2020-2021学年辽宁抚顺九年级上数学月考试卷
一、选择题
1. 下列方程中，是一元二次方程的是( ) A.𝑥2=0 B.𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎,𝑏,𝑐均为常数） C.𝑥2+𝑦=5 D.𝑥+2
𝑥2+1=0
2. 如图，抛物线顶点坐标是𝑃(1, −3)，则函数𝑦随自变量𝑥的增大而减小的𝑥的取值范围是( )
A.𝑥<3 B.𝑥>3
C.𝑥<1
D.𝑥>1
3. 下面𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到( )
A. B. C. D.
4. 已知𝑚是方程𝑥2+𝑥−1=0的根，则式子2𝑚2
+2𝑚+2020的值为( ) A.2019 B.2020
C.2021
D.2022
5. 图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在𝑙时，拱顶（拱桥洞的最高点）高水面2𝑚，水面宽4𝑚．如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( )
第1页 共26页
A.𝑦=−2𝑥2 B.𝑦=2𝑥2
C.𝑦=1
21
2𝑥
D.𝑦=−2𝑥2
6. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是( )
A. 风凰卫视 B. 阜阳电视台
C. 福建东南电视台 D. 东方卫视
7. 将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1𝑚的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15𝑚3的无盖长方体水箱.已经矩形铁皮的长比宽多2𝑚．求该矩形铁皮的长和宽各是多少𝑚？若设该矩形铁皮的宽是𝑥𝑚，则根据题意可得方程为( ) A.(𝑥+2)(𝑥−2)×1=15 B.𝑥(𝑥−2)×1=15
C.𝑥(𝑥+2)×1=15 D.(𝑥+4)(𝑥−2)×1=15
8. 在同一坐标系中，一次函数𝑦=𝑎𝑥+2与二次函数𝑦=𝑥2+𝑎的图象可能是( )
A. B.
C.
D.
9. 如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如𝐴点为(5, 1)，若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是( )
第2页 共26页
◎
如图，甲图怎样变成乙图：________ ．
A.黑(1, 5)，白(5, 5) C.黑(3, 3)，白(3, 1)
10. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中， ∠𝐵=90∘,𝐴𝐵=4𝑐𝑚，𝐵𝐶=6𝑐𝑚，动点𝑃从点𝐴开始沿边𝐴𝐵向𝐵以1𝑐𝑚/𝑠的速度移动（不与点𝐵重合），动点𝑄从点𝐵开始沿边𝐵𝐶向𝐶以2𝑐𝑚/𝑠的速度移动（不与点𝐶重合）．如果𝑃，𝑄分别从𝐴，𝐵同时出发，当四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积最小时，经过的时间为( )
B.黑(3, 2)，白(3, 3) D.黑(3, 1)，白(3, 3)
若关于𝑥的一元二次方程𝑚𝑥2+2𝑥+1=0没有实数根，那么𝑚的取值范围是________.
如图，可以看作是一个基础图形绕着中心旋转7次而生成的，则每次旋转的度数是________．
要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，则应邀请________个球队参加比赛.
如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数𝑦=3𝑥2与𝑦=−3𝑥2
A.1𝑠 二、填空题
方程𝑥(𝑥−5)=0化成一般形式后，它的常数项是________.
抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象如图所示，则𝑎的取值范围是________.
在如图所示的平面直角坐标系中，△𝑂𝐴1𝐵1是边长为2的等边三角形，点𝐴1(1,√3)．作△𝐵2𝐴2𝐵1与△𝑂𝐴1𝐵1关于点𝐵1成中心对称，再作△𝐵2𝐴3𝐵3与△𝐵2𝐴2𝐵1关于点𝐵2成中心对称，如此作下去，则△𝐵2𝑛𝐴2𝑛+1𝐵2𝑛+1（𝑛是正整数）的顶点𝐴2𝑛+1的坐标是________．
B.2𝑠
C.3𝑠
D.4𝑠
的图象，则阴影部分的面积是________．
1
1
第3页 共26页 ◎ 第4页 共26页
三、解答题
用适当的方法解一元二次方程． (1)3𝑥(2𝑥+1)=4𝑥+2
(2)𝑥(𝑥+1)−6=2(0.5𝑥−1)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)求水管的长度；
(3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为1.5𝑚的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？
随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2017年底全市汽车拥有量为75万辆，而截止到2019年底，全市的汽车拥有量已达108万辆．
(1)求2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
(1)请写出点𝐴，点𝐵，点𝐶的坐标；
(2)将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时针旋转90∘，画出旋转后的△𝐴𝐵1𝐶1，并写出点𝐵1的坐标；
(3)△𝐴𝑂𝐶1与△𝐴1𝑂𝐶2关于原点𝑂成中心对称，在图中画出△𝐴1𝑂𝐶2，并写出点𝐶2的坐标；
(4)△𝐴1𝑂𝐶2可以看作由△𝐴𝐵𝐶绕某一点旋转得到，请写出旋转中心𝑃点的坐标．
要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管，在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1𝑚 处达到最高，且最高为3𝑚，水柱落地处离广场中央3𝑚，建立如图所示的直角坐标系．
(2)连接𝐺𝐵、𝐺𝐶，如图2，当𝐺𝐶=𝐺𝐵时，请求出旋转角𝛼的值．
(2)为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2020年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2020年底全市汽车拥有量不超过110.2万辆；另据估计，该市2020年报废的汽车数量是2019年底汽车拥有量的10%．请你计算出该市2020年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．
将矩形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐴顺时针旋转𝛼∘(0<𝛼<180)，得到矩形𝐴𝐸𝐹𝐺． (1)如图1，当点𝐸在𝐵𝐷上时．求证： 𝐹𝐷=𝐶𝐷;
第5页 共26页 ◎ 第6页 共26页
目前，我国部分地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，决定代理销售某种家用空气净化器．已知这种空气净化器的进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台． (1)试确定月销售量𝑦（台）与售价𝑥（元/台）之间的函数关系式；
(2)若物价部门规定这种空气净化器的售价不能低于300元/台，也不能高于400元/台，若代理销售商每月要完成450台的销售任务，售价𝑥应定为多少元/台？
(3)当售价𝑥（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润𝑊（元）最大？
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴沿顺时针方向旋转得△𝐴𝐵1𝐶1，使点𝐶1落在直线𝐵𝐶上（点𝐶1与点𝐶不重合）， (1)如图1，当∠𝐶>60∘时，写出边𝐴𝐵1与边𝐶𝐵的位置关系，并加以证明；
(1)点𝐵的坐标________；顶点𝐷的坐标________；抛物线的解析式________；
(2)点𝑃是抛物线上一动点，是否存在一点𝑃，使△𝑃𝐴𝐵的面积是△𝐴𝐵𝐶面积的3？若存在，请求出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，把抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线𝑙
①请直接写出𝑙的解析式：
②点𝐸是点𝐶关于直线𝑥=−2的对称点，抛物线𝑙与直线𝑥=−2交于点𝐹，连结𝑂𝐷，𝐷𝐸，𝐸𝐹，𝑂𝐹，请直接写出点𝐸的坐标及四边形𝑂𝐷𝐸𝐹的形状．
1
如图1，已知抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与𝑥轴交于点𝐴(−1,0) ，点𝐵，与𝑦轴交于点𝐶，抛物线的顶点为点𝐷，其对称轴为直线𝑥=−2，与𝑥轴交于点𝐺．
(2)当∠𝐶=60∘时，写出边𝐴𝐵1与边𝐶𝐵的位置关系（不要求证明）；
(3)如图2，当∠𝐶<60∘时，请你猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
第7页 共26页 ◎ 第8页 共26页
参考答案与试题解析
2020-2021学年辽宁抚顺九年级上数学月考试卷
一、选择题 1.
【答案】 A
【考点】
一元二次方程的定义 【解析】
利用一元二次方程的定义，逐个判断即可. 【解答】
解：根据一元二次方程的定义可知：
形如𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0，其中𝑎，𝑏，𝑐为常数，且𝑎≠0. A，𝑥2=0是一元二次方程，故A正确；
B，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0，当𝑎=0时，𝑏𝑥+𝑐=0， 此时不是一元二次方程，故B错误； C，𝑥2+𝑦=5中包含另一个未知数𝑦， 故不是一元二次方程，故C错误； D，𝑥+2
𝑥2+1=0，分母中含未知数𝑥， 故不是一元二次方程，故D错误. 故选A. 2. 【答案】 C
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 【解析】
由图可知，图象在对称轴的左侧时，函数𝑦随自变量𝑥的增大而减小，由已知求出函数的对称轴为𝑥＝1即可．【解答】
解：由图可知，图象在对称轴的左侧时， 函数𝑦随自变量𝑥的增大而减小， ∵ 函数的对称轴𝑥=1，
∴ 𝑥<1时，函数𝑦随自变量𝑥的增大而减小. 故选𝐶. 3.
【答案】 B
【考点】
生活中的旋转现象 【解析】
根据旋转的性质旋转变化前后，图形的相对位置不变，注意时针与分针的位置关系，分析选项易得答案． 【解答】
第9页 共26页 解：根据旋转的性质，
图案①顺时针旋转90∘得到𝐵. 故选𝐵． 4.
【答案】 D
【考点】 列代数式求值 一元二次方程的解
【解析】
直接整体代换求值即可. 【解答】
解：由题意得：𝑚2+𝑚−1=0，
所以2𝑚2+2𝑚+2020=2(𝑚2+𝑚−1)+2022=2022. 故选D. 5.
【答案】 D
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式 【解析】
由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为𝑦轴，可设此函数解析式为：𝑦=𝑎𝑥2，利用待定系数法求解． 【解答】
解：设此函数解析式为：𝑦=𝑎𝑥2，𝑎≠0； 那么(2, −2)应在此函数解析式上． 则−2=4𝑎， 即得𝑎=−1
2，
那么𝑦=−1
22𝑥． 故选𝐷． 6.
【答案】 A
【考点】 中心对称图形 【解析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】
解：中心对称图形的定义：
在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180∘，
旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 𝐴，是中心对称图形，故𝐴选项正确；
◎ 第10页 共26页
𝐵，不是中心对称图形，故𝐵选项错误； 𝐶，不是中心对称图形，故𝐶选项错误； 𝐷，不是中心对称图形，故𝐷选项错误. 故选𝐴. 7.
【答案】 B
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程 【解析】
表示出长方体水箱底面的宽为(𝑥−2)𝑚，则长为𝑥𝑚，进而得到容积为𝑥(𝑥−2)，由围成一个容积为15𝑚3的无盖长方体箱子，列方程即可． 【解答】
解：设该矩形铁皮的宽是𝑥，
则长方体水箱底面的宽为(𝑥−2)，长为𝑥， 容积为𝑥(𝑥−2)×1=15. 故选𝐵. 8.
【答案】 C
【考点】
二次函数的图象 【解析】
根据二次函数𝑦=𝑥2+𝑎得抛物线开口向上，排除𝐵，根据一次函数𝑦=𝑎𝑥+2，得直线与𝑦轴的正半轴相交，排除𝐴；根据抛物线得𝑎<0，故排除𝐶． 【解答】
解：∵ 二次函数𝑦=𝑥2+𝑎， ∴ 抛物线开口向上， ∴ 排除𝐷；
∵ 一次函数𝑦=𝑎𝑥+2， ∴ 直线与𝑦轴的正半轴相交， ∴ 排除𝐵；
∵ 𝐴,𝐶中由抛物线得𝑎<0， ∴ 排除𝐴. 故选𝐶． 9.
【答案】 D
【考点】 中心对称图形 轴对称的性质
【解析】
利用轴对称图形以及中性对称图形的性质进而得出符合题意的答案． 【解答】
解：如图所示：黑(3, 1)，白(3, 3)．
故选𝐷． 10.
【答案】 B
【考点】 动点问题 三角形的面积 二次函数的应用
【解析】
根据等量关系“四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积=三角形𝐴𝐵𝐶的面积-三角形𝑃𝐵𝑄的面积”列出函数关系求最小值． 【解答】
解：设𝑃、𝑄同时出发后经过的时间为𝑡，
四边形𝐴𝑃𝑂𝐶的面积为𝑆则有：𝑆=𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝑃𝐵𝑄 11
×6×4−×2𝑡×(4−𝑡) 22=𝑡2−4𝑡+12
=(𝑡−2)2+8>0，
所以当𝑡=2𝑠时，𝑆取得最小值． 故选𝐵.
二、填空题 =
【答案】 0
【考点】
一元二次方程的一般形式 【解析】
根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题． 【解答】
解：∵ 𝑥(𝑥−5)=0， ∴ 𝑥2−5𝑥=0，
∴ 方程𝑥(𝑥−5)=0化成一般形式后， 它的常数项是0. 故答案为：0. 【答案】 𝑎<0
第11页 共26页 ◎ 第12页 共26页
【考点】
二次函数图象与系数的关系 【解析】
根据抛物线开口向下，即可得. 【解答】
解：由图象可知，抛物线开口向下，则𝑎<0． 故答案为：𝑎<0． 【答案】
甲图绕点𝐵逆时针旋转30∘ 【考点】
作图-旋转变换 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：由题意得：将甲图绕点𝐵逆时针旋转30∘，就能得到乙图．故答案为：甲图绕点𝐵逆时针旋转30∘. 【答案】 𝑚>1 【考点】 根的判别式
一元二次方程的定义
【解析】
根据判别式的意义得到22−2𝑚<0，然后解不等式即可． 【解答】
解：根据题意得{𝛥=22−4𝑚<0，𝑚≠0，
解得𝑚>1.
故答案为：𝑚>1. 【答案】 45∘
【考点】 旋转对称图形 【解析】
根据旋转的性质并结合一个周角是360∘求解． 【解答】
解：∵ 如图是一个基础图形绕着中心旋转7次而生成的， ∴ 一个周角由8个相等大小的角构成， ∵ 一个周角是360∘， ∴ 每次旋转的度数是：360∘∘8
=45．
故答案为：45∘． 【答案】 6
【考点】
第13页 共26页一元二次方程的应用——其他问题 由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
设邀请𝑥个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打(𝑥−1)场球，第二个球队和其他球队打(𝑥−2)场，以此类推可以知道共打(1+2+3+...+𝑥−1)场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 【解答】
解：设邀请𝑥个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+...+𝑥−1=15， 即
𝑥(𝑥−1)2
=15，
∴ 𝑥2−𝑥−30=0，
∴ 𝑥=6或𝑥=−5（不合题意，舍去）． 故答案为：6. 【答案】 8
【考点】
二次函数的图象 二次函数综合题
【解析】
根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【解答】
解：∵ 函数𝑦=1
1
3𝑥2与𝑦=−23𝑥的图象关于𝑥轴对称， ∴ 图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 故答案为：8． 【答案】 (4𝑛+1, √3) 【考点】 中心对称
坐标与图形性质 【解析】
首先根据△𝑂𝐴1𝐵1是边长为2的等边三角形，可得𝐴1的坐标为(1, √3)，𝐵1的坐标为(2, 0)；然后根据中心对称的性质，分别求出点𝐴2、𝐴3、𝐴4的坐标各是多少；最后总结出𝐴𝑛的坐标的规律，求出𝐴2𝑛+1的坐标是多少即可． 【解答】
解：∵ △𝑂𝐴1𝐵1是边长为2的等边三角形， ∴ 𝐴1的坐标为(1, √3)，𝐵1的坐标为(2, 0)， ∵ △𝐵2𝐴2𝐵1与△𝑂𝐴1𝐵1关于点𝐵1成中心对称， ∴ 点𝐴2与点𝐴1关于点𝐵1成中心对称， ∵ 2×2−1=3，2×0−√3=−√3， ∴ 点𝐴2的坐标是(3, −√3)，
第14页 共26页
◎
∵ △𝐵2𝐴3𝐵3与△𝐵2𝐴2𝐵1关于点𝐵2成中心对称， ∴ 点𝐴3与点𝐴2关于点𝐵2成中心对称，
∵ 2×4−3=5，2×0−(−√3)=√3， ∴ 点𝐴3的坐标是(5, √3)，
∵ △𝐵3𝐴4𝐵4与△𝐵3𝐴3𝐵2关于点𝐵3成中心对称， ∴ 点𝐴4与点𝐴3关于点𝐵3成中心对称，
∵ 2×6−5=7，2×0−√3=−√3， ∴ 点𝐴4的坐标是(7, −√3)， …，
∵ 1=2×1−1，3=2×2−1，5=2×3−1，7=2×3−1，…， ∴ 𝐴𝑛的横坐标是2𝑛−1，𝐴2𝑛+1的横坐标是2(2𝑛+1)−1=4𝑛+1， ∵ 当𝑛为奇数时，𝐴𝑛的纵坐标是√3，当𝑛为偶数时，𝐴𝑛的纵坐标是−√3，∴ 顶点𝐴2𝑛+1的纵坐标是√3，
∴ △𝐵2𝑛𝐴2𝑛+1𝐵2𝑛+1（𝑛是正整数）的顶点𝐴2𝑛+1的坐标是(4𝑛+1, √3)．故答案为：(4𝑛+1, √3)． 三、解答题
【答案】
解：(1)移项得，3𝑥(2𝑥+1)−2(2𝑥+1)=0， 因式分解得，(2𝑥+1)(3𝑥−2)=0， 于是，得2𝑥+1=0或3𝑥−2=0， 𝑥1=−1
2
2，𝑥2=−3. (2)去括号，得𝑥2+𝑥−6=𝑥−2， 移项，合并同类项，得𝑥2−4=0， 因式分解，得(𝑥+2)(𝑥−2)=0， 于是，得𝑥+2=0，𝑥−2=0， 𝑥1=2，𝑥2=−2.
【考点】
解一元二次方程-因式分解法 【解析】 暂无 暂无
【解答】
解：(1)移项得，3𝑥(2𝑥+1)−2(2𝑥+1)=0， 因式分解得，(2𝑥+1)(3𝑥−2)=0， 于是，得2𝑥+1=0或3𝑥−2=0， 𝑥1=−1
2
2
，𝑥2=−3
. (2)去括号，得𝑥2+𝑥−6=𝑥−2， 移项，合并同类项，得𝑥2−4=0， 因式分解，得(𝑥+2)(𝑥−2)=0， 于是，得𝑥+2=0，𝑥−2=0， 𝑥1=2，𝑥2=−2. 【答案】
第15页 共26页解：(1)由图可知，∵ 每个小正方形的边长均为1， ∴ 𝐴(4,0)，𝐵(4,4)，𝐶(2,4).
(2)如图：△𝐴𝐵1𝐶1即为旋转后的图形， 由图可知：𝐵1(0,0).
(3)如图，△𝐴1𝑂𝐶2即为△𝐴𝑂𝐶1关于原点的对称图形， 由图可知：𝐶2(0,2). (4)由旋转可知，如图：
旋转中心即为𝑃(0,4). 【考点】
网格中点的坐标 作图-旋转变换 坐标与图形变化-旋转 中心对称
【解析】
(1)直接由图写出坐标即可；
(2)直接作出图形，再确定点的坐标即可； (3)直接作出图形，写出坐标即可； (4)利用图形特征，确定旋转点即可.
【解答】
解：(1)由图可知，∵ 每个小正方形的边长均为1， ∴ 𝐴(4,0)，𝐵(4,4)，𝐶(2,4).
(2)如图：△𝐴𝐵1𝐶1即为旋转后的图形， 由图可知：𝐵1(0,0).
(3)如图，△𝐴1𝑂𝐶2即为△𝐴𝑂𝐶1关于原点的对称图形， 由图可知：𝐶2(0,2). (4)由旋转可知，如图：
第16页 共26页
◎
旋转中心即为𝑃(0,4).
【答案】
解：(1)设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−1)2+3，∵ 点(3,0)在此抛物线上， ∴ 0=𝑎(3−1)2+3， 解得𝑎=−3
4，
∴ 抛物线的解析式为：
𝑦=−3
3
3
9
4(𝑥−1)2+3=−4𝑥2+2𝑥+4. (2)当𝑥=0时，𝑦=−3
23
9
9
4𝑥+2𝑥+4=4， ∴ 水管的长度为9
4𝑚.
(3)当𝑦=1.5时，−3
(𝑥−1)2
4
+3=1.5，
解得，𝑥1=1+√2，𝑥2=1−√2（舍去）， ∴ 当0≤𝑥＜1+√2时，才不会淋湿衣裳. 【考点】 函数值
函数自变量的取值范围 待定系数法求二次函数解析式 【解析】 暂无 暂无 暂无
【解答】
解：(1)设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−1)2+3，∵ 点(3,0)在此抛物线上， ∴ 0=𝑎(3−1)2+3， 解得𝑎=−3
4，
∴ 抛物线的解析式为：
第17页 共26页𝑦=−3
(𝑥−1)2+3=−3
3
9
4
4
𝑥2+2
𝑥+4
.
(2)当𝑥=0时，𝑦=−3399
4𝑥2+2𝑥+4=4， ∴ 水管的长度为9
4𝑚.
(3)当𝑦=1.5时，−34(𝑥−1)2+3=1.5，
解得，𝑥1=1+√2，𝑥2=1−√2（舍去）， ∴ 当0≤𝑥＜1+√2时，才不会淋湿衣裳.
【答案】
解：(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为𝑥， 根据题意，得75(1+𝑥)2=108 ，
解得𝑥1=0.2=20%,𝑥2=−2.2（不合题意，舍去），
答：2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为20% . (2)该市2020年报废的汽车数量为：108×10%=10.8（万辆）， 剩余汽车数量为：108−10.8=97.2（万辆）， 该市新增汽车数量：110.2−97.2=13（万辆）， 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过13万辆． 【考点】
整式的混合运算在实际中的应用 一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为𝑥， 根据题意，得75(1+𝑥)2=108 .
解得𝑥1=0.2=20%,𝑥2=−2.2（不合题意，舍去），
答：2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为20% . （2）该市2020年报废的汽车数量为：108×10%=10.8（万辆），剩余汽车数量为：108−10.8=97.2（万辆）， 该市新增汽车数量：110.2−97.2=13（万辆）， 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过13万辆．
【解答】
解：(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为𝑥， 根据题意，得75(1+𝑥)2=108 ，
解得𝑥1=0.2=20%,𝑥2=−2.2（不合题意，舍去），
答：2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为20% . (2)该市2020年报废的汽车数量为：108×10%=10.8（万辆）， 剩余汽车数量为：108−10.8=97.2（万辆）， 该市新增汽车数量：110.2−97.2=13（万辆）， 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过13万辆． 【答案】
解：(1)由旋转可得，
𝐴𝐸=𝐴𝐵,∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐴𝐵=90∘,𝐸𝐹=𝐵𝐶=𝐴𝐷，
第18页 共26页
◎
∴ ∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐵𝐸，
又∵ ∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐸𝐷𝐴=90∘=∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐷𝐸𝐹， ∴ ∠𝐸𝐷𝐴=∠𝐷𝐸𝐹， 又∵ 𝐷𝐸=𝐸𝐷，
∴ △𝐴𝐸𝐷≅△𝐹𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴ 𝐷𝐹=𝐴𝐸，
又∵ 𝐴𝐸=𝐴𝐵=𝐶𝐷， ∴ 𝐶𝐷=𝐷𝐹 ． (2)如图，
当𝐺𝐵=𝐺𝐶时，点𝐺在𝐵𝐶的垂直平分线上， 取𝐵𝐶的中点𝐻，连接𝐺𝐻交𝐴𝐷于𝑀， ∵ 𝐺𝐶=𝐺𝐵， ∴ 𝐺𝐻⊥𝐵𝐶，
∴ 四边形𝐴𝐵𝐻𝑀是矩形，
∵ 矩形𝐴𝐵𝐶𝐷旋转得到矩形𝐴𝐸𝐹𝐺， ∴ 𝐴𝑀=𝐵𝐻=1
1
2
𝐴𝐷=2
𝐴𝐺，
∴ 𝐺𝑀垂直平分𝐴𝐷， ∴ 𝐺𝐷=𝐺𝐴=𝐷𝐴，
∴ △𝐴𝐷𝐺是等边三角形， ∴ ∠𝐷𝐴𝐺=60∘， ∴ 旋转角𝛼=60∘ . 【考点】
等腰三角形的性质：三线合一 全等三角形的性质与判定 等边三角形的判定 等边三角形的性质
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)由旋转可得，
𝐴𝐸=𝐴𝐵,∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐴𝐵=90∘,𝐸𝐹=𝐵𝐶=𝐴𝐷，∴ ∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐵𝐸，
又∵ ∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐸𝐷𝐴=90∘=∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐷𝐸𝐹， ∴ ∠𝐸𝐷𝐴=∠𝐷𝐸𝐹， 又∵ 𝐷𝐸=𝐸𝐷，
∴ △𝐴𝐸𝐷≅△𝐹𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)，
第19页 共26页∴ 𝐷𝐹=𝐴𝐸，
又∵ 𝐴𝐸=𝐴𝐵=𝐶𝐷， ∴ 𝐶𝐷=𝐷𝐹 ． (2)如图，
当𝐺𝐵=𝐺𝐶时，点𝐺在𝐵𝐶的垂直平分线上， 取𝐵𝐶的中点𝐻，连接𝐺𝐻交𝐴𝐷于𝑀， ∵ 𝐺𝐶=𝐺𝐵， ∴ 𝐺𝐻⊥𝐵𝐶，
∴ 四边形𝐴𝐵𝐻𝑀是矩形，
∵ 矩形𝐴𝐵𝐶𝐷旋转得到矩形𝐴𝐸𝐹𝐺， ∴ 𝐴𝑀=𝐵𝐻=1
1
2𝐴𝐷=2𝐴𝐺， ∴ 𝐺𝑀垂直平分𝐴𝐷， ∴ 𝐺𝐷=𝐺𝐴=𝐷𝐴，
∴ △𝐴𝐷𝐺是等边三角形， ∴ ∠𝐷𝐴𝐺=60∘， ∴ 旋转角𝛼=60∘ . 【答案】
解：(1)依题意，得𝑦=200+
400−𝑥10
×50，
化简得，𝑦=−5𝑥+2200 .
∴ 月销售量𝑦（台）与售价𝑥（元/台）之间的函数关系式为𝑦=−5𝑥+2200． (2)依题意得，−5𝑥+2200=450， 解得𝑥=350，
∵ 300≤𝑥≤400， ∴ 售价𝑥应定为350元/台．
(3)由(1)得，𝑊=(𝑥−200)(−5𝑥+2200) =−5𝑥2+3200𝑥−44000 =−5(𝑥−320)2+72000， ∵ 𝑎=−5<0，开口向下， ∴ 𝑊有最大值，
即当售价定为320元/台时，可获得最大利润．【考点】
一次函数的应用 二次函数的应用 【解析】
第20页 共26页
◎
（1）依题意，得𝑦=200+
400−𝑥10
×50，化简得，𝑦=−5𝑥+2200 . ∴ 月销售量𝑦（台）与售价𝑥（元台）
之间的函数关系式为𝑦=−5𝑥+2200．
（2）依题意得，−5𝑥+2200−450，解得𝑥=350， ∵ 300≤𝑥≤400， ∴ 售价𝑥应定为350元/台．
（3）由（1）得，𝑊=(𝑥−200)(−5𝑥+2200)=−5𝑥2+3200𝑥−44000=−5(𝑥−320)2+72000， ∵ 𝑎=−5<0，开口向下，∴ 𝑤有最大值， 即当售价定为320元/台时，可获得最大利润． 【解答】
解：(1)依题意，得𝑦=200+
400−𝑥10
×50，
化简得，𝑦=−5𝑥+2200 .
∴ 月销售量𝑦（台）与售价𝑥（元/台）之间的 函数关系式为𝑦=−5𝑥+2200． (2)依题意得，−5𝑥+2200=450， 解得𝑥=350，
∵ 300≤𝑥≤400， ∴ 售价𝑥应定为350元/台．
(3)由(1)得，𝑊=(𝑥−200)(−5𝑥+2200) =−5𝑥2+3200𝑥−44000 =−5(𝑥−320)2+72000， ∵ 𝑎=−5<0，开口向下， ∴ 𝑊有最大值，
即当售价定为320元/台时，可获得最大利润． 【答案】
解：(1)𝐴𝐵1 // 𝐶𝐵．
证明：由已知得△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐵1𝐶1， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵1𝐴𝐶1，
即∠𝐵1𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐶1=∠𝐶1𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐶1， ∴ ∠𝐵1𝐴𝐵=∠𝐶1𝐴𝐶， ∵ 𝐴𝐶1=𝐴𝐶，
∴ ∠𝐴𝐶1𝐶=∠𝐴𝐶𝐶1，
∵ ∠𝐶1𝐴𝐶+∠𝐴𝐶1𝐶+∠𝐴𝐶𝐶1=180∘， ∴ ∠𝐶1𝐴𝐶=180∘−2∠𝐴𝐶𝐶1， 同理，在△𝐴𝐵𝐶中， ∵ 𝐵𝐴=𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐵𝐶=180∘−2∠𝐴𝐶𝐶1， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶1𝐴𝐶=∠𝐵1𝐴𝐵， ∴ 𝐴𝐵1 // 𝐵𝐶． (2)如图1，
第21页 共26页
∠𝐶=60∘时，𝐴𝐵1 // 𝐵𝐶． (3)如图，
当∠𝐶<60∘时，在(1)、(2)中得出的结论还成立． 证明：显然△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐵1𝐶1， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵1𝐴𝐶1， ∴ ∠𝐵1𝐴𝐵=∠𝐶1𝐴𝐶， ∵ 𝐴𝐶1=𝐴𝐶，
∴ ∠𝐴𝐶1𝐶=∠𝐴𝐶𝐶1，
∵ ∠𝐶1𝐴𝐶+∠𝐴𝐶1𝐶+∠𝐴𝐶𝐶1=180∘， ∴ ∠𝐶1𝐴𝐶=180∘−2∠𝐴𝐶𝐶1， 同理，在△𝐴𝐵𝐶中， ∵ 𝐵𝐴=𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐵𝐶=180∘−2∠𝐴𝐶𝐶1， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶1𝐴𝐶=∠𝐵1𝐴𝐵， ∴ 𝐴𝐵1 // 𝐵𝐶．
【考点】
作图-旋转变换
等腰三角形的判定与性质 平行线的判定
【解析】
（1）𝐴𝐵1 // 𝐵𝐶．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．
（2）当∠𝐶=60∘时，写出边𝐴𝐵𝑙与边𝐶𝐵的位置关系也是平行，证明方法同（1）题． （3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明． 【解答】
解：(1)𝐴𝐵1 // 𝐶𝐵．
证明：由已知得△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐵1𝐶1， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵1𝐴𝐶1，
即∠𝐵1𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐶1=∠𝐶1𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐶1，
第22页 共26页
◎
∴ ∠𝐵1𝐴𝐵=∠𝐶1𝐴𝐶， ∵ 𝐴𝐶1=𝐴𝐶，
∴ ∠𝐴𝐶1𝐶=∠𝐴𝐶𝐶1，
∵ ∠𝐶1𝐴𝐶+∠𝐴𝐶1𝐶+∠𝐴𝐶𝐶1=180∘， ∴ ∠𝐶1𝐴𝐶=180∘−2∠𝐴𝐶𝐶1， 同理，在△𝐴𝐵𝐶中， ∵ 𝐵𝐴=𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐵𝐶=180∘−2∠𝐴𝐶𝐶1， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶1𝐴𝐶=∠𝐵1𝐴𝐵， ∴ 𝐴𝐵1 // 𝐵𝐶． (2)如图1，
∠𝐶=60∘时，𝐴𝐵1 // 𝐵𝐶． (3)如图，
当∠𝐶<60∘时，在(1)、(2)中得出的结论还成立．证明：显然△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐵1𝐶1， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵1𝐴𝐶1， ∴ ∠𝐵1𝐴𝐵=∠𝐶1𝐴𝐶， ∵ 𝐴𝐶1=𝐴𝐶，
∴ ∠𝐴𝐶1𝐶=∠𝐴𝐶𝐶1，
∵ ∠𝐶1𝐴𝐶+∠𝐴𝐶1𝐶+∠𝐴𝐶𝐶1=180∘， ∴ ∠𝐶1𝐴𝐶=180∘−2∠𝐴𝐶𝐶1， 同理，在△𝐴𝐵𝐶中， ∵ 𝐵𝐴=𝐵𝐶，
∴ ∠𝐴𝐵𝐶=180∘−2∠𝐴𝐶𝐶1， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶1𝐴𝐶=∠𝐵1𝐴𝐵， ∴ 𝐴𝐵1 // 𝐵𝐶．
【答案】
𝐵(−3,0),𝐷(−2,−1),𝑦=𝑥2+4𝑥+3 (2)存在
第23页 共26页
设𝑃(𝑚,𝑚2+4𝑚+3)，
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=1
1
2𝐴𝐵⋅𝑂𝐶=2×2×3=3， ∴ 𝑆△𝑃𝐴𝐵=13𝑆△𝐴𝐵𝐶=1，
①当点𝑃在𝑥轴上方时，
𝑆△𝑃𝐴𝐵=1
2𝐴𝐵⋅(𝑚2+4𝑚+3)=𝑚2+4𝑚+3=1， 解得，𝑚1=−2+√2，𝑚2=−2−√2， ②当点𝑃在𝑥轴下方时，
𝑆△𝑃𝐴𝐵=12𝐴𝐵⋅|𝑚2+4𝑚+3|=−(𝑚2+4𝑚+3)=1， 整理得，𝑚2+4𝑚+4=0， 解得，𝑚1=𝑚2=−2，
∴ 𝑃(−2,−1)或(−2+√2,1)或(−2−√2,1). (3)①𝑦=𝑥2，
②𝐸(−4,3)；四边形𝑂𝐷𝐸𝐹是矩形. 【考点】
二次函数图象的平移规律 三角形的面积 二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式 二次函数图象上点的坐标特征 【解析】 暂无 暂无 暂无
【解答】
解：(1)∵ 抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与𝑥轴交于点𝐴(−1,0)，∵ 点𝐴(−1,0) ，点𝐵关于对称轴对称， ∴ 𝐵(−3, 0)；
∵ 对称轴为直线𝑥=−2， ∴ 𝑥=−𝑏2×1=−2， ∴ 𝑏=4，
第24页 共26页
◎
将点𝐴(−1,0)代入解析式，
得𝑦=𝑥2+4𝑥+3=(𝑥+2)2−1， ∴ 顶点𝐷(−2, −1).
故答案为：(−3, 0)；(−2, −1)；𝑦=𝑥2+4𝑥+3. (2)存在
设𝑃(𝑚,𝑚2+4𝑚+3)，
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=1
1
2𝐴𝐵⋅𝑂𝐶=2×2×3=3， ∴ 𝑆△𝑃𝐴𝐵=13𝑆△𝐴𝐵𝐶=1， ①当点𝑃在𝑥轴上方时，
𝑆△𝑃𝐴𝐵=1
2𝐴𝐵⋅(𝑚2+4𝑚+3)=𝑚2+4𝑚+3=1， 解得，𝑚1=−2+√2，𝑚2=−2−√2， ②当点𝑃在𝑥轴下方时，
𝑆△𝑃𝐴𝐵=12𝐴𝐵⋅|𝑚2+4𝑚+3|=−(𝑚2+4𝑚+3)=1，整理得，𝑚2+4𝑚+4=0， 解得，𝑚1=𝑚2=−2，
∴ 𝑃(−2,−1)或(−2+√2,1)或(−2−√2,1). (3)①𝑦=𝑥2，
②𝐸(−4,3)；四边形𝑂𝐷𝐸𝐹是矩形.
第25页 共26页 第26页 共26页
◎
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容