定积分的数值计算方法开题报告

信息与计算科学 定积分的数值计算方法

一、选题的背景、意义

在科学与工程计算中，经常要计算定积分

I(f)f(x)dx(ab). （1．1）

ab这个积分的计算似乎很简单，只要求出f的原函数F就可以得出积分（1．1）的值，即

I(f)F(b)F(a). （1．2）

如果原函数F非常简单又便于使用，那么式（1．2）就提供了计算起来最快的积分法．但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分代数函数了；而积分e1xdx可引出对数函数，它已不是

x2dx，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组

合表示的函数．有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（1．2）来计算之前还得三思而行[1]．例如

11x21x2x21 4dxarctan()ln2C （1．3） 2x11x2242xx21采用式（1．3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题．由式（1．3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度．因此可以看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的．因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法

[2]．

通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题．

构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式．但它们的精度较

差．龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分[3]．

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2．1 牛顿-科茨求积公式[4]

2．1．1 公式的一般形式

[4]

将积分（1．1）中的积分区间a,b分成n等分，其节点xk为

1xkakh,h(ba) (k0,1,n对于给定的函数f，在节点xk (k0,1,节点x0,x1,,n)．

,n)上的值f(xk)为已知．那么f在n+1个

,xn上的n次代数插值多项式为

nxxj pn(x)f(xk). k0j0xkxjjknntj如果记xath，则上式可以写为pn(x)f(xk). （2．1）

k0j0kjjkn在积分（1．1）中的被积函数f用其n+1个节点的代数插值多项式pn(x)来代替，可

得 I(f)多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为

baf(x)dxIn(f)pn(x)dx．

abI(f)In(f)Anf(xk)， （2．2）

k0nbanntj(n)其中 Akdt(ba)c, (2．3) k0nj0kjjknn(1)nk(tj)dt. (2．4) k!(nk)!n0j0jk c(n)k公式（2．2）称为牛顿-科茨求积公式或称为等距节点求积公式，Ak称为求积公式系数，

(n)ck称为科茨求积系数．

2．1．2 梯形公式

[5]

在牛顿-科茨公式（2．2）中，取n=1时c0c1 I(f)I1(f)(1)(1)1,所以有 2baf(a)f(b). （2．5） 2公式（2．5）称为梯形公式，如果用连接a,f(a)和b,f(b)的直线来逼近f，并对这线性函数进行积分可得到I1(f)．再用I1(f)来逼近I(f)． 2．1．3 辛普森公式[6]

在牛顿-科茨公式（2．2）中,取n=2，则有 c0212121(t1)(t2)dt, 046124 ct(t2)dt,

206 c2有此得到

2121t(t1)dt, 046I(f)I2(f)habf(a)4f()f(b). （2．6） 32其中h

1(ba)．式（2．6）称为辛普森公式． 22．2 复化求积公式[7]

上面已经给出了计算积分I(f)baf(x)dx的3个基本的求积公式：梯形公式，辛普

森公式，牛顿-科茨公式，并给出了它们误差的表达式．由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度．若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截断误差是该长度的高阶小量．但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证．为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间，I(f)等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式称为复化求积公式．

将积分区间a,b作n等分，并记h2．2．1 复化梯形求积公式[8]

如果需要求出一个已知函数f(x)在一个很大区间a,b上的积分，那么我们可以把区间分成n个长度为xh的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分值相加．于是就得到了计算定积分的复化梯形公式：

bba,xkakh,k0,1,n,n，于是

ahhf(x)dx(fifi1)(f02f12f22i02n12fn1fn) (2．7)

I(f)k0n1xk1xkf(x)dx．

2.2.2 复化辛普森求积公式[9]

对于积分

baf(x)dx，将a,b等分，每个小区间长度hba，节点记为 nxkakh(k0,1,2,,n)，第k个小区间记为xk1,xk(k1,2,,n)．记xk1,xk的

中点为xk121(xk1xk)，则复化辛普森公式为 2b

ahnf(x)dxS(h)f(xk1)4f(x1)f(xk)．

k6k122．3 龙贝格积分[10]

现在要介绍用龙贝格（Romberg）命名的一个算法，龙贝格首先给出了这种算法的递推

形式，假设需要积分

If(x)dx （2．8）

ab的近似值．在讨论过程中函数f(x)和区间a,b将保持不变．

2．3．1 递推梯形法则[10]

设T(n)表示在长度是h(ba)/n的n个子区间上积分I的梯形法则．根据

nbaf(x)dxh''f(aih)，

i0n(ba)n(ba)''f(ai)， （2．9） 我们有 Tnh''f(aih)ni0ni0这里求和符号中的两撇表示和式中第一项和最后一项减半． 2．3．2 龙贝格算法[10]

在龙贝格算法中使用上述公式．设R(n,0)表示具有2个子区间的梯形估计，我们有

n1R(0,0)(ba)f(a)f(b)2 ， （2．10） 2n11R(n,0)R(n1,0)hnf(a(2i1)hn)2i1对于一个适度的M值，计算R(0,0),R(1,0),R(2,0),,R(M,0)，并且其中没有重复的函

数值的计算．在龙贝格算法的其余部分中，还要计算附加值R(n,m)．所有这些都可以被理解为积分I的估计．计算出R(M,0)后，不再需要被积函数f值的计算．根据公式

R(n,m)R(n,m1)1 R(n,m1)R(n1,m1)， （2．11）m41对于n1和m1构造R阵列的各列．

2．4

高斯求积[11]

前面研究的求积公式都是事先确定了n个节点，然后按使求积公式阶数达到最大的原 则选取最佳权．由于自由参数为n个，所以阶数一般为n-1，但如果节点的位置也自由选择，则自由参数的个数将变为2n，因此求积公式的阶数可达到2n-1．高斯求积公式就是通过选择最佳的节点和权，使求积公式的阶数最大化．一般地，对每个n，n点高斯公式都是唯一的，而且阶数为2n-1．因而，对一定的节点个数，高斯求积公式的精度是最高的．但它的求得比牛顿—柯特斯公式要困难得多．虽然它的节点和权也可由待定系数法确定，但得到的方程是非线性的．

2．4．1 高斯求积公式[11]

为说明高斯求积公式，推导区间

11,1上的两点公式

I(f)f(x)dxw1f(x1)w2f(x2)G2(f)，

1其中的节点x1、x2及权w1、w2按使求积公式阶数最大化的原则选取．令公式对前四个单项式精确成立，得力矩方程组

ww11dx2,1211wxw2x2xdx0,111 12222w1x1w2x2xdx,13133w1x1w2x2x3dx0.1这个非线性方程组的一个解为x113,x213,w11,w21,

另一个解可通过改变x1，x2的符号而得到．这样，两点高斯求积公式为

G2(f)f(13)f(13)，阶数为3．

另外，高斯求积公式的节点也可以由正交多项式得到．若p是n次多项式，且满足

bap(x)xkdx0,k0,,n1,则p与a,b区间上所有次数小于n的多项式正交，容易

证明：1． p的n个零点都是实的、单的，且位于开区间(a,b)．

2． 区间a,b上以p的零点为节点的n点插值型求积公式的阶数为2n-1，是唯一的n点高斯公式．

定义2．2[12] 如果n1个节点的求积公式

ba(x)f(x)dxAkf(xk) （2．14）

k0n的代数精度达到2n1，则称式（2．14）为高斯型求积公式，此时称节点xk为高斯点，系数Ak称为高斯系数．

高斯求积公式其最主要的还是研究一些较常用的求积公式，如： 高斯—勒让德（Gauss-Legendre）公式， 高斯—和米特求积公式（Gauss-Hermite）， 高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求积公式．

2．5 拟解决的主要问题 1．总结常用的数值积分方法． 2． 区分各种方法的不同点和优缺点．

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标

1．研究方法及技术路线

本论文主要以查找资料为主，以现有的知识水平，在前人的研究论述基础上，再进行整理．采取了从阅读已有的数据资料，然后对这些内容进行总结，最后运用相关知识来研究定积分的数值计算方法的技术路线． 2．研究难点

（1）．关于定积分的数值计算的方法比较多，每种方法的公式很多，要理清和掌握每个公式

的用处是一个难点．

(2）．数值计算的算法很多，每种算法都有其自己的特点，只知其然不知其所以然是一个难点．

(3)．在前人的基础上，对论题的创新和延伸是一个难点． 3．预期达到的目标

本次毕业论文通过定积分的数值计算方法的研究，熟悉数值积分的基本思想和原理，能了解数值计算的各种方法，掌握每种方法的原理，熟悉各种计算方法的计算公式及其性质．以及它们的误差估计，同时了解如何借用Matlab对数值计算方法进行编程实现．也掌握参考文献资料查找方法和论文写作的基本要求和方法，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，从而达到对所学知识融会贯通的能力．

四、论文详细工作进度和安排

第7学期11周（2010年11月15号）至第7学期12周（2010年11月28号） 查阅文献，收集信息、材料并进行加工整理，形成系统材料．

第7学期13周（2010年11月29号）至第7学期15周（2010年12月19号） 研读文献，完成文献综述、开题报告和外文翻译的初稿．

第7学期16周（2010年12月20号）至第7学期17周（2010年12月31号） 完成文献综述、开题报告和外文翻译，交指导老师．

第7学期18周（2011年1月4号）至第8学期3周（2011年3月11号） 完成论文初稿，并通过审核．

第8学期4周（2011年3月14号）至第8学期10周（2011年4月29号） 1、进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改；

2、5月3日前必须返校，完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告． 第8学期11周（2011年5月3号）至第8学期12周（2011年5月12号） 进一步完善直至完成毕业论文，交指导教师．

第8学期12周（2011年5月13号）至第8学期13周（2011年5月19号） 1、毕业论文评阅，只有通过评审的毕业论文方可参加毕业论文答辩； 2、撰写答辩提纲，制作答辩PPT．

第8学期14周（2011年5月23号）至第8学期15周（2011年6月3日） 完成第一轮论文答辩．

第8学期15周（2011年6月4日）至第8学期16周（2011年6月12日） 1、6月5日至6月10日第二轮答辩；

2、教务处于6月7日至6月12日随机抽取部分毕业论文进行校级答辩．

五、主要参考文献：

[1] 孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初．计算方法与实习（第4版）[M]．南京：东南大学出版社，2009，(2)： 128~129．

[2]Micheal T．Heath． 张威，贺华，冷爱萍译．科学计算导论（第2版）[M]．北京：清华大学出版社，2005，(10)：396~297．

[3]李桂成．计算方法[M]．北京：电子工业出版社，2005，(10)：186．

[4] 现代应用数学手册编委会． 现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M]． 北京：清华大学出版社，2005，(1)： 163~168．

[5] 林成森． 数值计算方法（上）[M]． 北京：科学出版社，2004，(5)： 220~221． [6]冯康．数值计算方法[M]．北京：国防工业出版社，1978，(12)： 45~47．

[7]孙志忠，袁慰平，闻震初．数值分析（第2版）[M]．南京：东南大学出版社，2002，(1)： 191~194． [8] （美）柯蒂斯F．杰拉尔德 帕特里克O．惠特莱． 应用数值分析（第7版）[M]．北京：机械工业出版社，2006，(8)：222~225．

[9]夏爱生，胡宝安，孙利民，夏凌辉．复化Simpson数值求积公式的外推算法[J]．军事交通学院学报．2006，第8卷（第1期）： 66~68．

[10]（美）David Kincaid, Ward Cheney ．王国荣，俞耀明，徐兆亮 译． 数值分析（原书第三版）[M]．北京：机械工业出版社，2005，(9)：400~403．

[11]M．T．Heath． Scientific Computing:An Introductory Survey, Sscond Edition[M]． 清华大学出版社． 英文影印版． 2001，(10)： 351~355．

[12]封建湖，车刚明，聂玉．数值分析原理[M]．北京：科学出版社，2001，(9)：111~114．