1）圆形匀强磁场的最小面积。 （2）c点到b点的距离s。 解析：

（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动， 轨迹半径为R，则有R=

y

N

M O

b

30°

x

mv0 qB1c

粒子经过磁场区域速度偏转角为120°，这表明在磁场区域中轨迹为半径为R的圆弧，

3此圆弧应与入射和出射方向相切。作出粒子运动轨迹如图中实线所示。轨迹MN为以O′

E 为圆心、R为半径，且与两速度方向相切的上。

在过M、N两点的不同圆周中，最小的一个是以MN为直径的圆周，所求圆形磁场区域的最小半径为

r1圆弧，M、N两点还应在所求磁场区域的边界31MNRsin602223m2v03mv0 2qB面积为S=r4qB22

（2）粒子进入电场做类平抛运动

设从b到c垂直电场方向位移x′，沿电场方向位移y′，所用时间为t。 则有x′=v0t y又

121Eq2att 22mxcot60 解得 x′=23mv02/Eq y y′=6mv02/Eq

2 dx2y243mv0/Eq

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10、如图所示的区域中，第二象限为垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，第一、第四象限是一个电场强度大小未知的匀强电场，其方向如图。一个质量为m，电荷量为+q的带电粒子从P孔以初

y速度v0沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向. . . .BE与边界线的夹角θ=30°，粒子恰好从y轴上的C孔垂直C . 于匀强电场射入匀强电场，经过x轴的Q点，已知0 . .. v. 600OQ=OP，不计粒子的重力，求：

x . P OQ （1）粒子从P运动到C所用的时间t；

（2）电场强度E的大小；

（3）粒子到达Q点的动能Ek。

答案： （1）带电粒子在电磁场运动的轨迹如图所示，由图可知，

带电粒子在磁场中做匀速圆周

v0运动的轨迹为半个圆周由Bqv0mr又T=

2 得：r2r2m v0Bqmv0 . . . yqB . B . C. . . . . v0QED600xTm得带电粒子在磁场中运动的时间：t 2qB. . . P O. F （2）带电粒子在电场中做类平抛运动，初速度v0垂直于电场沿CF方向，过Q点作直线CF的垂线交CF于D，则由几何知识可知，CPO≌CQO≌CDQ，由图可知：CP=2r2mv0qB

带电粒子从C运动到Q沿电场方向的位移为SEDQOQOPCPsin300rmv0qB

带电粒子从C运动到Q沿初速度方向的位移为Sv0CDCOCPcos3003r3mv0 qB由类平抛运动规律得：SE121qE2att Sv0v0t 22m （3）由动能定理得：Ek联立以上各式解得：E2Bv0312mv0qESE 2联立以上各式解得：Ek72mv0 6

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11、如图所示，半径分别为a、b的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和磁场，中心O处固定一个半径很小（可忽略）的金属球，在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场，小圆周与金属球间电势差为U，两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，设有一个带负电的粒子从金属球表面沿＋x轴方向以很小的初速度逸出，粒子质量为m，

y 电量为q，（不计粒子重力，忽略粒子初速度）求：

（1）粒子到达小圆周上时的速度为多大？

（2）粒子以（1）中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某

b 一临界值时，粒子将不能到达大圆周，求此最小值B。

（3）若磁感应强度取（2）中最小值，且b＝（2＋1）a，要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点，粒子需经过多少次回旋？并求粒子在磁场中运动的时间。（设粒子与金属球正碰后电量不变且能以原速率原路返回）

解析（1）粒子在电场中加速，根据动能定律得：qUv=

2qU m1mv2 2a x

O v2（2）粒子进入磁场后，受洛伦兹力做匀速圆周运动， qBvm

r要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周

相切，如图，

则有

ar22yMb2a2br 所以 r

b2b2b2mU qaO联立解得 Bb2a2θrφxrb2a2（3）图中 tanθ= 1 即θ=45°

a2ab则粒子在磁场中转过φ=270°，然后沿半径进入电场减速到达金

属球表面，再经电场加速原路返回磁场，如此重复，恰好经过4个回旋后，沿与原出射方向相反的方向回到原出发点。

33b2a22m因为 T 粒子在磁场中运动时间为t=4×T=

4bBqNm 2qU

12、在图所示的坐标系中，x轴水平，y轴垂直，x轴上方空间只存在重力场，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面向里的匀强磁场，在第Ⅳ象限由沿x轴负方向的匀强电场，场强大小与第Ⅲ象限存在的电场的场强大小相等。一质量为m，带电荷量大小

P为q的质点a，从y轴上yh处的1点以一定的水平速度沿x轴负方向抛出，它经过

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x2h处的P2点进入第Ⅲ象限，恰好做匀速圆周运动，又经过y轴上方y2h的P3点

进入第Ⅳ象限，试求：

（1）质点a到达P2点时速度的大小和方向； （2）第Ⅲ象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小；

（3）质点a进入第Ⅳ象限且速度减为零时的位置坐标

解析、（1）质点在第Ⅱ象限中做平抛运动，设初速度为v0，由

h12gt ① 2hv0t ② 2解得平抛的初速度v02gh 在P2点，速度v的竖直分量vygt2gh

v2gh，其方向与x轴负向夹角45（2）带电粒子进入第Ⅲ象限做匀速圆周运动，必有

mgqE ③

R22h2h ④ 2 又恰能过负

y轴2h处，故P2P3为圆的直径，转动半径

v2又由qvBmR ⑤ 可解得Emgq

Bm2gqh

（3）带电粒以大小为v，方向与x轴正向夹45角进入第Ⅳ象限，所受电场力与重力的合力为

2mg，方向与过P3点的速度方向相反，故带电粒做匀减速直线运动，设其加速度大小为a，则：

a2mg2g ⑥ mv24ghOv2as,得s2h 此得出速度减为0时的位置坐标是h,h

2a22g2213.(2005徐州二模)如图13′-4所示，在x0的空间中，存在沿x轴方向的匀强电场，电场强度E10N/C；在x0的空间中，存在垂直xy平面方向的匀强磁场，磁感应强度一带负电的粒子（比荷q/m160C/kg)，在x0.06m处的d点以v08m/sB0.5T。

的初速度沿y轴正方向开始运动，不计带电粒子的重力。求

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（1）带电粒子开始运动后第一次通过y轴时距O点的距离； （2）带电粒子进入磁场后经多长时间返回电场； （3）带电粒子运动的周期。

答案：（1）

33m （2）)s s （3） (25100120120解：（1）粒子在第一象限做类平抛运动（如图13″-4所示），加速度aqE1600m/s2，m运动时间t12x33s，沿y方向的位移yv0tm。 a20025

图13″-4

（2）粒子通过y轴进入磁场时在x方向上的速度vxat183m/s，因此

tanvx3，60。粒子在第二象限以O'为圆心做匀速圆周运动，圆弧所对的圆v0心角为2120，运动时间t2112mTs。 33qB120（3）粒子从磁场返回电场后的运动是此前由电场进入磁场运动的逆运动，经时间

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t3t1，粒子的速度变为v0，此后重复前面的运动。可见，粒子在电、磁场中的运动具有周

期性，其周期Tt1t2t3(

14、如图13′-6甲所示，空间存在着彼此垂直并作周期性变化的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场随时间变化分别如图乙、丙所示（电场方向竖直向上为正，磁场方向垂直纸面向里为正）。某时刻有一微粒从A点以初速v开始向右运动，图甲中虚线是微粒的运动轨迹（直线和半圆相切于A、B、C、D四点，图中v、E0和B0都未知）。

（1）此微粒带正电还是带负电？可能是什么时刻从A点开始运动的？ （2）求微粒的运动速度和BC之间的距离。

3)s。 100120

图13′-6

答案：（1）带正电，t[0.1(4n3)]s,n1,2,3 （2）2m/s,0.4m

解：（1）微粒应带正电，并在t0.1(s)的时刻开始运动，这样，在AB的运动阶段，只要满足qvB0qE0mg，微粒即可做匀速直线运动，历时0.1(s)至B。到B点，电场反向。在BC的运动阶段，要使微粒做圆周运动，必须qE0mg，洛伦兹力qvB0提供向心力，周期T0.2(s)。到C点，电场、磁场同时反向。在CD的运动阶段，

qvB0qE0mg仍成立，微粒做匀速直线运动，历时0.1(s)至D。到D点，电场、磁场

同时反向。在DA的运动阶段，因qE0mg，洛伦兹力qvB0提供向心力，运动0.1(s)学习必备 欢迎下载

至A。到A，电场反向。此后，微粒周期性重复上述运动。因此，如果微粒在t0.5(s)的时刻开始运动，也能实现题设运动，考虑到所有情况，微粒从A点开始运动的时刻应为答案中所给出的通式。

（2）

qvB0qE0mg,qE0mgmvqB02grT2m0.2(s)v2m/s qB0mvBC2r0.4m qB0

15．（05年北京）如图所示，坐标系xoy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x>0的空间里有沿x轴正方向的匀强电场，场强的大小为E，一个带正电的小球经过图中x轴上的A点，沿着与水平方向成

θ=300角的斜向下直线做匀速运动，经过y轴上的B点进入x<0的区域，要使小球进入x<0区域后能在竖

直面内做匀速圆周运动，需在x<0区域内另加一匀强电场。若带电小球做圆周运动通过x轴上的C点，且OA=OC，设重力加速度为g，求： （1）小球运动速率的大小。

（2）在x<0的区域所加电场大小和方向。 （3）小球从B点运动C点所用时间及OA的长度。

答案：（1）油滴从A运动到B的过程中，油滴受重力、电场力和洛仑兹力作用而处于平衡状态，由题设条件知：

所以油滴的运动速率为：

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（2）油滴在x<0的区域作匀速圆周运动，则油滴的重力与所受的电场力平衡，

洛仑兹力提供油滴作圆周运动的向心力。所以： 又

所以 方向竖直向上

（3）如右图所示，连接BC，过B作AB的垂线交x轴于O/。因为∠θ=300，所以在△ABO/中,∠AO/B=600, 又OA=OC 故∠OCB=θ=300, 所以∠CBO/=300，O/C=O/B, 则O/为油滴作圆周运动的圆心。

设油滴作圆周运动的半径为R，周期为T，则O/C=O/B=R 且：由于∠CO/B=1200 ，油滴从B运动到C的时间为

又∠O/BO=300 所以O/O=O/B=

R

所以OC=R+R=R 即OA=

又，所以

16、如图7所示，X轴上方有匀强磁场B，下方有竖直向下匀强电场E。电量为q、质量

为m（重力不计），粒子静止在y轴上。X轴上有一点N(L.0)，要使粒子在y轴上由静止释放而能到达N点，问：(1)粒子应带何种电荷? 释放点M应满足什么条件? (2)粒子从M点运动到N点经历多长的时间?

【解析】：(1) 粒子由静止释放一定要先受电场力作用 (磁场对静止电荷没有作用力)，所以 M点要在-Y轴上。要进入磁场必先向上运动，静上的电荷要向上运动必须受到向上的电场力作用，而场强 E方向是向下的，所以粒子带负电。

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(2)粒子在M点受向上电场力，从静止出发做匀加速运动。在 O点进入匀强磁场后，只受洛仑兹力(方向沿+X轴)做匀速周围运动，经半个周期，回到X轴上的P点，进入匀强电场，在电场力作用下做匀减速直线运动直到速度为零。然后再向上做匀加速运动，在X轴上P点进入匀强磁场，做匀速圆运动，经半个周期回到X轴上的Q点，进入匀强电场，再在电场力作用下做匀减速运动直到速度为零。此后，粒子重复上述运动直到 X轴上的N点，运动轨迹如图8所示。

（1）设释放点M的坐标为(0.-yO)，

在电场中由静止加速， 则：qEyO= mV ① 在匀强磁场中粒子以速率V做匀速圆周运动，有：qBV=mV/R ② 设n为粒子做匀速圆周运动的次数

(正整数)则：L=n2R， 所以R=L/2n ③

解①②③式得：V=qBL/2mn， 所以yO=qBL/8nmE (式中n为正整数)

(2)粒子由M运动到N在电场中的加速运动和减速运动的次数为(2n-1)次，每次加速或减速的时间都相等，设为t1，则：yO= at1 = qEt1/m

所以t1=

粒子在磁场中做匀速圆周运动的半周期为t2，共n次，t2=πm/qB 粒子从M点运动到N点共经历的时间为：

t=(2n-1)t1+nt2=(2n-1)BL/2nE+nπm/qB (n=1、2、3……)

17.(20分)如图所示,在xoy 坐标平面的第一象限内有一沿y 轴正方向的匀强电场,在第四象限内有一垂直于平面向内的匀强磁场,现有一质量为m 带电量为q的负粒子(重力不计)从电场中坐标为(3L,L)的P点与x轴负方向相同的速度v0射入，从O点与y轴正方向成45夹角射出,求:

(1) 粒子在O点的速度大小. (2) 匀强电场的场强E.

(3) 粒子从P点运动到O点所用的时间.

02

222

2

22

y (3L,L) v0P 450 O × × × × × × × × × × × × × ×· × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × x 学习必备 欢迎下载

解:(1)粒子运动轨迹如图所示,设粒子在P点时速度大小为v,OQ段为四分之一圆弧,QP段为

0

抛物线,根据对称性可知,粒子在Q点的速度大小也为v,方向与x轴正方向成45.可得

vv/cos450（2分） 得，v2v 00 y

v(3L,L) 0 P v 450 x O Q v

(2)Q到P过程,由动能定理得qEL12122mv2mv0 mv 即

E2qL (3)在Q点时,v450yv0tanv0 由P到Q过程中,

竖直方向上有:qEma （1分） t2L1vyav 0水平方向有:x1v0t12L （1分） 则OQ=3L-2L=L 得粒子在OQ段圆周运动的半径R22L 12RQ到O的时间:t24vL4v 0粒子从P到O点所用的时间:t=t(8)L1+t2=4v 0

（1分）

3分） （1分）

（2分） （2分） （1分）

（2分） （2分） 2分） （（