2014-2015学年陕西省汉中市汉台中学高一（上）期中数学试卷（A卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）设集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（） A． {2，3} B． {0，1} C． {0，1，4} D．{0，1，2，3，4} 2．（5分）下列函数与函数y=x相等的是（） A． y=logaa（a＞0，a≠1） C． y=
3．（5分）已知函数 A． 1 A． 16
5．（5分）函数
的定义域是（）
B． 2
n
x
B． y=D．
，则f[f（﹣2）]的值为（） C． 4
D．5
），则f（4）的值等于（）
D．
4．（5分）如果幂函数f（x）=x的图象经过点（2，
B． 2
C．
A． [1，+∞） B． （1，+∞） C． （﹣∞，1] D．（﹣∞，1） 6．（5分）设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（） A． （3，1）
7．（5分）下列区间是函数f（x）=1﹣
的递增区间的是（）
B． （，）
C． （，﹣）
D．（1，3）
A． （1，2） B． [1，2] C． （0，+∞） D．（﹣∞，2） 8．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0）上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（） A． （﹣∞，﹣2） B． （2，+∞） C． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D． （﹣2，2）
9．（5分）y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则点M（a，bc）在（）
2
A． 第一象限
B． 第二象限
C． 第三象限
D．第四象限
10．（5分）已知f（x）=
，满足对任意x1≠x2，都有
＞0成立，那么a的取值范围是（）
A． （1，3） B． （1，2] C． [2，3） D．（1，+∞）
二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分，各题答案必须填写在答题卡上，只填结果，不要过程） 11．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，A∪（∁RB）=R，则实数a的取值范围是．
12．（5分）若函数f（x）=x﹣2x，x∈[2，4），则f（x）的值域是．
13．（5分）已知小关系为．
14．（5分）计算0.25﹣lg16﹣2lg5+log23•log34=．
15．（5分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，若f（﹣a+1）＜f（4a+1）成立，则实数a的取值范围是．
三、解答题：（本大题6个小题，共75分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（12分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m＜x＜m+8}． （1）若A⊆B，求实数m的取值范围； （2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
17．（12分）已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，求不等式f（log4x）＞0的解集．
﹣2
2
，则a，b，c的大
18．（12分）某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x
2
﹣0.15x和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？
19．（12分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣2x， （1）求f（﹣2）；
（2）求出函数f（x）在R上的解析式； （3）在坐标系中画出函数f（x）的图象．
2
20．（13分）已知二次函数y=ax+bx+c的图象与y=﹣x+2x+3的形状相同，开口方向相反，与直线y=x﹣2的交点坐标为（1，n）和（m，1）． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）若该函数在（t﹣1，+∞）上为增加的，求实数t的取值范围．
21．（14分）已知函数f（x）=x+，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．
2
2
2014-2015学年陕西省汉中市汉台中学高一（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）设集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（） A． {2，3} B． {0，1} C． {0，1，4} D．{0，1，2，3，4}
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 根据题意和交集的运算直接求出A∩B．
解答： 解：因为集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}， 所以A∩B={2，3}， 故选：A．
点评： 本题考查交集及其运算，属于基础题． 2．（5分）下列函数与函数y=x相等的是（） A． y=logaa（a＞0，a≠1） C． y=
x
B． y=D．
考点： 判断两个函数是否为同一函数． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的两个函数是相等函数，进行判断即可．
x
解答： 解：对于A，y=logaa=x（x∈R），与函数y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；
对于B，y=对于C，y=对于D，y=
=|x|（x∈R），与函数y=x（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数； =x（x≠0），与函数y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；
=x（x≥0），与函数y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数．
故选：A．
点评： 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域和对应关系是否相同，是基础题．
3．（5分）已知函数
，则f[f（﹣2）]的值为（）
A． 1 B． 2 C． 4 D．5
考点： 函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题： 计算题．
分析： ﹣2在x＜0这段上代入这段的解析式，将4代入x≥0段的解析式，求出函数值． 解答： 解：f（﹣2）=4 f[f（﹣2）]=f（4）=4+1=5 故选D
点评： 本题考查求分段函数的函数值：据自变量所属范围，分段代入求．
4．（5分）如果幂函数f（x）=x的图象经过点（2， A． 16
n
），则f（4）的值等于（）
D．
B． 2 C．
考点： 专题： 分析： 解答： 所以所以
幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 函数的性质及应用．
根据已知求出函数的解析式，再求f（4）即可．
n
解：幂函数f（x）=x的图象经过点（2，），
， ，
所以函数解析式为，x≥0，
所以f（4）=2， 故选B．
点评： 本题考察幂函数的解析式，幂函数解析式中只有一个参数，故一个条件即可．
5．（5分）函数
的定义域是（）
A． [1，+∞） B． （1，+∞） C． （﹣∞，1] D．（﹣∞，1）
考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 计算题．
分析： 根据影响函数定义域的因素，分母不为零且被开放式非负，列不等式组，解此不等式组即可求得结果．
解答： 解：要使函数有意义，须1﹣x＞0， 解得x＜1，
∴函数的定义域是（﹣∞，1）．
故选D．
点评： 此题考查函数定义域的求法，注意影响函数定义域的因素：分母不为零，偶次方根非负，对数的真数大于零，同时考查了运算能力，属基础题． 6．（5分）设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（） A． （3，1）
B． （，）
C． （，﹣）
D．（1，3）
考点： 映射．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据映射的定义结合题意可得 x+y=2，x﹣y=1，解得x，y的值，即可求出原像（x，y）
解答： 解：由映射的定义结合题意可得 x+y=2，x﹣y=1，解得 x=，y=， 故像（2，1）的原像是 （，）， 故选B．
点评： 本题主要考查映射的定义，在映射f下，像和原像的定义，属于基础题．
7．（5分）下列区间是函数f（x）=1﹣
的递增区间的是（）
D．（﹣∞，2）
A． （1，2） B． [1，2] C． （0，+∞）
考点： 函数的单调性及单调区间． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据分式函数的性质即可得到结论．
解答： 解：∵函数y=﹣在（0，+∞）上为增函数， ∴将函数y=﹣向右平移1个单位得到y=﹣则函数f（x）=1﹣
，此时函数在（1，+∞）为增函数，
的在（1，+∞）上为增函数，
故区间（1，2）是函数的一个递增区间， 故选：A
点评： 本题主要考查函数单调求解的判断，根据方式函数的单调性的性质是解决本题的关键． 8．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0）上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（） A． （﹣∞，﹣2） B． （2，+∞） C． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D． （﹣2，2）
考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0）上是减函数， ∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0， 作出函数f（x）的草图：
如图：则不等式等价为x＞0时，f（x）＞0，此时x＞2 当x＜0时，f（x）＞0，此时x＜﹣2， 综上不等式的解为x＜﹣2或x＞2， 故不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞2}， 故选：C
点评： 本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
9．（5分）y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则点M（a，bc）在（）
2
A． 第一象限 B． 第二象限
考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．
C． 第三象限 D．第四象限
分析： 根据已知中y=ax+bx+c（a≠0）的图象，分析a，b，c的符号，进而可得M点的位置．
2
解答： 解：∵y=ax+bx+c（a≠0）的图象开口方向朝上， ∴a＞0，
又由对称轴在y轴右侧，故
，
2
∴b＜0，
当x=0时，图象与y轴交点在y轴负半轴上， ∴c＜0， 故bc＞0，
即点M（a，bc）在第一象限， 故选：A．
点评： 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
10．（5分）已知f（x）=
，满足对任意x1≠x2，都有
＞0成立，那么a的取值范围是（）
A． （1，3） B． （1，2] C． [2，3） D．（1，+∞）
考点： 分段函数的应用．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由条件可得，f（x）在R上单调递增，分别考虑各段的单调性，结合一次函数和指数函数的单调性，注意分界点1，解不等式再求交集即可．
解答： 解：对任意x1≠x2，都有
即有f（x）在R上单调递增，
当x＜1，y=（3﹣a）x+1递增，则3﹣a＞0，即a＜3；
x
当x≥1时，y=a递增，即a＞1；
＞0成立，
又有f（x）在R上单调递增，则3﹣a+1≤a，解得，a≥2． 综上，可得，2≤a＜3． 故选C．
点评： 本题考查分段函数的单调性及运用，考查一次函数和指数函数的单调性，注意分界点的情况，属于中档题和易错题．
二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分，各题答案必须填写在答题卡上，只填结果，不要过程） 11．（5分）已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，A∪（∁RB）=R，则实数a的取值范围是{a|a≥2}．
考点： 集合关系中的参数取值问题． 专题： 计算题；探究型．
分析： 先求出集合∁RB，利用A∪（∁RB）=R，确定实数a的取值范围． 解答： 解：∵B={x|1＜x＜2}， ∴∁RB={x|x≥2或x≤1}，
要使A∪（∁RB）=R，则a≥2． 故答案为：{a|a≥2}．
点评： 本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
12．（5分）若函数f（x）=x﹣2x，x∈[2，4），则f（x）的值域是[0，8）．
考点： 二次函数在闭区间上的最值． 专题： 计算题．
分析： 先配方，确定函数在定义域上的单调性，从而可求f（x）的值域．
2
解答： 解：函数f（x）=x﹣2x=（x﹣1）﹣1，
∴函数在区间（﹣∞，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数， ∵x∈[2，4），
∴函数在[2，4）上是增函数， ∵f（2）=0，f（4）=16﹣8=8 ∴f（x）的值域是[0，8） 故答案为：[0，8）
点评： 本题重点考查二次函数在指定区间上的值域问题，解题的关键是配方确定函数在定义域上的单调性．
13．（5分）已知小关系为a=b＞c．
22
，则a，b，c的大
考点： 对数值大小的比较． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用对数的运算法则化简求得 a=＜1，可得a，b，c的大小关系． 解答： 解：∵已知 a=log23+b=log29﹣
=
=
=＞1，
=
＞1，b=
＞1，再根据c=log32
＞1，
c=log32＜1， ∴a=b＞c，
故答案为 a=b＞c．
点评： 本题主要考查对数的运算法则的应用，对数大小的比较，属于基础题．
14．（5分）计算0.25﹣lg16﹣2lg5+log23•log34=16．
考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 直接利用指数与对数的运算法则化简求解即可．
﹣2
解答： 解：0.25﹣lg16﹣2lg5+log23•log34
=16﹣2lg2﹣2lg5+2 =16．
故答案为：16．
点评： 本题考查指数与对数的运算法则，考查计算能力． 15．（5分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，若f（﹣a+1）＜f（4a+1）成立，则实数a的取值范围是
考点： 专题： 分析： 解答：
．
﹣2
函数单调性的性质． 函数的性质及应用．
根据函数单调性的定义进行求解即可．
解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，若f（﹣a+1）＜f（4a+1）成立，
∴满足，
即，
解得＜a＜0，
故答案为：
点评： 本题主要考查不等式的求解，根据函数单调性的性质是解决本题的关键．注意定义域．
三、解答题：（本大题6个小题，共75分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（12分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m＜x＜m+8}． （1）若A⊆B，求实数m的取值范围； （2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
考点： 交集及其运算；集合的包含关系判断及应用． 专题： 集合．
分析： （1）由集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m＜x＜m+8}得：若A⊆B，则实数m的取值范围；
（2）若A∩B=∅，则m+8≤﹣1或m≥2，解得实数m的取值范围． 解答： 解：（1）∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|m＜x＜m+8}． 若A⊆B，则
，解得
解得：m∈[﹣6，﹣1]，
∴实数m的取值范围是[﹣6，﹣1] （2）若A∩B=∅，则m+8≤﹣1或m≥2 即m∈（﹣∞，﹣9]∪[2，+∞）
点评： 本题考查的知识点是集合的交集运算，集合包含关系的判断及应用，其中将已知集合关系转化为关于m的不等式（组），是解答的关键．
17．（12分）已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，求不等式f（log4x）＞0的解集．
考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．
解答： 解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）=f（）=0，…（2分）
又∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，…（4分） ∴f（log4x）＞0等价为f（|log4x|）＞f（）， 即|log4x|＞，
则log4x＞或log4x＜﹣，…（8分） ∴x＞2或0＜x＜．…（10分）
故不等式的解集是 （0，）∪（2，+∞） …（12分）
点评： 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．
18．（12分）某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x
2
﹣0.15x和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？
考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 应用题．
分析： 先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售（15﹣x）辆，再列出总利润y的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可． 解答： 解：设甲地销售x辆，则乙地销售15﹣x辆，0≤x≤15，
22
则该公司能获得的最大利润y=5.06x﹣0.15x+2（15﹣x）=﹣0.15x+3.06x+30， 当x=10.2时，S取最大值
又x必须是整数，故x=10，此时Smax=45.6（万元）．
即甲地销售10辆，则乙地销售5辆时，该公司能获得的最大利润为45.6万元
点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力．
19．（12分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣2x， （1）求f（﹣2）；
（2）求出函数f（x）在R上的解析式； （3）在坐标系中画出函数f（x）的图象．
2
考点： 函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）由题意f（﹣2）=﹣f（2），问题可解；
（2）先求出x≤0时的解析式，然后即可得到函数在定义域上的解析式（分段函数）； （3）根据二次函数图象的画法求解． 解答： 解：（1）由于函数是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数， 因此对任意的x都有f（﹣x）=﹣f（x）
∴f（﹣2）=﹣f（2），而f（2）=2﹣2×2=0，∴f（﹣2）=0； （2）①由于函数f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0； ②当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．
22
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）﹣2（﹣x）]=﹣x﹣2x． 综上：f（x）=（3）图象如下图：
；
2
点评： 本题考查了函数的奇偶性以及二次函数图象的画法，属于基础题，难度不大．
20．（13分）已知二次函数y=ax+bx+c的图象与y=﹣x+2x+3的形状相同，开口方向相反，与直线y=x﹣2的交点坐标为（1，n）和（m，1）． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）若该函数在（t﹣1，+∞）上为增加的，求实数t的取值范围．
考点： 二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法． 专题： 函数的性质及应用．
22
分析： （1）由二次函数y=ax+bx+c的图象与y=﹣x+2x+3的形状相同，开口方向相反，可得a=，又由与直线y=x﹣2的交点坐标为（1，n）和（m，1），代入求出m，n值后，可得b，c的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）由（1）可得该函数的对称轴为x=1，结合该函数在（t﹣1，+∞）上为增函数，可得实数t的取值范围．
解答： 解：（1）∵y=ax+bx+c的图象与y=﹣x+2x+3的形状相同，开口方向相反． ∴a=，
则y=x+bx+c．…（2分）
又（1，n），（m，1）两点均在直线y=x﹣2上， ∴
2
2
2
22
解得：，
即点（1，﹣1）和（3，1）均在所求的抛物线上．…（6分）
∴，
解得
2
∴这个二次函数的解析式为y=x﹣x﹣．…（10分）
（2）∵函数f（x）在（t﹣1，+∞）上为增函数， 且该函数的对称轴为x=1 ∴t﹣1≥1． ∴t≥2．
即实数t的取值范围是[2，+∞）． …（13分）
点评： 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
21．（14分）已知函数f（x）=x+，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．
考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 专题： 证明题；综合法．
分析： （1）函数f（x）=x+，且f（1）=2，由此即可得到参数m的方程，求出参数的值． （2）由（1）知f（x）=x+，故利用函数的奇偶性定义判断其奇偶性即可．
（3）本题做题格式是先判断出单调性，再进行证明，证明函数的单调性一般用定义法证明或者用导数证明，本题采取用定义法证明其单调性． 解答： 解：（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1． （2）f（x）=x+，f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数． （3）函数f（x）=+x在（1，+∞）上为增函数，证明如下 设x1、x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）=x1+
﹣（x2+
）=x1﹣x2+（
﹣
）
=x1﹣x2﹣=（x1﹣x2）
．
当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2﹣1＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2）． ∴函数f（x）=+x在（1，+∞）上为增函数．
点评： 本题考点是函数单调性的判断与证明，主要考查用函数单调性的定义来证明函数单调性的能力，本题中函数解析式是一个分工，在证明时要注意灵活选用方法进行变形，方便判号，定义法证明函数单调性的步骤是：取值、作差变形、定号、判断结论．
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