解决带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题的两种思路

解决带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题的两种思路

白艳华 山东省胜利第一中学 邮编 257027

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动是《磁场》这一章中的重点，也是高中物理所要研究的一个重要模型。求解这类问题的基础是能确定轨迹圆的圆心，标出半径画出圆运动的轨迹，然后综合运用洛伦磁力、圆周运动以及相关几何知识来进行求解。这部分知识往往让多数学生感到困难，觉得无从下手。而主要的困难就在于找不到圆心从而画不出轨迹。在实际教学的过程中，根据具体的物理情景笔者总结出了处理这类问题的两种基本思路。 一、 根据所给的条件画圆。

这种方法是我们在解决此类问题时的常规做法。若粒子在有界磁场中作圆周运动，已知磁场的边界和轨迹上一点的速度方向，则可以根据这些条件确定圆心的位置，定性画出轨迹圆。具体的做法是：1）假设一出射点，得到轨迹圆上的两点。2）作已知速度的垂线与两点连线的中垂线交于一点即为圆心。3）连接两点与圆心即半径。4）依据圆心和半径定性画出轨迹圆。

此类问题的关键是确定圆心，圆心的确定方法一般可以考虑两点洛仑兹力的交点、速度的垂线与弦的中垂线的交点等圆心的一些特点。

例1：如图1所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向夹角为。若粒子射出磁场的位置

q图1

与O点的距离为l，求该粒子的电荷量与质量之比m。

处理方法：如图首先根据粒子的电性和磁场的方向利用左手定则判定偏转方向—向左偏；然后在入射点O的左侧假设一出射点A，做OA的中垂线与O点的速度的垂线交于一点C，则C点即轨迹圆的圆心。并在此基础上画出轨迹圆，标出对求解此问题有利的三角形。则可以利用三角形的相关知识进行求解半

径并最终得到粒子的比荷。 二、 先画圆，再标记条件。

当题目中所给的条件较少或圆无法直接画出时，可以考虑先画一个圆为粒子运动的轨迹圆，标出粒子的转动方向为顺时针或逆时针，此圆上各点的速度方向不同则可以表示题目所给的不同条件，从而可以判定题目中涉及的粒子的圆周运动为轨迹圆上的哪一部分，把问题简化。这种方法不常规，但对有些问题处理起来却非常简单。 例2：一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图2所示（粒子重力忽略不计）。试求：

（1）圆形磁场区的最小面积；

（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间； （3）b点的坐标。

分析方法：解决这一问题，关键在于画轨迹圆和圆形的磁场区域。可以采用两种方法画轨迹圆。（1）可以将b点的速度反向延长与O点速度的延长线即y轴交于A点，做∠OAb的角平分线交O点速度的垂线即x轴于C

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图2

点，则C点即圆心，OC即轨迹圆的半径，过O点做Ab的垂线交Ab于D点，则D点即为粒子射出磁场的点。由此可以得出最小的圆形磁场区域的直径即OD，最小的圆形磁场区域如图所示可以画出。

（2）如图先画出一轨迹圆，标出粒子的偏转方向，根据题目中所给的条件可以找到O点的位置如图，按照粒子的转动方向转过120即可以得到D点，OD的连线即最小圆形磁场区域的直径。

轨迹圆一旦正确画出，下面的求解过程是很简单的。 （1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径RmvqB2o

，可知，DCb60，磁场区域最小半径

rRcos303mv02qB，磁场区域最小面积Sr23mv04qB222

（2）粒子从O至D做匀速圆周运动的时间t1T32m3qB，从D飞出磁场后做匀速直线运动。

∵tan30RDb ∴Db3R t2Dbv03Rv03mqB ∴tt1t2mqB(233)

（3）∵sin30RCb ∴Cb2R ∴Ob3R3mv0qB 故b点的坐标为（

3mv0qB，0）

比较两种方法的简繁程度，我们不难看出第二种方法更简洁也更容易理解，涉及到的几何知识较少，对学生的数学基础要求比较低。尤其当在原题中直接画圆有困难时，先画轨迹圆再标条件则可以达到事半功倍的效果，原本无从下手的难题也就迎刃而解了。下面再举一例说明这种方法在不同情况下的具体应用。 例3：如下左图所示，真空中狭长形区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向内，区域的宽度为d，CD、EF为区域的边界。现有一束电子（电量为e ，质量为m）以速率v从CD侧垂直于磁场与CD成θ角射入，为使电子能从另一侧EF射出，则电子的速率v应满足的条件是 。

C d E

C P v θ D B F

D θ d E

θ B O F

分析方法：先在草稿纸上画一个圆（如上右图所示）。电子从P点入射后受f洛作用将作顺时针方向的匀速圆周运动，其轨迹肯定是一个圆（可能不完整），根据题意，可在已画好的圆上确定入射点P，画出磁场的左边界CD；假定磁场的右边界可移动，我们再画一条与CD平行的直线EF（磁场的右边界），并逐渐向圆靠近，则当EF与圆相切时，就是电子能从EF射出的临界条件（设此时圆的半径为r0）。依题意，磁场宽度一定，故只有当圆的半径r ＞ r0时才能满足要求。根据圆的几何知识，可得：r0 + r0cosθ= d ∴ r0 = d /（1 + cosθ） 又 r = mv / eB ∴ mv / eB ＞ d /（1 + cosθ） 即 v ＞ edB / m（1 + cosθ） 解决带电粒子在磁场中的匀速圆周运动的问题，根据题目的条件不同合理选择根据条件画圆还是先画圆后标条件，以圆为核心，结合数学中圆的平面几何知识，找出相应的关系，此类问题便轻松解决了。

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附巩固方法用练习及解答：

1、如右图所示，匀强磁场区域的宽度d = 8 cm，磁感应强度B = 0.332T，方向垂直纸面向里。在磁场边界CD的中央放一个放射源S，它向各个不同方向均匀地放出速率相同的α粒子。已知α粒子质量m = 6.64×10-27kg，电荷量q = 3.2×10-19C，初速度v = 3.2×106 m / s 。求从磁场区另一边界EF射出时沿EF上下方向的最大长度范围。

2、如右图所示，在坐标轴的第一象限同时存在着匀强电场和匀强磁场。水平匀强磁

场与坐标平面垂直，水平匀强电场与坐标平面平行。一质量 m = 1 g ，电量q = 2.0 × 10C的带电粒子，以速度v = 10 m / s与X轴成45°角从坐标原点O斜向上射入此复合场中，已知粒子在复合场中作匀速直线运动。当粒子到达图中的A点时，突然将电场方向变为竖直向上，粒子从Q点（图中未画出）飞离第一象限。已知OA两点间的距离为52m。试求： 1） 2）

电场强度E和磁感应强度B的大小；

Q点的坐标及带电粒子在第一象限内的运动时间。 3、电量为q、质量为m的带正电粒子在XOY平面内沿着Y = a的直线以速度v经Y轴上的P点射入XOY平面的第一象限。要求在第一象限内设置磁感应强度为B的一个圆形区域，使带电粒子发生偏转，最后经X轴上的M点（XM= 2a）射出，且偏转角θ=60°，如右图所示。试求能达到此目的的最小圆形磁场区域的半径（粒子的重力不计）。 解答：

1、粒子在磁场里作圆周运动的半径r = mv / qB = 6.64×10-27×3.2×106 / 3.2×10-19×0.332m = 0.2 m = 20 cm ，从S以相同的速度v开始射入匀强磁场的带电粒子均作半径相同的圆周运动，能从磁场的右边界EF射出的粒子的范围就是两个分别与磁场的左

A图

D F S P S M O

Q B图

O a a Y P v M X 2a θ C E P M O A 45° X Y -3

C d E

B D F

右边界相切的圆在EF边界相交（切）的P、Q之间的距离（如右图B所示）。由几何关系可知 PM = QM 。PM的求法如右上图A所示，PM2 +（r - d）2 = r2 ，∴ PM = 16 cm ，即带电粒子能从EF边界射出的范围是 32 cm 。

2、该题虽然是带电粒子在复合场中的运动情况，但在第2）问中，仍是圆周运动的问题。① 对带电粒子进行受力分析（如右图），因粒子作匀速直线运动，则∑F = 0， ∴ qE = mg ； qvB =

-3

qvB 45° qE mg 2mg

-3

∴ E = mg / q = 1×10×10 / 2×10 N / C= 5 N / C B =

2mg / qv = 2×1×10-3×10 / 2×10-3×10 T=

2/ 2 T

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② 若带电粒子运动到A点时突然将电场方向变为竖直向上，则由1）知mg 与 qE平衡，只剩下洛伦磁力，故粒子将从A点开始作逆时针方向的匀速圆周运动，其轨迹肯定是一个圆（一部分），其半径r = mv / qB =1×10-3×10 / 2×10-3×

22m = 52m。我们可在草稿纸上先画一

Y Q 个圆，依题意可确定A点在圆上的位置（如右图所示）。将速度矢量延长，则O′A ⊥v ，又 ∵ OA = 52m = O′A = r ，∴ OAO′恰好构成一个等腰直角三角形，故原题中的Y轴过圆心，则Q点可确定了。从图中很容易得Q点在Y轴上的坐标为r +

O OO′=（ 52+ 10 ）m ；粒子的运行时间是OA间的匀速运动

22O’ 45° A 45° X V 时间 t1 与 A 至Q点的圆周运动的时间t2之和。 t1 = OA / v =

135360135360211021033s ； ∠QO′A = 180°— 45 °=

22328135° ∴ t2T×22328s tt1t2()s

3、依题意，磁场的方向垂直纸面向外。由于带电粒子的速度和磁场都是确定的，所以带电粒子作圆周运动的半径r = mv / qB也是确定的。将X轴和Y轴上的两个速度矢量（或反向）延长，与X、Y轴组成一个梯形，再画一个半径确定的圆（轨迹），并将此圆移至坐标中与两速度矢量相切（如下右图所示），

Y A D θ r θ/2 B O a P v M X 2a θ O a 过两切点作轨迹圆的弦，则最小圆形磁场的区域的圆直径就是此弦的长度。弦的长度AB可根据几何关系求得，如上左图所示，过两速度的矢量与圆轨迹的切点A、B各作两条垂线AO、BO相交于O点，则∠AOB = θ = 60°，过O作弦AB的垂线OD，则∠DOB = θ / 2 = 30°， ∴ 弦AB = 2r sin30°= r ，故能达到此目的的最小圆形磁场区域的半径R = r / 2 = mv / 2qB。

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