中考数学几何选择填空压轴题精选

中考数学几何选择填空压轴题精选

一．选择题（共13小题） 1．（2013•蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（ ）

①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH=HE•HB．

2

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 2．（2013•连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作

D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（ ）

A． B． C． D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（ ）

A．1个 C． 3个 D． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：

①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S▭DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ）

B． 2个 ①③ ②④ ①④ ②③ A．B． C． D． 5．（2008•荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（ ）

A．5：3 B． 3：5 C． 4：3 D． 3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行

四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（ ）

A． B． C． D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）

6 3 A．B． C． D． 8．（2013•牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②的个数是（ ）

；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=

PC．其中正确

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

9．（2012•黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=

BC；

②S△AEF≤S△ABC；

③S四边形AEDF=AD•EF； ④AD≥EF；

⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 10．（2012•无锡一模）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论 ①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有（ ）

①④⑤ ①②④ ③④⑤ ②③④ A．B． C． D． 11．如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE； ③2OH+DH=BD；④BG=其中正确的结论是（ ）

DG；⑤

．

①②③ ①②④ ①②⑤ ②④⑤ A．B． C． D． 12．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（ ）

①②③ ①②④ ①③④ ①②③④ A．B． C． D． 13．（2013•钦州模拟）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）

10 A． 二．填空题（共16小题）

12 B． 14 C． 16 D．

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，F、G分别是AB、CM的中点，且∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°，则给出以下五个结论：①AB=CM；②A E⊥BC；③∠BMC=90°；④EF=EG；⑤△BMC是等腰直角三角形．上述结论中始终正确的序号有 _________ ．

15．（2012•门头沟区一模）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2…，按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积为S5= _________ ．第n次操作得到△AnBnCn，则△AnBnCn的面积Sn= _________ ．

16．（2009•黑河）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为 _________ ．

17．（2012•通州区二模）如图，在△ABC中，∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； …；∠A2011BC与∠A2011CD的平分线相交于点A2012，得∠A2012，则∠A2012= _________ ．

18．（2009•湖州）如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…Sn．则Sn= _________ S△ABC（用含n的代数式表示）．

19．（2011•丰台区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，点D1是斜边AB的中点，过点D1作D1E1⊥AC于点E1，连接BE1交CD1于点D2；过点D2作D2E2⊥AC于点E2，连接BE2交CD1于点D3；过点D3作D3E3⊥AC于点E3，如此继续，可以依次得到点D4、D5、…、Dn，分别记△BD1E1、△BD2E2、△BD3E3、…、△BDnEn的面积为S1、S2、S3、…Sn．设△ABC的面积是1，则S1= _________ ，Sn= _________ （用含n的代数式表示）．

20．（2013•路北区三模）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 _________ ．

21．如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则CA1= _________ ，= _________ ．

22．（2013•沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn

若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为 _________ ；面积小于2011﹣1为阴影三角形，

的阴影三角形共有 _________ 个．

23．（2010•鲤城区质检）如图，已知点A1（a，1）在直线l：

上，以点A1为圆心，以

为半径画弧，交

x轴于点B1、B2，过点B2作A1B1的平行线交直线l于点A2，在x轴上取一点B3，使得A2B3=A2B2，再过点B3作

A2B2的平行线交直线l于点A3，在x轴上取一点B4，使得A3B4=A3B3，按此规律继续作下去，则①a= _________ ；②△A4B4B5的面积是 _________ ．

24．（2013•松北区二模）如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于 _________ ．

25．（2007•淄川区二模）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于 _________ ．

26．（2009•泰兴市模拟）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3且S1+S3=4S2，则CD= _________ AB．

27．如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形，图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是 _________ 个．

28．（2012•贵港一模）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与

222

CE相交于点Q，若S△APD=15cm，S△BQC=25cm，则阴影部分的面积为 _________ cm．

29．（2012•天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为 _________ ．

30．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围（ ）．

参考答案与试题解析

一．选择题（共13小题） 1．（2013•蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（ ）

①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2

=HE•HB．

A． 1个 B． 2个 C． 3个 解答： 解：作EJ⊥BD于J，连接EF ①∵BE平分∠DBC ∴EC=EJ， ∴△DJE≌△ECF ∴DE=FE ∴∠HEF=45°+22.5°=67.5° ∴∠HFE==22.5° ∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90° ∵DH=HF，OH是△DBF的中位线 ∴OH∥BF ∴OH=BF ②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线， ∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°， ∵CE=CF， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF， ∴∠EBC=∠CDF=22.5°， D． 4个

∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°， ∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF， ∴OH是CD的垂直平分线， ∴DH=CH， ∴∠CDF=∠DCH=22.5°， ∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故②正确； ③∵OH是△BFD的中位线， ∴DG=CG=BC，GH=CF， ∵CE=CF， ∴GH=CF=CE ∵CE＜CG=BC， ∴GH＜BC，故此结论不成立； ④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线， ∴∠DBH=22.5°， 由②知∠HBC=∠CDF=22.5°， ∴∠DBH=∠CDF， ∵∠BHD=∠BHD， ∴△DHE∽△BHD， ∴= ∴DH=HE•HB，故④成立； 所以①②④正确． 故选C．

2．（2013•连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（ ）

A． B． C． 解答： 解：∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴AC==BC=6， ∴S△ABC=AC•BC=6， ∵D1E1⊥AC， ∴D1E1∥BC， ∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等， ∵D1是斜边AB的中点， ∴D1E1=BC，CE1=AC， ∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC； ∴在△ACB中，D2为其重心， ∴D2E1=BE1， ∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC， ∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…； ∴Sn=S△ABC； D．

∴S2013=×6=． 故选C． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（ ）

1个 A．B． 2个 C． 3个 D． 4个 解答： 解：根据BE=AE，∠GBE=∠CAE，∠BEG=∠CEA可判定①△BEG≌△AEC； 用反证法证明②∠GAC≠∠GCA，假设∠GAC=∠GCA，则有△AGC为等腰三角形，F为AC的中点，又BF⊥AC，可证得AB=BC，与题设不符； 由①知△BEG≌△AEC 所以GE=CE 连接ED、四边形ABED为平行四边形， ∵∠ABC=45°，AE⊥BC于点E， ∴∠GED=∠CED=45°， ∴△GED≌△CED， ∴DG=DC； ④设AG为X，则易求出GE=EC=2﹣X 因此，S△AGC=SAEC﹣SGEC=﹣22+x=﹣（x﹣2x） 2=﹣（x﹣2x+1﹣1）=﹣（x﹣1）+，当X取1时，面积最大，所以AG等于1，所以G是AE中点， 故G为AE中点时，GF最长，故此时△AGC的面积有最大值． 故正确的个数有3个． 故选C． 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：

①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S▭DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（ ）

①③ A．B． ②④ C． ①④ D． ②③ 解答： 解：∵DF=BD， ∴∠DFB=∠DBF， ∵AD∥BC，DE=BC， ∴∠DEC=∠DBC=45°， ∴∠DEC=2∠EFB， ∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°， ∴CG=BC=DE， ∵DE=DC， ∴∠DEG=∠DCE， ∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°， ∠DGE=180°﹣（∠BGD+∠EGF）， =180°﹣（∠BGD+∠BGC）， =180°﹣（180°﹣∠DCG）÷2， =180°﹣（180°﹣45°）÷2， =112.5°， ∴∠GHC=∠DGE， ∴△CHG≌△EGD， ∴∠EDG=∠CGB=∠CBF， ∴∠GDH=∠GHD， ∴S△CDG=S▭DHGE． 故选D． 5．（2008•荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（ ）

5：3 A．B． 3：5 C． 4：3 解答： 解：由题意知△BCE绕点C顺时转动了90度， D． 3：4

∴△BCE≌△DCF，∠ECF=∠DFC=90°， ∴CD=BC=5，DF∥CE， ∴∠ECD=∠CDF， ∵∠EMC=∠DMF， ∴△ECM∽△FDM， ∴DM：MC=DF：CE， ∵DF==4， ∴DM：MC=DF：CE=4：3． 故选C． 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（ ）

A． B． C． D． 解答： 解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5， ∴平行四边形ABC1O1的面积为，

∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分， ∴平行四边形ABC2O2的面积为×=…， 依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为． ， 故选B． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）

A．B． 6 C． D． 3 解答： 解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴M′H=M′N′， ∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， ∵AB=4，∠BAC=45°， ∴BH=AB•sin45°=6×=3． ． ∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=3故选C．

8．（2013•牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=

PC．其中正确

的个数是（ ）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 解答： 解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点， ∴PM=BC，PN=BC， ∴PM=PN，正确； ②在△ABM与△ACN中， ∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°， ∴△ABM∽△ACN， ∴，正确； ③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N， ∴∠ABM=∠ACN=30°， 在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°， ∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB， ∴PM=PN=PB=PC， ∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM， ∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°， ∴∠MPN=60°， ∴△PMN是等边三角形，正确； ④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N， D． 4个

∴∠BNC=90°，∠BCN=45°， ∴BN=CN， ∵P为BC边的中点， ∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形 ∴BN=PB=PC，正确． 故选D． 9．（2012•黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=

BC；

②S△AEF≤S△ABC；

③S四边形AEDF=AD•EF； ④AD≥EF；

⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（ ）

1个 A．B． 2个 C． 3个 解答： 解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点， ∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD， ∵∠MDN=90°， ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°， D． 4个

∴∠ADE=∠CDF． 在△AED与△CFD中， ∵， ∴△AED≌△CFD（ASA）， ∴AE=CF， 在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=故①正确； 设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a﹣x． ∵S△AEF=AE•AF=x（a﹣x）=﹣（x﹣a）+a， ∴当x=a时，S△AEF有最大值a， 又∵S△ABC=×a=a， ∴S△AEF≤S△ABC． 故②正确； EF=AE+AF=x+（a﹣x）=2（x﹣a）+a， ∴当x=a时，EF取得最小值a， ∴EF≥而AD=a（等号当且仅当x=a时成立）， a，∴EF≥AD． 22222222222222=BD=BC． 故④错误； 由①的证明知△AED≌△CFD， ∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=AD， ∵EF≥AD， ∴AD•EF≥AD， ∴AD•EF＞S四边形AEDF 22

故③错误； 当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分． 故⑤正确． 综上所述，正确的有：①②⑤，共3个． 故选C． 10．（2012•无锡一模）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论 ①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有（ ）

①④⑤ A．B． ①②④ 解答： 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠GAD=∠ADO=45°， 由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°， 故①正确． ∵tan∠AED=， C． ③④⑤ D． ②③④ 由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°， ∴AE=EF＜BE， ∴AE＜AB， ∴tan∠AED=＞2，

故②错误． ∵∠AOB=90°， ∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高， ∴S△AGD＞S△OGD， 故③错误． ∵∠EFD=∠AOF=90°， ∴EF∥AC， ∴∠FEG=∠AGE， ∵∠AGE=∠FGE， ∴∠FEG=∠FGE， ∴EF=GF， ∵AE=EF， ∴AE=GF， 故④正确． ∵AE=EF=GF，AG=GF， ∴AE=EF=GF=AG， ∴四边形AEFG是菱形， ∴∠OGF=∠OAB=45°， ∴EF=GF=OG， ∴BE=EF=×OG=2OG． 故⑤正确． ∴其中正确结论的序号是：①④⑤． 故选：A． 11．如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE； ③2OH+DH=BD；④BG=其中正确的结论是（ ）

DG；⑤

．

①②③ A．B． ①②④ C． ①②⑤ D． ②④⑤ 解答： 解：①由∠ABC=90°，△BEC为等边三角形，△ABE为等腰三角形，∠AEB+∠BEC+∠CEH=180°，可求得∠CEH=45°，此结论正确； ②由△EGD≌△DFE，EF=GD，再由△HDE为等腰三角形，∠DEH=30°，得出△HGF为等腰三角形，∠HFG=30°，可求得GF∥DE，此结论正确； ③由图可知2（OH+HD）=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确； ④如图，过点G作GM⊥CD垂足为M，GN⊥BC垂足为N，设GM=x，则GN=x，进一步利用勾股定理求得GD=x，BG=x，得出BG=GD，此结论不正确； ⑤由图可知△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，由④可知△BCE的高为（x+x）和△BCG的高为x，因此S△BCE：S△BCG=（x+x）：x=，此结论正确； 故正确的结论有①②⑤． 故选C． 12．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（ ）

A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ 解答： 解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L， ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB=∠CDF=45°． ∵AD=CD，DF=DF， ∴△ADF≌△CDF． ∴FC=AF，∠ECF=∠DAF． ∵∠ALH+∠LAF=90°， ∴∠LHC+∠DAF=90°． ∵∠ECF=∠DAF， ∴∠FHC=∠FCH， ∴FH=FC． ∴FH=AF． （2）∵FH⊥AE，FH=AF， ∴∠HAE=45°． （3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA， ∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH， ∴∠AFO=∠GHF． ∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°， ∴△AOF≌△FGH． ∴OA=GF． ∵BD=2OA， ∴BD=2FG． （4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，D． ①②③④

根据△MEC≌△CIM，可得：CE=IM， 同理，可得：AL=HE， ∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8． ∴△CEH的周长为8，为定值． 故（1）（2）（3）（4）结论都正确． 故选D． 13．（2013•钦州模拟）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）

10 A．B． 12 C． 14 解答： 解：如图，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK， 在梯形GDBE中，S△DGE=S△GEB（同底等高的两三角形面积相等）， 同理S△GKE=S△GFE． ∴S阴影=S△DGE+S△GKE， =S△GEB+S△GEF， =S正方形GBEF， =4×4 =16 故选D． D． 16 二．填空题（共16小题） 14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，F、G分别是AB、CM的中点，且∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°，则给出以下五个结论：①AB=CM；②A E⊥BC；③∠BMC=90°；④EF=EG；⑤△BMC是等腰直角三角形．上述结论中始终正确的序号有 ①②④ ．

解答： 解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD， ∴AE⊥BC，即②正确． ∵∠MBE=45°， ∴BE=ME．

在△ABE与△CME中， ∵∠BAE=∠MCE，∠AEB=∠CEM=90°，BE=ME， ∴△ABE≌△CME， ∴AB=CM，即①正确． ∵∠MCE=∠BAE=90°﹣∠ABE＜90°﹣∠MBE=45°， ∴∠MCE+∠MBC＜90°， ∴∠BMC＞90°，即③⑤错误． ∵∠AEB=∠CEM=90°，F、G分别是AB、CM的中点， ∴EF=AB，EG=CM． 又∵AB=CM， ∴EF=EG，即④正确． 故正确的是①②④． 15．（2012•门头沟区一模）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2…，按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积为S5=

n

2476099 ．第n次操作得到△AnBnCn，则△AnBnCn的面积Sn= 19 ．

解答： 解：连接A1C； S△AA1C=3S△ABC=3， S△AA1C1=2S△AA1C=6， 所以S△A1B1C1=6×3+1=19； 同理得S△A2B2C2=19×19=361； S△A3B3C3=361×19=6859， S△A4B4C4=6859×19=130321， S△A5B5C5=130321×19=2476099， 从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到△AnBnCn， nnn则其面积Sn=19•S1=19故答案是：2476099；19．

16．（2009•黑河）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱

n﹣1

形的边长为 （） ．

解答： 解：连接DB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB．AC⊥DB， ∵∠DAB=60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴DB=AD=1， ∴BM=， ∴AM==， ∴AC=， 2同理可得AC1=AC=（），AC2=按此规律所作的第n个菱形的边长为（n﹣1故答案为（）． AC1=3n﹣1） =（）， 3

17．（2012•通州区二模）如图，在△ABC中，∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； …；∠A2011BC与∠A2011CD的平分线相交于点A2012，得∠A2012，则∠A2012=

．

解答： 解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD， ∴∠A1+∠A1BC=∠A1+∠ABC=（∠A+∠ABC）， 整理得，∠A1=∠A=， =， 同理可得，∠A2=∠A1=×…， ∠A2012=故答案为：． ．

18．（2009•湖州）如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…Sn．则Sn= S△ABC（用含n的代数式表示）．

解答： 解：易知D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，以此类推； 根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1=BC，CE1=AC，S1=∴在△ACB中，D2为其重心， ∴D2E1=BE1， ∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=S△ABC， S△ABC； ∵D2E2：D1E1=2：3，D1E1：BC=1：2， ∴BC：D2E2=2D1E1：D1E1=3， ∴CD3：CD2=D3E3：D2E2=CE3：CE2=3：4， ∴D3E3=D2E2=×BC=BC，CE3=CE2=×AC=AC，S3=∴Sn=S△ABC． S△ABC…；

19．（2011•丰台区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，点D1是斜边AB的中点，过点D1作D1E1⊥AC于点E1，连接BE1交CD1于点D2；过点D2作D2E2⊥AC于点E2，连接BE2交CD1于点D3；过点D3作D3E3⊥AC于点E3，如此继续，可以依次得到点D4、D5、…、Dn，分别记△BD1E1、△BD2E2、△BD3E3、…、△BDnEn的面积为S1、S2、S3、…Sn．设△ABC的面积是1，则S1=

，Sn=

（用含n的代数式表示）．

解答： 解：易知D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，以此类推； ∴S1=S△D1E1A=S△ABC， 根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1=BC，CE1=AC，S1=∴在△ACB中，D2为其重心， 又D1E1为三角形的中位线，∴D1E1∥BC， ∴△D2D1E1∽△CD2B，且相似比为1：2， 即=， S△ABC； ∴D2E1=BE1， ∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=∴D3E3=BC，CE3=AC，S3=∴Sn=S△ABC． S△ABC， S△ABC…；

故答案为：，． 20．（2013•路北区三模）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 2.4 ．

解答： 解：∵四边形AFPE是矩形 ∴AM=AP，AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短 ∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CAB ∴AP：AC=AB：BC ∴AP：8=6：10 ∴AP最短时，AP=4.8 ∴当AM最短时，AM=AP÷2=2.4． 点评： 解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似求解． 21．如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则CA1=

，

=

．

解答： 解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，

∴AB=， 又因为CA1⊥AB， ∴AB•CA1=AC•BC， 即CA1===． ∵C4A5⊥AB， ∴△BA5C4∽△BCA， ∴， ∴==． 所以应填和． 22．（2013•沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn

﹣1

为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为

；面积小于2011的阴

影三角形共有 6 个．

解答： 解：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3， ∴==，==， 又∵A1B1∥A2B2∥A3B3，

∴===，==， ∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3 继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4… 又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4， ∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2， 继而可推出S△A3B3A4=8，S△A，4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048， 故可得小于2011的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个． 故答案是：；6． 23．（2010•鲤城区质检）如图，已知点A1（a，1）在直线l：

上，以点A1为圆心，以

为半径画弧，交

x轴于点B1、B2，过点B2作A1B1的平行线交直线l于点A2，在x轴上取一点B3，使得A2B3=A2B2，再过点B3作A2B2的平行线交直线l于点A3，在x轴上取一点B4，使得A3B4=A3B3，按此规律继续作下去，则①a= ；②△A4B4B5的面积是

．

解答： 解：如图所示： ①将点A1（a，1）代入直线1中，可得所以a=． =； ， ②△A1B1B2的面积为：S=

因为△OA1B1∽△OA2B2，所以2A1B1=A2B2，又因为两线段平行，可知△A1B1B2∽△A2B2B3，所以△A2B2B3的面积为S1=4S； 以此类推，△A4B4B5的面积等于64S=． 24．（2013•松北区二模）如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于 16 ．

解答： 解：如图，过O点作OG垂直AC，G点是垂足． ∵∠BAC=∠BOC=90°， ∴ABCO四点共圆， ∴∠OAG=∠OBC=45° ∴△AGO是等腰直角三角形， ∴2AG=2GO=AO=222=72， ∴OG=AG=6， ∵∠BAH=∠0GH=90°，∠AHB=∠OHG， ∴△ABH∽△GOH， ∴AB/OG=AH/（AG﹣AH）， ∵AB=4，OG=AG=6， ∴AH=2.4 在直角△OHC中，∵HG=AG﹣AH=6﹣2.4=3.6，OG又是斜边HC上的高， 2∴OG=HG×GC，

而OG=6，GH=3.6， ∴GC=10． ∴AC=AG+GC=6+10=16． 故AC边的长是16． 25．（2007•淄川区二模）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于

．

解答： 解：∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠HEF=90°， 同理四边形EFGH的其它内角都是90°， ∴四边形EFGH是矩形． ∴EH=FG（矩形的对边相等）； 又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°， ∴∠1=∠5（等量代换）， 同理∠5=∠7=∠8， ∴∠1=∠8， ∴Rt△AHE≌Rt△CFG， ∴AH=CF=FN， 又∵HD=HN， ∴AD=HF， 在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得HF=，

∴HF=5， 又∵HE•EF=HF•EM， ∴EM=， 又∵AE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上）， ∴AB=2EM=， =． ∴AD：AB=5：故答案为：． 26．（2009•泰兴市模拟）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3且S1+S3=4S2，则CD= 3 AB．

解答： 解：∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形， 其面积分别是S1、S2、S3， ∴S1=，S2=，S3= ∵S1+S3=4S2， 222∴AD+BC=4AB 过点B作BK∥AD交CD于点K， ∵AB∥CD ∴AB=DK，AD=BK，∠BKC=∠ADC ∵∠ADC+∠BCD=90° ∴∠BKC+∠BCD=90°

∴BK+BC=CK 222∴AD+BC=CK 22∴CK=4AB ∴CK=2AB ∴CD=3AB． 222 27．如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形，图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是 91 个．

22解答： 解：观察图形，发现规律：图1中有1个菱形，图2中有1+2=5个菱形，图3中有5+3=14个菱形，图4中222有14+4=30个菱形，则第5个图中菱形的个数是30+5=55，第6个图中菱形的个数是55+6=91个． 故答案为91． 28．（2012•贵港一模）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与

222

CE相交于点Q，若S△APD=15cm，S△BQC=25cm，则阴影部分的面积为 40 cm．

解答： 解：如图，连接EF ∵△ADF与△DEF同底等高， ∴S△ADF=S△DEF 即S△ADF﹣S△DPF=S△DEF﹣S△DPF， 2即S△APD=S△EPF=15cm， 2同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm， 2∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=15+25=40cm． 故答案为40．

29．（2012•天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为 ．

解答： 解：连接AE，BE，DF，CF． ∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1， ∴AB=AE=BE， ∴△AEB是等边三角形， ∴边AB上的高线为EN=， 延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线， 则EM=1﹣EN=1﹣∴NF=EM=1﹣， ﹣1． ， ∴EF=1﹣EM﹣NF=故答案为﹣1．

30．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．

解答： 解：连接AC． ∵AB=2，BC=4， 在△ABC中，根据三角形的三边关系，4﹣2＜AC＜2+4，即2＜AC＜6． ∴﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13， 在△ACD中，根据三角形的三边关系，得CD﹣AC＜AD＜CD+AC， ∴1＜AD＜13． 故AD的取值范围是1＜AD＜13．