湖南省邵阳市新邵县2021-2022学年高一上学期期末考试
数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．命题“∀x≥0，x2﹣x﹣2≥0”的否定是（ ） A．∃x＜0，x2﹣x﹣2＜0 C．∃x≥0，x2﹣x﹣2≥0 2．“φ＝
B．∀x＞0，x2﹣x﹣2＜0 D．∃x≥0，x2﹣x﹣2＜0
”是“函数y＝sin（x+φ）为偶函数的”（ ）
B．必要不充分条件
A．充分不必要条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
﹣α）﹣3cos（α﹣π）＝1，则tan（π﹣α）＝
3．已知角α是第四象限角，且满足sin（（ ） A．
B．
C． D．
4．已知a＝logπe，b＝lnπ，c＝ln3，那么（ ） A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
5．已知f（x），g（x）均为〖﹣1，3〗上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f（x）＝ g（x）有实数解的区间是（ ）
x f（x） g（x） A．（﹣1，0）
﹣1 ﹣0.670 ﹣0.530
0 3.011 3.451
1 5.432 4.890 C．（1，2）
2 5.980 5.241
3 7.651 6.892 D．（2，3）
B．（0，1）
6．有一组实验数据如表所示：
x y
2.01 3
3 8.01
4.01 15
5.1 23.8
6.12 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ） A．y＝2x+1﹣1
B．y＝x2﹣1
C．y＝2log2x
D．y＝x3
7．如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其
1
2021-2022学年期末考试试题 〖解 析〗式是（ ）
A．f（x）＝3sin（x+C．f（x）＝3sin（2x﹣
） ）
B．f（x）＝3sin（2x+D．f（x）＝3sin（2x+
） ）
8．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行两步恰竿齐，五尺板高离地…”某教师根据这首词设计一题：如图，已知AB⊥l，CD⊥l，AE＝AC，CF⊥AE，CD＝5，BE＝2，FC＝ 3
，则弧
的长（ ）
A．π
B．
C．
D．2π
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．若a＞b＞0，则以下结论正确的是（ ） A．ac2＞bc2
B．a2＞ab＞b2
C．lga＞lgb
D．
10．已知函数f（x）＝loga（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象过定点（s，t），正数m，n满足m+n＝s+t，则（ ） A．m+n＝4 11．若将函数
则下列说法正确的是（ ） A．g（x）的最小正周期为π
B．m2+n2≥8 C．mn≥4 D．
的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，
2
2021-2022学年期末考试试题 B．g（x）在区间〖0，C．x＝
〗上单调递减
不是函数g（x）图象的对称轴
，0）对称
D．g（x）的图象关于点（﹣
12．已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R， f（﹣x）＝f（x）；②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有③f（﹣1）＝0．则下列选项成立的是（ ） A．f（3）＞f（﹣4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣∞，3） C．若
＞0；
＞0，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M
三、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 13．cos600°的值为 ． 14．
，则f（f（2））的值为 ．
15．已知f（x）＝ln（x2﹣ax+1）的定义域为R，那么a的取值范围为 ． 16．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），且在〖2021，2022〗上是减函数，若A、B是钝角三角形的两个锐角，对（1）
，k为奇数；（2）f（cosA）＜
f（cosB）；（3）f（sinA）＞f（sinB）；（4）f（sinA）＜f（cosB）；（5）f（cosA）＞ f（sinB）．则以上结论中正确的有 ．（填入所有正确结论的序号）．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在①A∪B＝B；②“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（Ⅱ）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}． （Ⅰ）当a＝2时，求A∪B；
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2021-2022学年期末考试试题
（Ⅱ）若_______，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知2sinα＝cosα． （1）若α为锐角，求cos（α+（2）求tan（2α+
19．（12分）已知函数f（x）＝9x﹣a•3x+1+a+1． （Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）＜0的解集；
（Ⅱ）若x∈（﹣∞，0）时，不等式f（x）＞2﹣2a恒成立，求a的取值范围．
）的值．
）的值；
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2021-2022学年期末考试试题
20．（12分）某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．
（1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶．要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x元，并投入x2万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t（万瓶）的最小值，以及t取最小值时的每瓶饮料的售价．
21．（12分）已知f（x）＝2正周期为π． （1）求f（x）； （2）当
时，求函数y＝f（x）的最大值和最小值并求相应的x值．
，且f（x）的最小
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2021-2022学年期末考试试题
22．（12分）若函数y＝（fx）自变量的取值区间为〖a，b〗时，函数值的取值区间恰为
，
就称区间〖a，b〗为y＝f（x）的一个“罗尔区间”．已知函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，g（x）＝﹣x+4． （Ⅰ）求g（x）的〖解 析〗式；
（Ⅱ）求函数g（x）在（0，+∞）内的“罗尔区间”；
（Ⅲ）若以函数g（x）在定义域所有“罗尔区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y＝h（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素．若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由．
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2021-2022学年期末考试试题
▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．D
〖解 析〗命题是全称命题，则否定是∃x≥0，x2﹣x﹣2＜0，故选：D． 2．A
〖解 析〗因为φ＝所以“φ＝
⇒函数y＝sin（x+φ）＝cosx为偶函数，
”是“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”充分条件，
，k∈Z”，
“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”所以“φ＝kπ+所以“φ＝3．C
〖解 析〗∵角α是第四象限角， 且满足sin（∴α＝2kπ﹣
”是“函数y＝sin（x+φ）为偶函数”的充分不必要条件．故选：A．
﹣α）﹣3cos（α﹣π）＝﹣cosα+3cosα＝2cosα＝1， ，k∈Z，
）＝﹣tan（﹣
）＝tan
＝
，
则tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣tan（2kπ﹣故选：C． 4．A
〖解 析〗∵a＝logπe＜logππ＝1，
又∵lnπ＞ln3＞lne＝1，即b＞c＞1，∴b＞c＞a，故选：A． 5．B
〖解 析〗令h（x）＝f（x）﹣g（x），
则h（0）＝f（0）﹣g（0）＜0，h（1）＝f（1）﹣g（1）＞0，
由题意得h（x）连续，根据函数的零点判定定理可知，h（x）在（0，1）上有零点， 所以f（x）＝g（x）在（0，1）上有解．故选：B． 6．B
〖解 析〗由函数的表格可知，函数的〖解 析〗式应该是指数函数类型与二次函数的类型，选项C不正确；
7
2021-2022学年期末考试试题
当x＝2.01时，y＝2x+1﹣1＞4；y＝x2﹣1≈3，y＝x3＞7，
当x＝3时，y＝2x+1﹣1＝15；y＝x2﹣1≈8，y＝x3＝27，故选：B． 7．B
〖解 析〗由图象知A＝3，函数的周期T＝即
﹣（﹣
）＝π，
＝π，即ω＝2，则f（x）＝3sin（2x+φ），
）+φ＝0，即φ＝
，
由五点对应法得2×（﹣则f（x）＝3sin（2x+8．D
），故选：B．
〖解 析〗设圆弧CE的半径为AC＝r，
由AE＝AC＝AF+FE＝AF+BF﹣BE＝AF+CD﹣BE＝AF+5﹣2＝r， 可得AF＝r﹣3，
在直角三角形ACF中，AC＝r，CF＝3可得r2＝（r﹣3）2+（3所以弧
的长为
，AF＝r﹣3，
＝
，则∠FAC＝
，
）2，解得r＝6，sin∠FAC＝
r＝2π．故选：D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．BCD
〖解 析〗对于A，当c＝0时，不成立，故A错误；
对于B，∵a＞b＞0，∴ab＞b2，a2＞ab，∴a2＞ab＞b2，故B正确； 对于C，∵a＞b＞0，∴lga＞lgb，故C正确；
对于D，∵a＞b＞0，∴＜，故D正确．故选：BCD． 10．ABD
〖解 析〗由题意得，函数f（x）的图象过定点（2，2），s＝t＝2，所以m+n＝4，所以A正确；由重要不等式m2+n2≥2mn可得2（m2+n2）≥（m+n）2＝16， 故m2+n2≥8，当且仅当m＝n＝2时取等号，所以B正确； 由基本不等式可得，
，当且仅当，m＝n＝2时取等号，故C错误；
8
2021-2022学年期末考试试题 又
＝
，
当且仅当11．ACD 〖解 析〗将函数
，即m＝n＝2时取等号，所以D正确．故选：ABD．
的图象向左平移
+
）＝cos（2x+＝π，故A正确； ∈〖
，
个单位长度，
得到函数g（x）＝cos（2x+故g（x）的最小正周期为T＝在区间〖0，当x＝当x＝﹣关于点（﹣12．CD
〗上，2x+
）的图象，
〗，函数g（x）没有单调性，故B错误；
时，g（x）＝0，故x＝时，g（﹣
不是函数g（x）图象的对称轴，故C正确；
+
）＝cos（﹣
）＝0，故g（x）的图象
）＝cos（﹣
，0）对称，故D正确．故选：ACD．
〖解 析〗定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R， f（﹣x）＝f（x）；说明函数是偶函数； ②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有说明函数在（0，+∞）是增函数； ③f（﹣1）＝0．
所以f（3）＜f（4）＝f（﹣4）成立，所以A不正确；
若f（m﹣1）＜f（2），可得|m﹣1|＜2，则m∈（﹣1，3），所以B不正确； 若y＝
是奇函数，
＞0，f（﹣1）＝0．
＞0；
可得x∈（﹣1，0）∪（1，+∞），所以C正确；
因为函数是连续函数，又是偶函数，在x＞0时是增函数， 所以∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M，正确；故选：CD． 三、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 13．﹣
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2021-2022学年期末考试试题
〖解 析〗cos600°＝cos（720°﹣120°）＝cos（2×360°﹣120°） ＝cos（﹣120°）＝cos120°＝﹣， 故〖答 案〗为：﹣． 14．2
〖解 析〗由题意，自变量为2，故内层函数f（2）＝log3（22﹣1）＝1＜2， 故有f（1）＝2×e11＝2，即f（f（2））＝f（1）＝2×e11＝2，故〖答 案〗为2. 15．（﹣2，2）
〖解 析〗∵f（x）＝ln（x2﹣ax+1）的定义域为R，
∴x2﹣ax+1＞0对任意x∈R恒成立，则Δ＝（﹣a）2﹣4＜0，解得﹣2＜x＜2． ∴a的取值范围为（﹣2，2）．故〖答 案〗为：（﹣2，2）． 16．（1）（4）（5）
〖解 析〗∵f（x+1）＝﹣f（x），令x＝则
，∴
得，
，又f（x）是偶函数，
﹣
﹣
且f（x+2）＝﹣f（x+1）＝﹣〖﹣f（x）〗＝f（x），可得函数f（x）是周期为2的函数． 故
，k为奇数．所以（1）正确．
∵A、B是钝角三角形的两个锐角， ∴
，可得
， 上是增函数，
，
∵y＝sinx在区间∴
由y＝cosx在区间
，即钝角三角形的两个锐角A、B满足sinA＜cosB， 上是减函数得cosA＞sinB，
∵函数f（x）是周期为2的函数且f（x）在〖2021，2022〗上是减函数， ∴f（x）在〖﹣1，0〗上也是减函数，又函数f（x）是定义在R上的偶函数， 可得f（x）在〖0，1〗上是增函数．
∵钝角三角形的两个锐角A、B满足sinA＜cosB，cosA＞sinB， 且，sinA，cosB，cosA，sinB∈（0，1），
∴f（sinA）＜f（cosB），f（cosA）＞f（sinB）．所以（2）（3）不正确；（4）（5）正确． 故〖答 案〗为：（1）（4）（5）．
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2021-2022学年期末考试试题
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（Ⅰ）当a＝2时，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|﹣1≤x≤3}， 所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}； （Ⅱ）若选择①A∪B＝B，则A⊆B， 因为A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，所以A≠∅， 又B＝{x|﹣1≤x≤3}，所以所以实数a的取值范围是〖0，2〗．
若选择②，“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B， 因为A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，所以A≠∅， 又B＝{x|﹣1≤x≤3}，所以所以实数a的取值范围是〖0，2〗． 若选择③，A∩B＝∅，
因为A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}， 所以a﹣1＞3或a+1＜﹣1，解得a＞4或a＜﹣2， 所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）． 18．解：（1）因为2sinα＝cosα， 又α为锐角，所以sinα＝所以cos（α+
）＝cosαcos
，cosα＝﹣sinαsin
， ＝
×﹣
×
＝
．
，解得0≤a≤2， ，解得0≤a≤2，
（2）由2sinα＝cosα，可得tanα＝，所以tan2α＝＝＝，
所以tan（2α+）＝＝＝﹣7．
19．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＜0，则有9x﹣3×3x+2＜0， 即（3x﹣1）（3x﹣2）＜0，所以1＜3x＜2，解得0＜x＜log32， 故不等式的解集为（0，log32）；
（Ⅱ）∵f（x）＞2﹣2a对x∈（﹣∞，0）恒成立， 所以9x﹣3a•3x+3a﹣1＞0对x∈（﹣∞，0）恒成立，
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2021-2022学年期末考试试题
即9x﹣1＞3a（3x﹣1）对x∈（﹣∞，0）恒成立，
故（3x+1）（3x﹣1）＞3a（3x﹣1）对x∈（﹣∞，0）恒成立， 因为x＞0，所以3x﹣1＜0，
∴3x+1＜3a对x∈（﹣∞，0）恒成立， ∴3a≥3°+1＝2，解得
，故a的取值范围为
．
20．解：（1）设饮料每瓶售价最多为x元，
则〖9﹣0.5（x﹣14）〗x≥14×9，即x2﹣32x+252≤0，解得：14≤x≤18， 所以要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为18元． （2）当x＞14时，由题意可得，tx≥14×9+即当x＞14时，t∵∴t≥16，
所以技术革新后，该饮料月销售量t至少达到16万个时，可使月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，此时每瓶饮料的售价为16元． 21．解：（1）函数＝
因为T＝π，所以（2）当当当
时，
，即x＝0时，f（x）min＝﹣1， ，即
时，f（x）max＝2，
时，f（x）max＝2．
，
，解得ω＝1，所以
，
．
，
＝16，当且仅当
即x＝16时，等号成立， +2，
所以，x＝0时，f（x）min＝﹣1，
22．解：（Ⅰ）因为g（x）为R上的奇函数，∴g（0）＝0， 又当x∈（0，+∞）时，g（x）＝﹣x+4， 则当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），
故g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣〖﹣（x）+4〗＝﹣x﹣4；
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2021-2022学年期末考试试题
∴；
（Ⅱ）设0＜a＜b，
∵g（x）在（0，+∞）上递单调递减，
∴，即a，b是方程的两个不等正根．
∵0＜a＜b，∴a＝1，b＝3，
∴g（x）在（0，+∞）内的“罗尔区间”为〖1，3〗． （Ⅲ）设〖a，b〗为g（x）的一个“罗尔区间”，则
，∴a，b同号．
当a＜b＜0时，同理可求g（x）在（﹣∞，0）内的“罗尔区间”为〖﹣3，﹣1〗． ∴
，
依题意，抛物线y＝x2+m与函数h（x）的图象有两个交点时， 一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，m应当使方程x2+m＝﹣x+4在〖1，3〗内恰有一个实数根， 并且使方程x2+m＝﹣x+4在〖﹣3，﹣1〗内恰有一个实数根． 由方程x2+m＝﹣x+4，即x2+m＝﹣x+4在〖1，3〗内恰有一根， 令F（x）＝x2+x+m﹣4，则
，解得﹣8≤m≤2；
由方程x2+m＝﹣x+4，即x2+x+m﹣4＝0在〖﹣3，﹣1〗内恰有一根， 令G（x）＝x2+x+m﹣4，则
，解得﹣10≤m≤﹣4．
综上可知，实数m的取值集合为{m|﹣8≤m≤﹣4}．
13
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