带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题(解析版)

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题

1.两种方法定圆心

(1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心。如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点。

(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心。如图乙所示，P为入射点，M为出射点。 2.几何知识求半径

mv

方法一：由物理方程求：半径R＝；

qB

方法二：由几何方程求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定．

(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。

(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)。

(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。

3. 运动时间的计算

sα

(1)直接根据公式t＝或t＝求出运动时间t.

vω(2)粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：

t＝

【典例1】在如图所示的足够大匀强磁场中，两个带电粒子以相同方向垂直穿过虚线MN所在的平面，一段时间后又再次同时穿过此平面，则可以确定的是( )．

ααT或t＝T. 2π360°

A．两粒子一定带有相同的电荷量 B．两粒子一定带同种电荷 C．两粒子一定有相同的比荷 D．两粒子一定有相同的动能 【答案】 C

【典例2】如图所示，一个质量为0.1 g、电荷量为5104C的小滑块（可视为质点），放在倾角为α=30°的光滑绝缘斜面顶端，斜面置于B =0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，小滑块由静止开始沿斜面滑下，小滑块运动一段距离l后离开斜面，取g10m/s。则（ ）

2

A. 小滑块带正电 B. 小滑块带负电

C. l1.2m D. 小滑块离开斜面的瞬时速率为2m/s 【答案】AC

【解析】、由题意可知：小滑块受到的洛伦兹力垂直斜面向上。根据左手定则可得：小滑块带正电，故A正确，B错误；由题意知，当滑块离开斜面时，则有： Bqvmgcos，解得： vmgcos23m/s，qB

故D错误；在小球离开斜面之前，小球沿斜面的方向的合力始终等于重力的分力，所以一直做匀加速直线

v21.2m，故C运动，即mgsinama，解得： agsin5m/s，由v2al，解得： l2gsin22正确，故选AC。

【典例3】 (多选) 如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B.一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则( )

A．该粒子带正电

mv

B．A点与x轴的距离为

2qBπm

C．粒子由O到A经历时间t＝

3qBD．运动过程中粒子的速度不变 【答案】 BC

【典例4】在xOy坐标系的Ⅰ、Ⅳ象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在x轴上A点(L,0)同时以相同速率v沿不同方向发出a、b两个相同带电粒子(粒子重力不计)，其中a沿平行＋y轴方向发射。经磁场偏转后，两粒子均先后到达y轴上的B点(0，3L)，则两个粒子到达B点的时间差为( )

A.

3πL

v

43πLB.

3v8πLD. 3v

4πLC. 3v

【答案】 D

【解析】 作出a、b两个粒子的运动的轨迹如图，

对于a的运动轨迹，由几何关系得：R2＝(R－L)2＋(3L)2，解得R＝2L，a的偏转角sin θ＝

3L3＝，2L2

15θRπR2πL

所以θ＝π，同理可得b的偏转角β＝π，a在磁场中运动的时间tA＝＝＝，b在磁场中运动的时

33v3v3vβR5πR10πL10πL2πL8πL

间：tB＝＝＝，它们到达B点的时间差：Δt＝tB－tA＝－＝，D正确。

v3v3v3v3v3v

【典例5】如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里。一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场。若电子在磁场中运动的轨道半径为2d。O′在MN上，且OO′与MN垂直。下列判断正确的是( )

A.电子将向右偏转

B.电子打在MN上的点与O′点的距离为d C.电子打在MN上的点与O′点的距离为3d πdD.电子在磁场中运动的时间为

3v0【答案】 D

【典例6】如图所示，竖直线MN∥PQ，MN与PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，O是MN上一点，O处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v(方向均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知沿图中与MN成θ＝60°角方向射出的粒

子恰好垂直PQ射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为( )

πaA. 3v4πaC. 3v【答案】 C

23πaB.

3v2πaD. v

【典例7】两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图6所示。若不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )

A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C.b粒子的动能较大

D.b粒子在磁场中运动时间较长 【答案】 C

v2mv

【解析】 由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，A错误；由qvB＝m得r＝，故运动的

rqB

1

轨迹半径越大，对应的速率越大，所以b粒子的速率较大，在磁场中所受洛伦兹力较大，B错误；由Ek＝

22πm

mv2可得b粒子的动能较大，C正确；由T＝知两者的周期相同，b粒子运动的轨迹对应的圆心角小于a

qB粒子运动的轨迹对应的圆心角，所以b粒子在磁场中运动时间较短，D错误。

【典例8】如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd的中点，如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的带电粒子，恰好从e点射出，则( )

A．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d点射出 B．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f点射出

C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度B增大为原来的二倍，也将从d点射出 D．只改变粒子的速度，使其分别从e、d、f点射出时，从f点射出所用的时间最短 【答案】 AD

课后作业

1.在阴极射线管中电子流方向由左向右，其上方放置一根通有如图所示电流的直导线，导线与阴极射线管平行，则电子将( )

A．向上偏转 C．向纸里偏转 【答案】B

【解析】由题图可知，直导线电流的方向由左向右，根据安培定则，可判定直导线下方的磁场方向为垂直于纸面向里，而电子运动方向由左向右，由左手定则知(电子带负电荷，四指要指向电子运动方向的反方向)，电子将向下偏转，故B选项正确。

2.如图，ABCD是一个正方形的匀强磁场区域，经相等加速电压加速后的甲、乙两种带电粒子分别从A、D射入磁场，均从C点射出，则它们的速率之比v甲∶v乙和它们通过该磁场所用时间之比t甲∶t乙分别为

B.向下偏转 D.向纸外偏转

( )

A．1∶1 2∶1 C．2∶1 1∶2 【答案】B

12v22U

带电粒子在电场中加速有qU＝mv，带电粒子在磁场中偏转有qvB＝m，联立解得v＝，即v∝

2RBRv甲R乙1πR甲πR乙t甲R甲v乙1

，故＝＝；甲粒子在磁场中偏转用时t甲＝，乙粒子在磁场中偏转用时t乙＝，可得＝Rv乙R甲22v甲v乙t乙2R乙v甲2

＝。可知选项B正确。 1

3.如图所示，在MNQP中有一垂直纸面向里的匀强磁场。质量和电荷量都相等的带电粒子a、b、c，以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场，图中实线是它们的运动轨迹。已知O是PQ的中点，不计粒子重力。下列说法中正确的是( )

B.1∶2 2∶1 D．1∶2 1∶1

A．粒子a带负电，粒子b、c带正电 B．射入磁场时粒子a的速率最小 C．射出磁场时粒子b的动能最小 D．粒子c在磁场中运动的时间最长 【答案】D

4．半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A点以速度v0垂直磁场方向朝着O点射入磁场中，并从B点射出.∠AOB＝120°，如图所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( )

A. B. C. D.

【答案】C

5．如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为B1、B2，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线。则以下说法正确的是

A. 电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P

B. 电子运动一周回到P点所用的时间T＝

C. 电子运动一周回到P点所用的时间T＝

D. 两磁场的磁感应强度的大小关系为B1＝2B2 【答案】ABD

【解析】（1）根据左手定则可知：电子从P点沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场力方向向上，所以电子的运行轨迹为P→D→M→C→N→E→P，故A正确；

时，受到的洛伦兹

6．如图所示,有一宽度为的有界匀强磁场,一质量为,带电荷量为的粒子以速度垂直磁场左边界的进入磁场,从右边界离开时速度方向偏转角

，则下列说法正确的是（ ）

A. 该粒子带正电 B. 磁感应强度

C. 粒子在磁场中做圆周运动的半径D. 粒子在磁场中运动的时间【答案】BD

【解析】根据粒子运动的轨迹可知，粒子在磁场中向下偏转，根据左手定则可知，粒子应带负电，故A

错误；由几何关系可知，Rsin30°=a，解得：R=2a，根据洛伦兹力充当向心力可知，Bqv=m，解得：

，故B正确，C错误；粒子在磁场中转过的圆心角为30°，粒子在磁场中运动时间

；故D正确。故选BD。

7．电荷量分别为q和

的两个带电粒子分别以速度和射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边

界的夹角分别为

和

，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则 ．．．．

A. a粒子带负电，b粒子带正电 B. 两粒子的轨道半径之比：C. 两粒子的速度之比：D. 两粒子的质量之比【答案】ABD 【解析】a粒子是

入射的，而b粒子是

入射的，由于从B点射出，则a粒子受到的洛伦兹力方

：

：2 ：2 ：

向沿b粒子速度方向，而b粒子受到的洛伦兹力方向沿a粒子速度方向，由左手定则可知：a粒子带负电、b粒子带正电，故A正确；

向直线的交点即为各自圆心。结果发现：两圆心的连线与两个半径构成一个角为，另一个为的直角

意可知：q、B都相同，而错误；故选ABD。

：：2，：：，则粒子的速度大小之比：：：，故C

8．如图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子、、，以不同的速率对准圆心沿着正确的是（ ）

方向射入磁场，其运动轨迹如图。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法

A. 粒子速率最大

B. 粒子在磁场中运动时间最短 C. 它们做圆周运动的周期

D. 三粒子离开磁场时速度方向仍然相同 【答案】A

【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，根据，可得：，

则可知三个带电粒子的质量、电荷量相同，在同一个磁场中，当速度越大时、轨道半径越大，则由图知，a粒子速率最小，c粒子速率最大。故A正确。由于粒子运动的周期

和

，可知三粒子运动的周

期相同，a在磁场中运动的偏转角最大，运动的时间最长。故BC错误；曲线运动的速度的方向沿曲线的切线的方向，所以三粒子离开磁场时速度方向不相同。故D错误；故选A。

9．如图示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P，Q两点射出，则下列说法正确的是（ ）

A. 两粒子分别从A到P、Q经历时间之比为3∶1 B. 粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为1∶1 C. 粒子在磁场中运动轨道半径之比为2∶1 D. 粒子在磁场中速率之比为1∶3 【答案】B

10. 平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为( )

mvA. 2qB2mvC. qB【答案】D 【解析】 如图所示，

B.

3mv

qB

4mvD. qB

mv

粒子在磁场中运动的轨迹半径为R＝。设入射点为A，出射点为B，圆弧与ON的交点为P。由粒子

qB运动的对称性及粒子的入射方向知，AB＝R。由几何关系知，AP＝3R，则AO＝3AP＝3R，所以OB＝4mv4R＝。故选项D正确。

qB

11.如图所示，带正电的A粒子和B粒子先后以同样大小的速度，从宽度为d的有界匀强磁场的边界上的O点分别以与磁场边界夹角为30°和60°的方向射入磁场，两粒子恰好不从另一边界飞出，则下列说法中正确的是( )

A．A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是

1

3

3

B．A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是

2＋3m1

C．A、B两粒子的之比是

q3m3

D．A、B两粒子的之比是

q2＋3【答案】BD

12．如图所示，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中，O为M、N连线中点，连线上a、b两点关于O点对称，导线通有大小相等、方向相反的电流I。已知通电长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度BkI，式中k是常数，I是导线中的电流，r为点到导线的距离，一带正电的小球(图r中未画出)以初速度v0从a点出发沿连线运动到b点。关于上述过程，下列说法正确的是（ ）

A. 小球先做加速运动后做减速运动 B. 小球一直做匀速直线运动 C. 小球对桌面的压力先增大后减小 D. 小球对桌面的压力一直在增大 【答案】BC

13．如图所示，空间存在垂直于纸面向里的磁感应强度为Ｂ的匀强磁场，场内有一绝缘的足够长的直杆，它与水平面的倾角为θ，一带电量为-q质量为m的带负电小球套在直杆上，从A点由静止沿杆下滑，小球与杆之间的动摩擦因数为μ，在小球以后的运动过程中，下列说法正确的是 （ ）

A. 小球下滑的最大速度为

B. 小球下滑的最大加速度为am=gsinθ

C. 小球的加速度一直在减小 D. 小球的速度先增大后不变 【答案】BD

【解析】小球开始下滑时有最大值

，随v增大，a增大，当

时，a达

，此时洛伦兹力等于mgcosθ，支持力等于0，此后随着速度增大，洛伦兹力增大，支持力增大，

，随v增大，a减小，当

时，

，

此后下滑过程中有

此时达到平衡状态，速度不变．所以整个过程中，v先一直增大后不变；a先增大后减小，所以B正确．

14．如图，在x轴上方存在方向垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在x轴下方存

在方向垂直坐标平面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场。一带负电的粒子（不计重力）从原点O以与x轴正方向成30°角的速度v射入磁场，其在x轴上方运动的半径为R。则

A. 粒子经偏转一定能回到原点O B. 粒子完成一次周期性运动的时间为

C. 粒子射入磁场后，第二次经过x轴时与O点的距离为3R D. 粒子在x轴上方和下方的磁场中运动的半径之比为1：2 【答案】CD

【解析】带负电的粒子进入上方磁场后向下偏转，到达x轴以后受洛伦兹力向右上方偏转，如图所示，则如此循环运动，粒子不能回到原点O，选项A错误；

粒子在x轴上方运动的半径为R，根据

可知粒子在x轴下方运动的半径为2R。由几何关系可知，

粒子在x轴上方和下方运动时圆弧所对的圆心角均为600，则粒子完成一次周期性运动的时间为

，选项B错误，D正确；由几何关系可知，粒子射入磁场后，第一

次经过x轴时与O点的距离为R，第二次经过x轴时与第一次经过x轴的距离为2R，则粒子射入磁场后，第二次经过x轴时与O点的距离为3R，选项C正确；故选CD.

15．如图所示，在一单边有界磁场的边界上有一粒子源O，沿垂直磁场方向，以相同速率向磁场中发出了两种粒子，a为质子(11H)，b为α粒子(42He)，b的速度方向垂直磁场边界，a的速度方向与b的速度方向夹角为θ＝30°，两种粒子最后都打到了位于磁场边界位置的光屏OP上，则( )

A. a、b两粒子转动周期之比为2∶3 B. a、b两粒子在磁场中运动时间之比为2∶3 C. a、b两粒子在磁场中转动半径之比为1∶2

D. a、b两粒子打到光屏上的位置到O点的距离之比为1∶2 【答案】BC

15．如图所示，带有正电荷的A粒子和B粒子同时以同样大小的速度(速度方向与边界的夹角分别为30°、60°)从宽度为d的有界匀强磁场的边界上的O点射入磁场，又恰好都不从另一边界飞出，则下列说法中正确的是( )

A. A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为B. A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为 C. A、B两粒子的比荷之比是 D. A、B两粒子的比荷之比是

【答案】D

【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m，解得：

；

16．如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入，与半径OA成30°夹角，当该电荷离开磁场时，速度方向刚好改变了180°，不计电荷的重力，下列说法正确的是( )

A. 该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点

B. 该点电荷的比荷为

C. 该点电荷在磁场中的运动时间为t＝D. 该点电荷带正电 【答案】B

【解析】