金融模型

金融问题的差分方程模型

1．贷款模型

问题：设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是 还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？

，今采用月

模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。

模型假设：设贷款后第 k个月后的欠款数是元，月还款为元，月贷款利息为

。

模型建立：关于离散变量，考虑差分关系有：

，

即： （3.15）

这里已知有：

模型求解：令，则

这就是差分方程（3.15）的解。把已知数据款额

。例如：

元。

代入中，可以求出月还

时，可以求出：

模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等。

如果令，则，并且

当时，总有，即表明：每月只还上了利息。只有当

时，欠款余额逐步减少，并最终还上贷款。

2.养老保险模型

问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才

能保证兑现你的保险收益？

模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。

模型假设：这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第月止所交保费及收益的累计总额为

，每月收益率为

，用

分别表示60岁之前和之后每月交费数和

领取数，N表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份。

模型建立：在整个过程中，离散变量的变化规律满足：

，

在这里实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人帐户上的资金数值，我

能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；

们关心的是，在第M个月时，

如为负数，则表明保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析来看，引入变量地刻画了整个过程中资金的变化关系，特别是引入收益率

，很好

，虽然它不是我们所求的保险

人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础。

模型计算：以25岁起保为例。假设男性平均寿命为75岁，则有

，初始值为

，我们可以得到：

在上面两式中，分别取和并利用可以求出：

利用数学软件或利用牛顿法通过变成求出方程的跟为：

同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为