2012高考天津文科数学试题及答案(高清版)

数学文史类(天津卷)

本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．

参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ·棱柱的体积公式V＝Sh． 其中S表示棱柱的底面面积， h表示棱柱的高．

·圆锥的体积公式V＝

1Sh． 3其中S表示圆锥的底面面积， h表示圆锥的高．

第Ⅰ卷

本卷共8小题，每小题5分，共40分．

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． i是虚数单位，复数

53i( ) 4iA．1－i B．－1＋i C．1＋i D．－1－i

2xy20,2．设变量x，y满足约束条件x2y40,则目标函数z＝3x－2y的最小值为( )

x10,A．－5 B．－4 C．－2 D．3

3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )

A．8 B．18 C．26 D．80 4．已知a＝21.2，b(

10.8)，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( ) 21”是“2x2＋x－1＞0”的( ) 2A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 5．设x∈R，则“xA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A．y＝cos2x，x∈R

B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0

exexC．y，x∈R

2D．y＝x3＋1，x∈R

7．将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移0)，则ω的最小值是( )

A．

π3π个单位长度，所得图象经过点(，44ruuuruuuruuu8．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2．设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1uuuruuuruuur－λ)AC，λ∈R．若BQCP2，则λ＝( )

124A． B． C． D．2

333第Ⅱ卷

本卷共12小题，共110分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为__________．

10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m3．

15 B．1 C． D．2 33xyx2y21有相同的渐近11．已知双曲线C1：221(a＞0，b＞0)与双曲线C2：ab416线，且C1的右焦点为F(5，0)，则a＝__________，b＝__________．

12．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为__________．

13．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D．过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF则线段CD的长为__________．

22

3，2

|x21|14．已知函数y的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值

x1范围是__________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果；

②求抽取的2所学校均为小学的概率．

c16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝2，

(1)求sinC和b的值； (2)求cos(2A＋

cosA2，2． 4π)的值． 317．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC23，PD=CD=2．

(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值； (2)证明平面PDC⊥平面ABCD；

(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

18．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4

＝27，S4－b4＝10．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n＞2)．

25x2y2a)在椭圆上． a，19．已知椭圆221a＞b＞0)，点P(

25ab(1)求椭圆的离心率；

(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．

20．已知函数f(x)＝

131a2x＋x－ax－a，x∈R，其中a＞0． 32(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

(3)当a＝1时，设函数f(x)在区间［t，t＋3］上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间［－3，－1］上的最小值．

53i(53i)(4i)205i12i3i21717i=1i． 1． C 24i(4i)(4i)16i172． B 由约束条件可得可行域：

对于目标函数z=3x－2y， 可化为y

31x－z， 22要使z取最小值，可知过A点时取得． 由2xy20,x0,得即A(0,2)，

x2y40,y2,∴z=3×0－2×2=－4．

3． C n＝1，S＝0＋31－30＝2，n＝2； n＝2＜4，S＝2＋32－31＝8，n＝3； n＝3＜4，S＝8＋33－32＝26，n＝4； 4≥4，输出S＝26． 4． A a＝21.2，b＝(

1－0.80.8)＝2， 2∵21.2＞20.8＞1，∴a＞b＞1，c＝2log52＝log54＜1． ∴c＜b＜a．

5． A ∵2x2＋x－1＞0，可得x＜－1或x∴“x1， 21”是“2x2＋x－1＞0”的充分而不必要条件． 2ππ6． B 对于A项，y＝cos2x是偶函数，但在区间(1，)内是减函数，在区间(，2)

22内是增函数，不满足题意．

对于B项，log2|－x|＝log2|x|，是偶函数，当x∈(1,2)时，y＝log2x是增函数，满足题意．

exe(x)exexf(x)， 对于C项，f(x)22exex∴y是奇函数，不满足题意．

2对于D项，y＝x3＋1是非奇非偶函数，不满足题意． 7． D f(x)=sinωx的图象向右平移

ππ个单位长度得：y=sin［ω(x－)］． 443π,0)， 43ππ0． ∴sin［(－)］44π0． ∴sin2πkπ(k∈Z)． ∴2又所得图象过点(∴ω=2k(k∈Z)．

∵ω＞0，∴ω的最小值为2． ∴|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝0．

uuuruuur8． B 设ABa，ACb，

uuuruuuruuuruuuruuuruuurBQCPAQABAPAC

＝［(1－λ)b－a］·(λa－b)

＝－λa2－(1－λ)b2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，∴

2

． 3

9．答案：－3

解析：∵|x－2|≤5，∴－5≤x－2≤5，

∴－3≤x≤7，∴集合A中的最小整数为－3． 10．答案：30

解析：由几何体的三视图可知：该几何体的顶部为平放的直四棱柱，底部为长、宽、高分别为4 m,3 m,2 m的长方体．

∴几何体的体积V＝V棱柱＋V长方体＝11．答案：1 2

(12)1×4＋4×3×2＝6＋24＝30(m3)． 2b2． a又C1的右焦点为F(5，0)，∴c5，即a2＋b2＝5．

解析：∵C1与C2的渐近线相同，∴∴a2＝1，b2＝4，∴a＝1，b＝2． 12．答案：3

解析：∵l与圆相交所得弦的长为2，∴∴m2＋n2＝

1mn2241，

11≥2|mn|，∴|mn|≤． 3611l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，

nm11111163． ∴SAOB||||2mn2|mn|2413．答案：

3解析：在圆中，由相交弦定理： AF·FB＝EF·FC，

AFFB2， EFFCAF由三角形相似，， BDABFCAB8． ∴BDAF3∴FC由切割弦定理：DB2＝DC·DA，

又DA＝4CD， ∴4DC2＝DB2＝∴DC64． 94． 314．答案：(0,1)∪(1,2)

解析：y|x1||x1||x1|x1,x1 x1x1|x1|,x12

函数y=kx过定点(0,0)．

由数形结合可知：

0＜k＜1或1＜k＜kOC， ∴0＜k＜1或1＜k＜2．

15．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1．

(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．

所以P(B)31． 155214，可得sinA． 447ac又由及a＝2，c2，可得sinC． 4sinAsinC16．解：(1)在△ABC中，由cosA由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0．

因为b＞0，故解得b＝1．

7，b＝1． 42143(2)由cosA，sinA，得cos2A＝2cos2A－1＝，sin2A＝2sinAcosA＝

4447， 4πππ321所以，cos(2A＋)＝cos2Acos－sin2Asin＝．

8333所以sinC17．解：(1)如图，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC且AD

∥BC．又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．

在Rt△PDA中，tanPADPD2． AD

所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2．

(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD=D，因此AD⊥平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．

(3)在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB．

由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线． 故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．

在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC23，可得∠PCD＝30°． 在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝3．

由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC， 因此BC⊥PC．

PC2BC213．

PE39在Rt△PEB中，sinPBE． PB13在Rt△PCB中，PB所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为

39． 1318．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4

＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．

23d2q327,d3,由条件，得方程组解得 3q2.86d2q10,所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*．

(2证明：由(1)得 Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①

＋

2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n1．② 由①－②，得

＋

－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n1

6(12n)＋＋＝－(3n－1)×2n1－2＝－(3n－4)×2n1－8，

12即Tn－8＝(3n－4)×2n1，

＋

而当n＞2时，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n1． 所以，Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N*，n＞2．

＋

25a2a2b25a)在椭圆上，故221，可得2． a，19．解：(1)因为点P(

25a85a2b6a2b2b232e1于是e，所以椭圆的离心率．

4a2a28(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x0，y0)．

y0kx0,由条件得x2y2消去y0并整理得

00221,baa2b22x022．①

kab2由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，

a22a222

而x0≠0，故x0，代入①，整理得(1＋k)＝4k·2＋4． 2b1ka28322

由(1)知2，故(1＋k2)2＝k＋4，

b55即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5．

所以直线OQ的斜率k5．

20．解：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)． (2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)

f(2)0,1在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当f(1)0,解得0＜a＜．

3f(0)0,所以，a的取值范围是(0，(3)a＝1时，f(x)＝

1)． 313

x－x－1．由(1)知f(x)在［－3，－1］上单调递增，在［－1,1］上3单调递减，在［1,2］上单调递增．

①当t∈［－3，－2］时，t＋3∈［0,1］，－1∈［t，t＋3］，f(x)在［t，－1］上单调递增，在［－1，t＋3］上单调递减．因此，f(x)在［t，t＋3］上的最大值M(t)＝f(－1)＝1，3而最小值m(t)为f(t)与f(t＋3)中的较小者．由f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，当t∈［－3，－2］时，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t)．而f(t)在［－3，－2］上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝5154，所以g(t)在［－3，－2］上的最小值为g(2)()． 3333②当t∈［－2，－1］时，t＋3∈［1,2］，且－1,1∈［t，t＋3］．

下面比较f(－1)，f(1)，f(t)，f(t＋3)的大小． 由f(x)在［－2，－1］，［1,2］上单调递增，有 f(－2)≤f(t)≤f(－1)，f(1)≤f(t＋3)≤f(2)．

5115，f(－1)＝f(2)＝，从而M(t)＝f(－1)＝，m(t)＝f(1)＝． 33334所以g(t)＝M(t)－m(t)＝．

34综上，函数g(t)在区间［－3，－1］上的最小值为．

3又由f(1)＝f(－2)＝