北师大版七年级下册知识点梳理及典型例题

一、整式的有关概念

1、单项式:数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独一个数或字母也是单项式。

2、单项式的系数:单项式中的数字因数。

3、单项式的次数：单项式中全部的字母的指数和。 4、多项式： 几个单项式的和叫多项式。

5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高项的次数 叫多项式的次数。

6、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含有字母的代数式不是整式） 练习一：

（1）指出下列单项式的系数与指数各是多少。

(1)a (2)2x3y4(3)23mn(4)23r（2）指出下列多项式的次数及项。 (1)2x3y25m5n2(2)2x3y2z732ab4二、整式的运算

（一）整式的加减法：根本步骤：去括号，合并同类项。 （二）整式的乘法 1、同底数的幂相乘

法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 数学符号表示： am•anamn练习二：推断下列各式是否正确。

1)a3•a32a3,,改正：________________________________

2)b4b4b8,,改正：________________________________ 3)m2m22m2,,改正：________________________________ 4)(x)3•(x)2•(x)(x)6x6改正：________________________________

2、幂的乘方

法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

数学符号表示： (am)namn

练习三：推断下列各式是否正确。

)(a4)4a44a8,,改正：________________________________ 2)[(b2)3]4b234b24改正：________________________________ 3)(x2)2n1x4n2,改正：________________________________

4)(a4)m (am)4(a2m)2改正：________________________________

,13、积的乘方

法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。） 符号表示： (ab)nanbn,(其中n为正整数), (abc)nanbncn(其中n为正整数)

练习四：计算下列各式。 11)(2xyz)4,2)(a2b)3,3)(2xy2)3,4)(a3b2)3 2

4、同底数的幂相除

法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

数学符号表示： amanamn特殊地： 1pa(a0,p为正整数)p a 0a1(a0)

练习五：（1）推断正误 1)a6a3a63a2,

2)10220,

4 3)()01,5

4)(m)5(m)3m2

（2）计算

115 1)aa;

m2m4)(2)2,

改正：__________________________________改正：__________________________________改正：__________________________________改正：__________________________________2）62m16m3)5n153n15)(x2)2(x•x2),6)amnamn（3）用分数或者小数表示下列各数

11)___________;2)33______________;2

03)1.5104_____________5、单项式乘以单项式

法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、一样字母的幂分别相乘，其余的字母则连同它的指数不变，作为积的一个因式。 练习六：计算下列各式。

32(2)(3ab)2(4b3) (1)(5x)(2xy),

231

(3)(am)2b(a3b2n),(4)(a2bc3)(c5)(ab2c)343

6、单项式乘以多项式

法则：单项式乘以多项式，就是依据安排律用单项式的去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

7、多项式乘以多项式

法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 练习七：（1）计算下列各式。 (1)(2a)(x2y3c),(2)(x2)(y3)(x1)(y2) (3)(xy)(2x1y)2

（2）计算下图中阴影局部的面积

8、平方差公式

法则：两数的各乘以这两数的差，等于这两数的平方差。 数学符号表示： (ab)(ab)a2b2 其中a,b既可以是数,也可以是代数式.

9、完全平方公式

法则：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）这两数积的2倍。

(ab)2a22abb2;数学符号表示：

(ab)2a22abb2

其中a,b既可以是数,也可以是代数式.

练习八：（1）推断下列式子是否正确，并改正

改正：(1)(x 2y)(x2y)x22y2,__________________________________改正：(2)(2 a5b)24a225b2,__________________________________ 11改正：( 3)(x1)2x2x1,__________________________________24

(4)无论是平方差公式,还是完全平方公式,a,b只能表示一切有理数.

改正：__________________________________

（2）计算下列式。

(1)(6xy)(6xy)

(3)(3x7y)(3x7y)

(5)2001219992

（二）整式的除法 1、单项式除以单项式

(2)7ab224)199.92,(5)10397法则：单项式除以单项式，把它们的系数、一样字母的幂分别相除后，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式

法则：多项式除以单项式，就是多项式的每一项去除单项式，再把所得的商相加。 练习九：计算下列各题。 1641352(1)(abc)((2ac)(2)6(ab)[(ab)] 43

(3)(5x2y34x3y26x)(6x)(4)x2x-2-2x

三、综合提升 11 (1)已知a222,求(a)2的值aa . (2)若xy22,x2y21,求xy的值. (3)如果(mn)2zm22mnn2,则z应为多少? 4242 (4)已知Aa2a1,B3a4a2,计算3AB.

第二章平行线与相交线

考点分析：本章的内容考题涉及到填空选择，说理题会有一道！但不难，会结合第五章的内容考核；分值10—15分

一、学问网络图：

相交线 余角、补角、对顶角 同位角 相交线与平行线 探究直线平行的条件 内错角 同旁内角 平行线 同位角 探究直线平行的特征 内错角 同旁内角 尺规作图 作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角 二、学问梳理： （一）角的大小关系：余角、补角、对顶角的定义和性质：

1．余角的定义：假如两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． 2．补角的定义：假如两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．

3．对顶角的定义：假如两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

4．互为余角的有关性质：

○

① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90．

○○

②同角或等角的余角相等，假如∠l十∠2=90 ，∠1+∠ 3= 90，则∠ 2= ∠ 3． 5．互为补角的有关性质：

○○

①若∠A +∠B=180则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180．

○

②同角或等角的补角相等．假如∠A ＋ ∠C=18 0，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C． 6．对顶角的性质：对顶角相等．

（二）两直线平行的判别和性质：

1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行．

2． “三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确相识这八个角要抓住：同位角位置一样，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”． 3．平行线的判别：

（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线． （2）假如两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线相互平行． （3）两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行。 （4）两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等．那么这两条直线平行。 （5）两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行．

备注：其中（3）、（4）、（5）这三种方法都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角． 4．平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。

5．两个几何中最根本的尺规作图：作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角。

m n

三．根底练习

1、视察右图并填空： a

(1) ∠1 与 是同位角; (2) ∠5 与 是同旁内角; b

(3) ∠1 与 是内错角;

2、当图中各角满意下列条件时,你能指出哪两条直线平行?

la(1) ∠1 = ∠4; m

n b(2) ∠2 = ∠4; (3) ∠1 + ∠3 = 180;

d c 3.如图：∠ 1=100°∠2=80°， 1 3 ∠3=105° 则∠4=_______

a

4

2 b

2 3 1 5 4

42 3 1

4. 两条直线被第三条直线所截，则（ ） A 同位角相等 B 同旁内角互补 C 内错角相等 D 以上都不对

5.如图, 若∠3=∠4，则 ∥ ； 若AB∥CD, 则∠ =∠ 。

三、典型例题分析：

○

1 ⌒

⌒ 3 4

2 ⌒ ⌒

D C

A B

【例1】已知：∠A= 30，则∠A的补角是________度．

图1

解：150 点拨：此题考察了互为补角的性质．

【例2】如图l，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分

○

∠AOE，∠ 1＝1530’，则下列结论中不正确的是（ ）

○

A．∠2 =45 B．∠1=∠3

○

C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于7530′ 解：D 点拨：此题考察了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用学问． 【例3】如图2，直线a ∥b，则∠A CB＝________

○

解：78 点拨：过点 C作CD平行于a，因为a∥b，所以CD∥b．则∠A C D

○○○

＝2 8，∠DCB=5 0．所以∠ACB＝78． 【例4】如图3，AB∥CD，直线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分

○

∠B EF，交CD于点G，∠1=5 0 求，∠2的度数．

○○○

解：65 点拨：由AB∥CD，得∠ BEF＝180－∠1=130 ，∠ BEG=∠2．又1

因为EG平分∠BEF，所以∠2=∠BEG=2 ∠BEF=65°（依据平行线的性质）

图3

【例5】一学员在广场上练习驾驶汽车，若其两次拐弯后仍沿原方向前进，则两次拐弯的角度可能是（ ）

○○○○

A．第一次向左拐30，第二次向右拐 30 B．第一次向右拐30，第二次向左拐130

○○○○

C．第一次向右拐50，第二次向右拐130 D．第一次向左拐50．第二次向左拐130 解：A 点拨：本题创设了一个真实的问题。要使经过两次拐弯后．汽车行驶的方向与原来的方向一样．就得保证原来，如今的行驶方向是两条平行线且方向一样．本题旨在考察平行线的断定与空间观念。解题时可依据选项中两次拐弯的角度画出汽车行驶的方向，再断定其是否一样，应选A．

【例6】如图4，已知B D⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ABC．

证明：因为BD⊥AC，EF⊥AC．所以BD∥EF．所以∠3=∠1．因为∠1=∠2，所以∠2=∠3．所以 GD∥BC．所以∠AGD=∠ABC．

点拨：审题时，依据分析，只看相关线段组成的图形而不考虑其他局部，这样就 能避开图形的其他局部干扰思路．

图2

○

图4

第三章 生活中的数据

考点分析：本章内容以填空选择为主，很少出如今大题；占5-10分值；

一．学问网络

二、学问点过关

（1）百万分之一：对较小数据的感受，用科学计数法表示肯定值较小数及单位的换算 如：1微米= 米，1纳米= 米，4纳米= 微米= 毫米= 厘米= 米，200千米的百万分之一是 米，用科学计数法表示为：_______；0.00000368= .

（2）近似数和有效数字：一般地，通过测量的结果都是近似的.

对于一个近似数从 边第 个不是 的数字起，到 的数位止，全部的数字都叫做这个数的有效数字，如：0.03296准确到万分位是 ，有 个有效数字，它们是 .

（3）世界新生儿图：会从给出的信息图中得到有用信息；会画生动形象的统计图。 三、典例剖析

例1.按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似值： (1)－3.19964(准确到千分位)； (2)560340(保存三个有效数字)； (3)5.306×10(准确到千位).

例2. 计算机存储容量的根本单位是字节，用b表示，计算中一般用Kb（•千字节）•或Mb（兆字节）或Gb（吉字节）作为存储容量的计算单位，它们之间的关系为1Kb=2b，1Mb=2Kb，1Gb=2Mb．学校机房效劳器的硬盘存储容量为40Gb，它相当于多少Kb？（结果用科学记数法表示，并保存三个有效数字）

10

10

10

5

例3.下表是1999年我国局部城市年平均气温统计状况．

北京 13.1℃ 8℃ 4.哈尔滨 海 16.6℃ 上庆 18.4℃ 重安 15.0℃ ℃ 8.0西乌鲁木齐 （1）依据表中的数据，制作统计图表示这六个城市年平均气温状况，•你的统计图能画得形象些吗？

（2）假如要利用面积分别表示这六个城市的年平均气温，六个城市所占的面积之比大约是多少？（利用计算器计算）

第四章概率

考点分析：本章内容以填空选择为主，间或出如今大题；占5-15分值；

复习要求：

（1） 会断定三类事务(必定事务、不行能事务、不确定事务)及三类事务发生可能性的大

小（即概率），用图来表示事务发生可能性的大小。

P必然事件1

图示如右图：

即时练习：将下面事务的字母写在最能代表它的概率的点上。

P不可能事件00P不确定事件10A．投掷硬币时，得到一个正面。

1

B．在一小时内，你步行可以走80千米。 C．给你一个色子中，你掷出一个3。 D．明天太阳会升起来。

（2）理解概率的意义，会计算摸球等一类事务的概率 （3）会设计嬉戏使其满意某些要求

练习一：1、袋中装有7个除了颜色不同外完全一样的球，其中2个白球，2个红球，3个黑球，从中随意摸出一球，摸到白球的概率是P（白球）=

2、小猫在如图的地板上自由地走来走去，并停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是多少？（图中每一块方砖除了颜色不同外完全一样）

第2题

3、请你设计一个嬉戏，使某一事务的概率为 。（提示：可用：转盘、卡片 、摸球等）

第五章三角形

14考点分析：本册书的考核重点涉及到填空、选择、说理题；说明两个三角形全等为必考；大家要好好复习本章哦！占15—20分值。其中结合了轴对称的性质的题目会稍稍有点难度，不过都是分小题来解决的，只要你一问一问来做，信任你是可以拿下的！加油！

一、三角形的性质 （1）边上的性质：

三角形的随意两边之和大于第三边 三角形的随意两边之差小于第三边 （2）角上的性质： 三角形三内角和等于180度

**另外：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，即∠ACD= ∠A + ∠B 练习一：

1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：厘米。填“能”或“不能”)

① 3，4，5（ ） ② 8，7，15（ ） ③ 13，12，20（ ）④5，5，11（ ） 2、在△ABC，AB＝5，BC＝9，那么 ＜AC＜ ___

3、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为奇数，那么第三边长是 ______

B

C

D

A 4、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm，这个三角形的周长是 _________ A

CD

1EB （第6题） （第7题） 5、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 度

6、如上图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，则∠B= 度，∠C= 度

二、三角形的中线、角平分线、高线、中垂线的概念

1、中线： A 线段AE是三角形BC边上的中线 __________________

C B

E

2、角平分线 A 1 2

线段AD是三角形∠BAC的角平分线. ______________

C B D 3、高线 A 线段AD是BC边上的高 __________________

B D

4、垂直平分线 A

D

C

1) _______________

直线DE是BC边上的中垂线 2)_________________

C B E

练习二 ：

1.如图，在△ABC中,BE是边AC上的中线。已知AB=4，AC=3，BE=5，则：AE=_______ △ABE的周长=________.

A A

第2题 第1题 第3题

2.如图,CE,CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,则∠ECF的度数=______度. 3.如图，AD、BF都是△ABC的高线，若∠CAD=30度，则∠CBF=______度。

E E F C

B B C D

三、三角形全等的断定方法 （1）边边边公理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等 （2）边角边公理（SAS）：两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 （3）角边角公理（ASA）：两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 （4）角角边公理（AAS）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

（5）斜边、直角边公理（HL，只适用于直角三角形）斜边和一条直角边对应相等的两个直

角三角形全等。

练习三：1如图,已知AC平分∠BCD,要说明△ABC≌△ADC,还须要增加一个什么条件?请说明

理由。

2、如图AD=BC，要断定△ABC≌△CDA，还须要的条件是 ，并说明理由。

3、如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC,说明∠EFD=∠BCA的理由。

E F A D C B

4、实力提升：如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC，AC=DB，则∠B=∠C,请说明理由.

B C A

D

D C A B A D

O

B C

四、角平分线的性质：

角平分线上的随意一点到这个角两边的间隔 相等

如图，若点P是∠CAB的平分线上一点，并且PB⊥AB，PC⊥AC，

则有 _____________

书写格式: ∵点P是∠CAB的平分线上一点，

PB⊥AB，PC⊥AC， ∴PC=PB

练习四：如图,在△ABC中, AD是△BAC的角平分线，DE是△ABD的高线， ∠C=90 度。若DE=2，BD=3，求线段BC的长。

C

A

P

B

五、线段中垂线的性质

１、 线段垂直平分线的性质：

线段的垂直平分线上的点到线段两端点的间隔 相等。 几何表述：

∴CA=CB

A

B

E D C

B

A

l

O

C

练习五：如下图，EF是AB的中垂线，分别延长BE、AE至D，C，使DE=CE，则AD与BC相等吗? 请说明理由。

第六章变量之间的关系

考点分析：本章的内容不会太难，以填空选择考核为主，偶有实际问题的解决（即应用题）！占5—10分值； 复习要求： 1、 能依据实际的例子理解自变量和因变量之间的定义。 2、 熟识两个变量之间关系的表示方法:

1) 表格法 2) 关系式法

方法点拨：1、等号左边是因变量。等号的右边是含自变量的式子；

2、已知自变量求因变量相当于代数求值；已知因变量求自变量相当于解方程 3) 图像法

速度 路程

2 ○ 2 ○ 1 ○3○ 1 ○3 ○ 时间 时间 Ｏ Ｏ

汽车的“速度-时间”图像 汽车的“路程-时间”图像

1表示汽车由静止均加速运动 ○1表示汽车由静止均速向前走 ○

2表示汽车保持肯定的速度运动 ○2表示汽车停顿运动 ○

3表示汽车均减速运动，最终停顿运动！ ○3表示汽车均速往回走，回到起点。 ○

练习一：1 . 汽车速度与行驶时间之间的关系可以用图象来表示，下图中 A、B、C、D四个图象，可以分别用一句话来描绘：

（1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢（ ） （2）在某段时间里，汽车速度始终保持不变。 （ ） （3）在某段时间里，汽车速度越来越快。 （ ） （4）在某段时间里，汽车速度越来越慢。 （ ）

速 度 速 度 速度 速度 时o 间

D

o 时o 时

A 间 B 间

o 时C 间

第七章生活中的轴对称

考点分析：内容相对简洁，主要是让学生感受生活中的轴对称，可以依据轴对称现象解决一些简洁的题目！但结合三角全等的内容来考核的话，就会有肯定的深度；这里特殊提示同学们要留意的是：简洁的轴对称图形的一些性质，盼望大家要记住！占5—10分。 性质一：角平分线上的随意一点到这个角两边的间隔 相等（详见第五章复习第四点） 性质二：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的间隔 相等。（详见第五章复习第五点） 性质三：等腰三角形时轴对称图形，它的角平分线、底边上的高、底边上的中线重合（简称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 性质四：等腰三角形的来那个底角相等；

性质五：假如一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等。

其他性质：轴对称的两个图形的对应点所连的线段被对称轴垂直平分；它们的对应线段相等，对应角相等。

练习一（实力提升）：1、 如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC=9 cm,△BCE的周长为15 cm,求BC的长.

2、如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D， （1）∠PCD=∠PDC吗？ 为什么？

（2）OP是CD的垂直平分线吗？ 为什么？ A

C

P

O D B

完毕语：综观本册书的内容，主要考核的地方是第一章和第五章的内容！其他的都是零散地考一些根底的学问！故复习的重点在 (同学们,你觉得呢？)