不等式练习题(带答案)

不等式基本性质练习

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a>0, b >0,则(ab)(A．2

11) 的最小值是 abC．42

D．4

（ ）

B．22

2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 A．必要条件 C．充要条件

B．充分条件 D．必要或充分条件

D．

（ ）

3．设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是

A．

（ ）

111 abB．

111 abC．

112 ab112 ab（ ）

4．已知a、b均大于1，且logaC·logbC=4，则下列各式中，一定正确的是

A．ac≥b

B．ab≥c

C．bc≥a

D．ab≤c

5．设a=2，b=73，cA．a>b>c

62，则a、b、c间的大小关系是

C．b>c>a

D．a>c>b

（ ）

B．b>a>c

6．已知a、b、m为正实数，则不等式

A．当a< b时成立 C．是否成立与m无关

x-xama bmb（ ）

B．当a> b时成立 D．一定成立

2

7．设x为实数，P=e+e，Q=(sinx+cosx)，则P、Q之间的大小关系是

A．P≥Q

B．P≤Q

C．P>Q

D． P（ ）

8．已知a> b且a+ b <0，则下列不等式成立的是

A．

（ ）

a1 bB．

ab

a1 bbaC．

a1 bD．

a1 b

（ ）

9．设a、b为正实数，P=ab，Ｑ=ab，则P、Q的大小关系是

A．P≥Q

B．P≤Q

C．P=Q

D．不能确定

10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以

速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是 A．甲先到

B．乙先到

C．甲乙同时到

（ ）

D．不能确定

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

1 / 4

11．若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 ． 12．已知a>1，a=100，则lg(ab)的最小值是 ． 13．使不等式a>b，2

2lgb

a1，lg(a－b)>0， 2a>2b-1同时成立的a、b、1的大小关系是 ． b3

14．建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120

元和80元，则水池的最低总造价为 元． 三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．若a、b、c都是正数，且a+b+c=1，求证： (1–a)(1–b)(1–c)≥8abc．（12分）

16．设a0,a1,t0,试比较

17．已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)2（12分）

18．已知x = a + b，y = c + d，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd．（12分）

2

2

2

2

2

2

1t1logat与loga的大小．（12分） 22

19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上下各

留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？（14分）

2

20．数列{xn}由下列条件确定：x1a0,xn11a(xn),nN． 2xn（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥a；（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥xn1． （14分）

参考答案

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 B 5 D 6 A 7 A 8 C 9 A 10 A 二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．x≥9 12．22 13．a>b>1 14．1760 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）

[证明]：因为a、b、c都是正数，且a+b+c=1，

所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)( a+c)( a+b)≥2

16．（12分）

[解析 ]： logt1logabc·2ac·2ab=8abc．

2atlogat1 2t t0,t12t（当且仅当t=1时时等号成立） t12tt12t1 1，

（1） 当t=1时，logat1logat22 （2） 当t1时，

若a1,则logt10,logt11logt

aaa2t2若0a1,则logt10,logt11logt aaa2t2217．（12分）

[证明]：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比数列， b又∵a，b，c都是正数，所以0b2ac

ac≤acac ∴acb

2∴2(abbcac)2(abbcb2)2b(acb)0 ∴a2b2c2(abc)2

18．（12分）

[证法一]：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数 ∴要证：xy≥ac + bd

只需证：(xy)≥(ac + bd) 即：(a + b)(c + d)≥ac+ bd + 2abcd 展开得：ac+ bd + ad + bc≥ac+ bd + 2abcd 即：ad + bc≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy≥ac + bd

[证法二]：（综合法）xy =a2b2c2d2a2c2b2c2a2d2b2d2 ≥a2c22abcdb2d2(acbd)2acbd [证法三]：（三角代换法）

∵x = a + b，∴不妨设a = xsin, b = xcos

2

2

2

22

2222

22

22

22

22

22

22222222 22

y2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos

∴ac + bd = xysin19．（14分）

[解析]：设画面高为x cm，宽为x cm 则x=4840．

2

sin + xycoscos = xycos( )≤xy

设纸张面积为S，有 S=（x +16）(x +10) = x+(16+10) x +160,

2

S=5000+4410(5).

 当8

555,即(1)时S取得最小值.

884840

此时，高：x88cm, 宽：

x8855cm,

58 答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小． 20．（14分） （I）证明：由x1从而有xa0,及xn11(xna),可归纳证明xn0（没有证明过程不扣分）

2xn1aa(xn)xna(aN). 所以，当n2时,xa成立. 2xnxnn1（II）证法一：当n2时,因为xn所以xa0,xn11a(xn) 2xn21a1axn(xn)xn0, 故当n2时,xnxn1成立. n1xn2xn2xn证法二：当n2时,因为xa0,x1(xa)

n1n2xn1a(xn)2222xnxnaxnxn 故当n2时,xn122xn2xn2n所以xn1xnxn1成立.

温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！