数 列 求 和(新)

一、主要方法：

q1na1,na1annn11．基本公式法：（1）等差数列：（2）等比数列：Snna1d Sna11qnaaq221n,q11q1qn(n1)1222（3）1234n： （4）12nnn12n1；

262．错位相消法：设an成等差数列，bn成等比数列。则anbn的前n项和可采用此法。 3．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。

4．裂项相消求和：把一个数列的通项拆成两项差的形式已达到求和目的. 常用裂项形式有：

1111111； ②

()；③一般的有：11(11)；

n(n1)nn1n(nk)knnk(2n1)(2n1)22n12n1111111()（d是公差） nkn； ⑤an是等差数列则 ④anan1danan1nknk①

5．倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。

三、典型例题分析：

例1．求下列数列前n项和：

1 15，29，313，…，n4n1； 21，1+3，1+332，…，13323n1；

（3）an(2n1)2 （4）已知：an （5）

（7）Sn

例2.等比数列{an}的首项为a，公比为q，Sn为其前ｎ项和，求S1+S2+S3+…＋Sｎ

1

2462n1116n5(n为奇数)，，…， （7）数列{an}的通项an，求其前2n项和S2n

n2558(3n1)(3n2)(n为偶数)21473n223 n22221例3．设正项等比数列an的首项a1，前n项和为Sn且210S30(2101)S20S100.

2（1）求an的通项； （2）求nSn的前n项和Tn.

例3.已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）bn1*

(nN)，求数列bn的前n项和Tn． 2an1

例4．等差数列{an}中a11，d0，它的第2、5、14项分别是等比数列{bn}的第2、3、4项。 （1）{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对任意正整数n均有

cc1c2nan1成立，求b1b2bna1c1a2c2ancn的值。

四、巩固练习

1．数列an中，a160，且an1an3，则这个数列的前30项的绝对值之和为（ ） A．495 B．765 C．3105 D．120

2．已知等比数列{an}的前三项依次为a1,a1,a4,则an（ ）

323 A．4 B．4 C．4232nnn12 D．43n1

1，则a1a2a2a3anan1=（ ） 43232nnnnA．16（14） B．16（12） C．（14） D．（12）

33aaan4.数列{an}的通项公式为an4n1,令bn12,则数列{bn}的前n项和为（ ）

n3.已知an是等比数列，a22，a5A．n

2 B．n(n2) C．n(n1) D．n(2n1)

5．在50和350之间所有末位数是1的整数之和是

6．设an是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a41, S37,则Sn7．等差数列{an}中，S55，S1015，求数列

8．已知数列{an}是首项a14,公比q1的等比数列, sn是其前n项和,且4a1,a5,2a3成等差数列. (1)求公比q的值; (2)设Ans1s2s3sn,求An.

9．已知数列an是等差数列，且a12,a1a2a312.

（Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）令bnan3n(xR).求数列bn前n项和的公式.

10．已知数列{an}的前n项和Snn2(nN*)，数列{bn}为等比数列，且满足b1a1，2b3b4 （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列{anbn}的前n项和。

Sn的前n项和Tn n11.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1a22(11111)，a3a4a564()

a3a4a5a1a2（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn(an

12)，求数列{bn}的前n项和Tn。 an12.已知数列{an}中，a13,an12an0,数列{bn}中，bnan1n (nN*)． （Ⅰ）求数列{an}通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}通项公式以及前n项的和．

13．数列an中，a18,a42且满足an22an1an nN

*⑴求数列an的通项公式； ⑵设Sn|a1||a2||an|，求Sn；

1(nN*),Tnb1b2bn(nN*)，是否存在最大的整数m，使得对任意nN*，

n(12an)m均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

32⑶设bn=

【例15】已知数列{an}、{bn}满足a11，a23，

bn12(nN*)，bnan1an。 bn（1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列an的通项公式； （3）数列{cn}满足cnlog2(an1)(nN)，求Sn*111。 c1c3c3c5c2n1c2n116.已知an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为an的前n项和. （Ⅰ）求通项an及Sn；

（Ⅱ）设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.

{an}是首项为a111,公比q的等比数列，设 bn23log1an(nN*)，数列{cn}满足cnanbn。44 4 （1）求证：{bn}是等差数列； （2）求数列{cn}的前n项和Sn； （3）若cn12mm1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。 416.设数列{an}的前n项和sn(1)n(2n24n1)1，nNe。

(1)n（1）求数列{an}的通项公式an；(2)记bn，求数列bn前n项和Tn

an