例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.
例2．一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求： (1)圆形磁场区域的最小面积．
(2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间． (3)b点的坐标．
例3．一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点 图示 (CM＝CN)垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：
(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T； (2)该粒子在磁场里运动的时间t； (3)该正三角形磁场区域的最小边长；
针对训练
1．(09年海南高考)如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求： (1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向． (2)此匀强磁场区域的最小面积．
2．（09年福建卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强
-3
磁场，磁感应强度大小B=2.0×10T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接
4
收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×10m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。 （1）求上述粒子的比荷q/m
（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
1
3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。
4.[2010·宁波模拟] 如图甲所示，水平放置的平行金属板A和B间的距离为d，板长L＝23d，B板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM上的一个小孔K，NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距离KN＝a.现有质量为m、带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向OO′的速度v0不断射入，不计粒子所受的重力．
(1)若在A、B板上加一恒定电压U＝U0，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K，求U0的大小．
2L
(2)若在A、B板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示A板比B板的电势高，其中T＝，且粒子只在
v0
T
0～时间内入射，则能打到小孔K的粒子在何时从O点射入？ 2
(3)在NM和NP两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件(2)从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上(之前与挡板没有碰撞)，求该磁场的磁感应强度的最小值．
5.如图，一带电粒子以某一速度在竖直平面内做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B的最小的圆形匀强磁场区域(图中未画出磁场区域)，粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L的匀强电场，电场强度大小为E，方向竖直向上．当粒子穿出电场时速率变为原来的 2 倍．已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，重力不计．粒子进入磁场前的速度与水平方向成θ＝60°角．试回答： (1)粒子带什么电？
(2)带电粒子在磁场中运动时速度多大？ (3)该最小的圆形磁场区域的面积为多大？
2
参考答案
例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积.
解：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向
第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1O2On。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O2A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧
22
OAP与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积；即R-πR/4。根据
222
几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2（R-πR/4）＝（π/2 -1）（mv0/Be）。
例2. 一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°，如图所示(粒子重力忽略不计)．试求： (1)圆形磁场区域的最小面积．
(2)粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间． (3)b点的坐标．
mv0
解析：(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R＝ qB
由图可知∠aO′b＝60° 磁场区域最小半径
3mv0
r＝Rcos 30°＝ 2qB
22
3πmv02
磁场区域最小面积S＝πr＝22. 4qB
2πm
(2)由O到a过程所经历的时间t1＝ 3Bq由几何关系得ab＝3R＝
3mv0
Bq
3
ab3m
粒子由a到b所经历的时间t2＝＝
v0Bq
∴粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间
m2
t＝t1＋t2＝(π＋3)．
Bq3
R
(3)因为sin 30°＝，
O′b
3mv0
∴O′b＝2R得Ob＝3R＝
Bq
3mv0
故b点的坐标为(，0)．
qB
例3、一个质量为m，带＋q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点 图示 (CM＝CN)垂直于AC边飞出三角形ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力．试求：
(1)粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T； (2)该粒子在磁场里运动的时间t； (3)该正三角形磁场区域的最小边长；
4
针对训练
1．如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：
甲
(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向． (2)此匀强磁场区域的最小面积．
mv0π－22
【答案】(1) 方向垂直纸面向外 (2)a
ea2
2．（09年福建卷）22.(20分)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面
-3
向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在
4
Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×10m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
q（1）求上述粒子的比荷m；
（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场； （3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场
可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
q77?62答案（1）m=4.9×10C/kg（或5.0×10C/kg）；（2）t?7.9?10s ； （3）S?0.25m
解析：第（1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。第（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。
（1）设粒子在磁场中的运动半径为r。如图甲，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的
5
直径，由几何关系得
r?2L2 ①
由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得
v2qvB?mr ②
联立①②并代入数据得
qm=4.9×107C/kg（或5.0×107C/kg） ③
（2）设所加电场的场强大小为E。如图乙，当粒子子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有 qE?qvB ④ 代入数据得
E?70N/C ⑤
所加电场的长枪方向沿x轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有
450t?T0360 ⑥
联立①⑥⑦并代入数据得
?6 t?7.9?10s ⑧
T?2?rv ⑦
1P，该区域面积 （3）如图丙，所求的最小矩形是MM1P 6
S?2r ⑨ 联立①⑨并代入数据得
2 S?0.25m
21P（虚线）、 矩形如图丙中MM1P3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。
解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动，
2
qvB=（Mv）/R，得R=（MV）/（qB）。
根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。如图13所示，过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O′点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。
在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：
，
所求磁场区域如图13所示中实线圆所示。
4 [2010·宁波模拟] 如图39－5甲所示，水平放置的平行金属板A和B间的距离为d，板长L＝23d，B
7
板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM上的一个小孔K，NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距离KN＝a.现有质量为m、带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向OO′的速度v0不断射入，不计粒子所受的重力．
图39－5
(1)若在A、B板上加一恒定电压U＝U0，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K，求U0的大小．
2L
(2)若在A、B板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示A板比B板的电势高，其中T＝，且粒子只在v0
T
0～时间内入射，则能打到小孔K的粒子在何时从O点射入？ 2
(3)在NM和NP两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件(2)从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上(之前与挡板没有碰撞)，求该磁场的磁感应强度的最小值．
2mv0T－230
例3 (1) (2)tx＝ (3)
12q43qa
[解析] (1)A、B板间加上电压后，带电粒子做类平抛运动，则： L＝v0t① d1qU02＝t② 22md
222mdv0mv0
把L＝23d代入①②式可得：U0＝2＝③
qL12q
LTT
(2)粒子在水平方向做匀速直线运动，粒子运动的时间均为t＝＝，设粒子在tx时刻进入金属板，则在v022
－tx时刻开始做类抛运动，平抛的时间为tx，则：
d1q·4U02
＝tx④
22md
把③代入④式可得：
Ttx＝⑤
4T
(3)在射入的粒子，在进入K时竖直方向的分速度为vy，则
4
q·4U0Tv0
vy＝atx＝·＝⑥
md43vy3
tan θ＝＝⑦
v03
23
v0 3
则θ＝30°，即粒子垂直MN板入射．如图甲所示，粒子从K点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁v＝v0＋vy＝
2
2
8
场，粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP，则粒子需偏转300°后从E射出，做匀速直线运动垂直打到NP.
粒子做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即
2mvqvB＝⑧
rmv
可得B＝⑨
qr
要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，如图乙所示，根据对称性圆周运动的圆心C、交点G位于∠MNP的角平分线上，则由几何关系可得：
CDKF是边长为r的正方形．则在三角形NCF中，有 3r＝a＋r，
a
可得r＝，
3－1
3－－230
＝.
qa3qa
5．(2011年辽宁抚顺六校联合体模拟)如图8－3－5所示，一带电粒子以某一速度在竖直平面内做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B的最小的圆形匀强磁场区域(图中未画出磁场区域)，粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L的匀强电场，电场强度大小为E，方向竖直向上．当粒子穿出电场时速率变为原来的 2 倍．已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，重力不计．粒子进入磁场前的速度与水平方向成θ＝60°角．试回答： (1)粒子带什么电？
(2)带电粒子在磁场中运动时速度多大？ (3)该最小的圆形磁场区域的面积为多大？ B＝
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解析：(1)根据粒子在磁场中偏转的情况和左手定则可知，粒子带负电．
(2)由于洛伦兹力对粒子不做功，故粒子以原来的速率进入电场中，设带电粒子进入电场的初速度为v0，在电场中偏转时做类平抛运动，由题意知粒子离开电场时的末速度大小为vt＝2v0，将vt分解为垂直于电场方向(x轴方向)和平行于电场方向(y轴方向)的两个分速度：由几何关系知
LF
vx＝vy＝v0，vy＝at，v0＝，a＝，F＝Eq
tmqEL
. m
(3)如图所示，带电粒子在磁场中所受洛伦兹力提供向心力，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，圆形磁场区域的半径为r，则：
2mv0
Bqv0＝ R联立以上各式可解得：v0＝ mv01ELmR＝＝
BqBq
由几何知识可得：r＝Rsin30°
2
磁场区域的最小面积为S＝πr
πmEL
联立以上各式可解得S＝2. 4Bq
10
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