维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７年４月 西安电子科技大学学报（自然科学版） Ａｐｒ．２００７ 第３４卷第２期 Ｊ０ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＸＩＤＩＡＮ ＵＮＩＶｂＲＳＩＴＹ Ｖｏ１．３４ ＮＯ．２ 广义离散随机非线性系统的递推算法 张卓奎，陈慧婵 （西安电子科技大学理学院，陕西西安７１００７１） 摘要：讨论了广义离散随机非线性系统的最优递推问题，利用矩阵的奇异值分解理论，给出了广义离散 随机非线性系统的奇异值标准形式，基于标准形式，在两种情况下，将系统分解成两个子系统，通过对子 系统状态估计的研究，得到了该系统的最优递推算法．结果表明，对于广义随机系统，该方法便于应用并 且减少了计算量． 关键词：广义系统；递推算法；奇异值分解；状态估计 中图分类号：ＴＰ２０４．４；Ｏ２２１．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—２４００（２００７）０２—０３１７—０５ Ｏｐｔｉｍａｌ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ＺＨＡＮＧ Ｚｈｕｏ—ｋｕｉ，ＣＨＥＮ Ｈｕｉ－ｃｈａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉｄｉａｎ Ｕｎｉｖ．，Ｘｉ ａｎ ７１００７１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ａ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ｓｔａｎｄａｒｄ ｆｏｒｍ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｍａｔｒｉｘ．Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｔＷＯ ｃａｓｅｓ，ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｉｎｔｏ ｔｗｏ ｓｕｂｓｙｓｔｅｍｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｆｏｒｍ．Ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｓｔａｔｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｂｓｙｓｔｅｍｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙ ｒｅｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ａｍｏｕｎｔ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｙｓｔｅｍ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ．．ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｙｓｔｅｍ；ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；ｓｔａｔｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ Ｈ．Ｈ．Ｒｏｓｅｎｂｒｏｃｋ在文献ｉ－１３中提出了广义系统问题，尽管没有因果性，然而其鲜明的实际背景引起了 人们的广泛关注［。 ］，随着广义系统研究的不断深入，出现了许多新成果［６卅］．但主要的研究都集中在广义 系统状态估计的问题上，而对于广义系统的最优递推问题却很少有人问津，作为初探，笔者在讨论广义离散 随机线性系统最优递推问题［６ 的基础上，讨论了广义离散随机非线性系统的最优递推问题，利用矩阵的奇异 值分解理论，给出了广义离散随机非线性系统的奇异值标准形式，基于标准形式，在两种情况下，将系统分解 成两个子系统，通过对子系统状态最优递推问题的研究，得到了该系统的最优递推算法．由于使用的是递推 法，克服了传统方法需要求解广义Ｒｉｃｃａｔｉ方程或高阶矩阵求逆的缺点，减少了计算量，和现行的算法相比， 算法简单，便于应用． １问题的描述 考虑广义离散随非机线性系统 Ｍｘ（是＋１）一，（ （是），ｌｌ（是），是）＋Ｇ（ （是），ｌｌ（是），是）＇，（是） （１） （是）一ｈ（ｘ（是），ｌｌ（是），是）＋Ｐ（是） ， （２） 收稿日期：２００６－０６－０６ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（７０３７１０３１）；国家自然科学基金资助项目（７０３７３０４６） 作者简介矧∈卓奎（１９６２－），男，副教授，博士． 维普资讯 http://www.cqvip.com ３１８ 西安电子科技大学学报（自然科学版） 第３４卷 （０）＝ （３） 其中Ｍ∈Ｒ 是奇异常数矩阵， （志）∈Ｒ 是状态向量，ｌｌ（志）∈ＵｃＲ 是控制向量，ｅ（ ）∈Ｒ 是测量噪声， ＿ｌ，（志）∈Ｒ 是系统噪声， （志）∈Ｒ ，ｆ：Ｒ ×Ｕｘ［ｏ，Ｔ］一Ｒ ，ｈ：Ｒ ×ＵＸ［０，Ｔ］一Ｒ 是非线性可微函数，Ｇ： Ｒ ×Ｕ Ｘ［０，Ｔ］一Ｒ ，＿ｌ，（志）和ｅ（志）是相关的，具有如下统计特性 Ｅ｛＿ｌ，（志））一ｍ （ ）， ＣＯＶ｛＿ｌ，（志），＿ｌ，（ ））一Ｑ（志） ， ， （４） Ｅ｛ｅ（志））一ｍ （ ）， ＣＯＶ｛ｅ（志），ｅ（ｊ））一Ｒ（志） ， ， （５） ＣＯＶ｛＿ｌ，（志），ｅ（ｊ））一Ｓ（志） ， ， （６） 其中Ｑ（志）∈Ｒ 为对称非负定矩阵，Ｒ（志）∈ＲｍＸ 为对称正定矩阵，ｓ（志）∈Ｒ 为对称正定矩阵．假设系 统是强可控的，即系统的脉冲模和指数模都是可控的，初始状态 （０）： 是高斯白噪声，具有 Ｅ｛ （０））一 。，ｖａｒ｛ｘ（０））＝Ｐｏ的统计特征， （０），＿ｌ，（志）和ｅ（志）统计独立． 将厂（・）在状态估计值 （志）及相应的控制ｌｌ（志）处进行Ｔａｙｌｏｒ展开，并只保留线性部分，式（１）可化为 Ｍｘ（志＋１）一Ｆ１（ ） （志）＋Ｆ２（志）ｌｌ（志）＋妒（志）＋Ｇ（志）＿ｌ，（志） ， （７） 其中Ｆ１（志）： ｌｄ Ｊ （；（ ）， （ ）， ） ，Ｆ２（志）一 Ｉｄ ｌ（ ；（ ）， （ ）， ） ， （志）：厂（。 （志）， （Ｋ），志）一Ｆ１（五） （志）一Ｆ２（志） （志）， Ｇ（志）一Ｇ（ （志），ｌｌ（志），志）．相应地，式（２）可化为 ｙ（志）一Ｈ（志） （志）＋口（志）＋ （志） ， （８） ＾Ｔ Ｉ 其中Ｈ（志）一 １口 ｌ （主（ ）・ ） ，９（五）一（＾（ （志），五）一Ｈ（志） （志）． 令Ａ（志）∈ＲｍＸ 为一个待定的矩阵，利用式（４）～（６）及式（８），式（７）可化为 Ｍｘ（志＋１）一Ｆ （志） （志）＋Ｆ２（志）ｌｌ（志）＋ （志）＋Ｇ（志）＿ｌ， （志） ， （９） 其中Ｆ （志）：Ｆ （志）一Ａ（志）Ｈ（惫）， （志）一 （志）＋Ｇ（ｋ）ｍ （ ）＋Ａ（志）Ｅｙ（ｋ）一９（ ）一ｍ （志）］ ＿ｌ， （志）＝＿ｌ，（志）一ｍ （志）一Ａ（志）Ｅｅ（ｋ）一ｍ （五）］． 相应地，式（８）可化为 （志）＝Ｈ（志） （志）＋９ （志）＋ｅ （志） ， （１ｏ） 其中９ （志）一９（志）＋ｍ （志），ｅ （志）一ｅ（志）一ｍ （志），这时有 Ｅ｛＿ｌ， （志）｝＝０ ， Ｅ｛ｅ （志））一０ ， （１１） ｃｏｖ（ｖ （志），＿ｌ， （ ））一Ｑ （志） ， （１２） ｃｏｖ（ｅ （志），ｅ （ ））一Ｒ （志） ， ， （１３） ｃｏｖ（ｖ （志），ｅ （ ））＝ＥＳ（ｋ）一Ａ（志）Ｒ（志）］ ． （１４） 于是，由式（ＩＩ）和（１４）可知，只要选择Ａ（志）＝Ｓ（ｋ）Ｒ１（志），＿ｌ， （志）和ｅ’（志）就成为互不相关的零均值高斯白 噪声，为讨论问题方便起见，略去系统（９），（１Ｏ）中的平凡项 （志）和９ （志），从而系统（１）～（３）化为广义离 散随机线性系统 Ｍｘ（志＋１）一Ｆ （志） （志）＋Ｆ２（志）ｌｌ（志）＋Ｇ（志）＿ｌ， （志） ， （１５） ｙ（志）一Ｈ（志） （志）＋ｅ （志） ， （１６） （０）一 ． （１７） 由于Ｍ是奇异矩阵，设ｒａｎｋ Ｍ—ｒ＜ ，根据奇异值分解，存在正交矩阵【，∈Ｒ 和正交矩阵Ｖ ＥＲ ，使得 Ｍ ｙ一［ ：］， ｃ ８ 其中 一ｄｉａｇ（ａ ，口２，…， ）， ＞０（ 一１，２，…，ｒ）为矩阵Ｍ的奇异值．令 （志）＝ｙ（ （志）， （五）） ，将式 （１８）代人式（１５）并以 左乘式（１５）的两端得 １（ ＋１）一Ａ１１（志） １（志）＋Ａ１２（志） ２（志）＋Ｂ１（志）ｌｌ（志）＋Ｉ１１（志）＿ｌ， （志） ， （１９） ０一Ａ２１（志） １（志）＋Ａ２２（志） ２（志）＋Ｂ２（志）ｌｌ（志）＋Ｉ１２（志）＿ｌ， （志） ， （２０） （志）一（ （志） １（志）＋（ （愚） ２（志）＋ｅ （志） ， （２１） 其 ㈤ ㈤∈ ，ＲＵＦ；㈣ｙ 乏 Ａ…１２（ｋ ）１ ［ ］…ＵＧ Ｆ删２（ｋ）］， 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 张卓奎等：广义离散随机非线性系统的递推算法 ３１９ Ｈ（ｋ）Ｖ一［Ｃ１（矗）Ｃ２（矗）］．称式（１９）～（２０）和式（１７）为系统（１５）～（１７）的奇异值标准形式． ２广义离散随机非线性系统的最优递推方法 （１）当ｒａｎｋ Ａ （矗）一 一ｒ时，则Ａ （矗）非奇异，由式（２０）得 ２（志）一一Ａ （矗）Ａ２１（矗） １（矗）～Ａ （矗）Ｂ２（矗）ｌｌ（矗）～Ａ （矗）ｒ２（矗）＇， （矗） ． （２２） 将式（２２）代入式（１９）和式（２１）得到一个ｒ维子系统为 ｌ（矗＋１）一Ａ。（矗） ｌ（矗）＋Ｂ。（矗）ｌｌ（矗）＋１１ｏ（矗）＇， （矗） ， （２３） （２４） ｙ（矗）一Ｃｏ（矗） （矗）＋Ｄ。（矗）ｌｌ（矗）＋ｖ（ｋ） ， 其中Ａ。（矗）一 （Ａ１１（矗）一Ａ１ （矗）Ａ＿２ｌ（矗）Ａ （矗））， Ｂ。（矗）一 （Ｂ （矗）一Ａ （矗）Ａ （矗）Ｂ２（矗）） ， Ｃｏ（矗）一Ｃ１（矗）一Ｃ２（矗）Ａ （矗）Ａ １（矗），Ｄ。（矗）一一Ｃ２（矗）Ａ （矗）Ｂｚ（矗） ， ＇，（矗）一Ｐ （矗）——Ｆ。（矗）＇， （矗）， Ｆｏ（矗）一（ （矗）Ａ （矗）Ｉ１２（矗） ， ｒ０（矗）一 并且 （ｒ】（矗）一Ａ ｚ（矗）Ａ－２ｌ（矗）ｒ２（矗））． Ｅ｛＇， （矗） （ ））一Ｅ｛＇， （矗）（Ｐ （ｊ；）一Ｆ。（矗）＇， （ ）） ）一Ｅ｛＇， （矗）（Ｐ （ ）） ）一 Ｅ｛＇， （矗）＇， （ ）） ）Ｆ （ｋ）一一Ｑ （矗）Ｆ （忌）乱，，全Ｑｄ（矗） ， ， Ｅ｛ （矗） （ ））一Ｅ｛（Ｐ （矗）一Ｆ。（矗）＇， （矗））（Ｐ （ ）一Ｆｏ（ ）＇， （ ）） ）一 Ｅ｛Ｐ （矗）（Ｐ （ｊ；）） 一 （矗）（＇， （ ）） （ｊ；）一Ｆ０（矗）＇， （矗）（Ｐ （ ）） ＋ Ｆ。（矗）＇， （矗）（＇， （ ）） Ｆ （ ））一Ｅ｛ｅ （矗）（Ｐ （ ）） ）一Ｅ｛ｅ （矗）（＇， （ ）） ）Ｆ （ ）一 Ｆ。（矗）Ｅ｛＇， （矗）（Ｐ（ ）） ）＋Ｆ。（矗）Ｅ｛＇， （矗）（＇， （ ）） ）Ｆ （ ）一Ｒ （矗） ＋ Ｆ。（矗）Ｑ （矗）Ｆ （矗） 一［Ｒ （矗）＋Ｆｏ（矗）Ｑ （矗）Ｆ （忌）］ ，，全Ｒｄ（矗） ， ． 设ｙ（矗）表示到目前矗时刻为止的全部观测向量组成的随机向量，ｙ 表示一次实验所获得的ｙ（矗）的样本实 现，即ｙ（矗）一［ （０）， （１），…， （矗）］ ，Ｙ 一Ｅｙ。，Ｙ１，…，Ｙ ］ ，为符号书写简单，把 （矗）仍然用 （矗）表示， 其初始状态统计特征的记号也不做改变．令 （ ）表示状态滤波，即 （矗 ）一Ｅ｛ （矗）｝ｙ（矗）一Ｙ ｝． （２５） （矗一）表示１步预测估计，即 （矗一）一Ｅ｛ （矗）｝Ｙ（ｋ一１）一ｙ ） ． （２６） 则 （ ）和 （矗一）的误差估计协方差矩阵分别为 Ｐ（ｋ ）＝Ｅ｛Ｉｘ（ｋ）一 （矗 ）］［ （矗）一 （矗 ）］ ｆ ｙ（矗）＝Ｙ ） ， Ｐ（ｋ一）一Ｅ｛Ｉｘ（ｋ）一 （矗一）］Ｉｘ（ｋ）一 （矗一）］ Ｊ Ｙ（ｋ～１）＝ｙ １）． ①在时刻０ ，Ｅｘ （０），Ｙ （０）］ 是联合高斯随机变量，它的均值向量和协方差矩阵分别为 （２７） （２８） 啸 ＋ｕＴ（Ｏ）Ｄ Ｂ１】（０）一Ｐｏ—ｘｏ ， ，［ ， ， Ｂｌ２（０）一Ｐｏｃ （０）＋ 。ｌｌ （０）Ｄ （０）一ｘ。 ｃ （０）一ｘ。ｌｌ （０）Ｄ （０） ， Ｂ １（０）一ｃｏ（０）Ｐ ＋Ｄ。（０） 一ｃｏ（０） 。 一Ｄ。（０）ｌｌ（０） Ｂ２２（０）一ｃｏ（０）Ｐ０Ｃ （０）＋Ｃ０（０）ｊｏｌｌ （０）Ｄ （０）＋Ｄｏ（０）ｌｌ（０） Ｃ （０）＋Ｄｏ（０）ｕ（０）ｕ （０）Ｄ （０）＋ Ｒｄ（０）一ｃｏ（０） 。ｉ ３’ＣｌＴ（０）一ｃｏ（０） 。ｌｌ （０）Ｄ （０）一Ｄ。（０）ｌｌ（０）ｉ ｃ （０）一Ｘ—ｏｕ（Ｏ）ｕ （０）Ｄ （０）． 在给定条件 （０）一Ｙ。下， （０）的条件概率密度是高斯的，根据Ｂａｙｅｓｉａｎ估计定理，最优估计是条件均值 （０ ）一ｘ。＋Ｂ１ （０）Ｂ （０）［ｙ（０）～（Ｃｏ（０）一Ｄ。（０）ｌｌ（０））ｊ。］． 并且协方差矩阵是Ｐ（ｏ ）一Ｂ１ （０）一Ｂ （０） （０）ＢＴ２（０） ． ｆ台（矗，ｒ）一Ａ。（矗）９（矗，ｒ）＋Ｂ。（矗）ｌｌ（矗）， （２９） （３０） ②在时间间隔０ 到１一，系统遵循式（２３）向前传播，并且它的传递矩阵可如下定义 １Ｏ（ｋ。矗）一Ｊ． 维普资讯 http://www.cqvip.com ３２０ 西安电子科技大学学报（自然科学版） 第３４卷 再由式（２３）得 （１）一９（１，０）＋Ｂ。（１）ｌｌ（１）４－１ ０（１，ｒ） （ｒ） ， （３１） 其中｛ （￡），ｔ≥ｏ）是相应维的Ｂｒｏｗｎｉａｎ运动过程，而且具有 Ｅ｛ （￡））一０，Ｅ｛［ （￡）一 （ ）］［ （￡）一 （ ）］ ）一Ｉ Ｑ （ｒ）ｄｒ． 在式（３１）的两边取给定的条件ｙ（Ｏ）一Ｙ。下取条件期望，得 （１～）一９（１，ｏ）ｋ（０ ）４－Ｂ。（１）ｌｌ（１） ． （３２） 由式（１７）和上式（１８），误差估计协方差矩阵为 Ｐ（１一）一０（１，０）Ｐ（０ ）９ （１，０）４－Ｂ０（１）ｌｌ（１）ｕ （１）Ｂｏ－ｒ（１）４－Ｉ ９（１，ｒ）Ｆｏ（１）Ｏｄ（ｒ）Ｊ１Ｔ（１）９（１，ｒ）ｄｒ． （３３） ③在时刻１ ，［ （１），ｙ （１）］ 是联合高斯随机变量，并且在给定条件ｌ，（１）＝Ｙ 下，它的均值向量和协 方差矩阵分别为 Ｃｏ（１）－４ｕＴ（１）Ｄ Ｂ （１）一Ｐ（１一）——ｉ（１一） （１一） ， ，［ ， ， Ｂ ２（１）一Ｐ（１一）ｃ （１）４－ （１一）ｌｌ （１）Ｄ （１）一 （１一） （１一）ｃ （１）一 （１一）ｌｌ （１）ＤｏＴ（１） ， Ｂ２ （１）一Ｃｏ（１）ＰＴ（１一）４－Ｄ。（１） （１一）一Ｃｏ（１） （１一） （１一）一Ｄ。（１）ｌｌ（１） （１一）Ｂ２２（１）一ＣＯ（１）Ｐ（１一）ｃ （１）４－ＣＯ（１） （１一）ｌｌ （１）Ｄｏ￣（１）４－Ｄ。（１）ｌｌ（１） （１一）ｃ （１）４－ Ｄ。（１）ｌｌ（１）ｕ （１）ＤｏＴ（１）４－Ｒｄ（１）一Ｃｏ（１） （ｒ） （１一）ｃ （１）一Ｃｏ（１） （ｒ）ｌｌ （１）ＤｏＴ（１）一 Ｄ。（１）ｌｌ（１） （１一）ｃ （１）一 （１一）ｌＩ（１）ｌＩ （１）Ｄ （１）． 在给定条件Ｙ ＝［ 。，ｙ ］ 下， （１）的最优估计是 （１ ）一 （ｒ）４－Ｂ ２（１）Ｂ （１）Ｉｖ（１）一（Ｃｏ（１）一Ｄ。（１）ｌｌ（１）） （１一）］． 相应地，误差估计协方差矩阵是 Ｐ（１ ）一Ｂ （１）一Ｂ 。（１）Ｂ２２￣（１）ＢＴ２（１） ． ④改变时间下标重复步骤②，得到 ｋ（２一）：０（２，１） （１ ）４－Ｂ。（２）ｌｌ（２） ， （３６） （３４） （３５） Ｐ（２一）＝０（２，１）Ｐ（１ ）９ （２，１）４－Ｂ。（２）ｌｌ（２）ｌｌ （２）Ｂ （２）＋１ ０（２，１）Ｆｏ（２）Ｑｄ（ｆ）ｄｏＴ（２） （２，１）ｄｒ．（３７） ⑤重复步骤③和④直至时刻点，则最优递推方程的一般形式可表示为 ｋ（ｋ ）一ｋ（ｋ一）４－Ｂ ２（足）Ｂ－１（是）［１，（是）——（ＣＯ（是）一Ｄ。（是）ｌｌ（是）） （是一）］， 一（３８） 其中 Ｂ ２（是）一Ｐ（是一）（ （愚）４－ｋ（ｋ一）ｌｌ （是）Ｄ （是）—— （是一） （是一）ｃ （是）一 （是一）ｌｌ （是）Ｄ （是） ， Ｂ２２（是）一ＣＯ（忌）Ｐ（是一）ｃ （点）４－Ｃｏ（是） （是一）ｌｌ （是）Ｄ （是）４－Ｄ。（点）ｌｌ（是） （是一）ＣＴｏ（是）４－ Ｄ。（ ）ｌｌ（ ）ｌｌ （ ）Ｄ （走）４－Ｒｄ（ ）一Ｃｏ（ ） （ 一） （ 一）ｃ （愚）—— ｏ（足）Ｃ （是一）ｌｌ （愚）Ｄ （是）一Ｄ。（是）Ｈ（是） （是～）ｃ （是）一ｋ（ｋ一）ｌｌ（是）ｌｌ （是）Ｄ （是）， （（是＋１）一）一Ｏ（ｋ －１，４ｋ）ｘ（ｋ ）４－Ｂ。（愚４－１）ｕ（ｋ －１）４ ， （３９） （Ｏ一）一；。，Ｐ（Ｏ一）＝Ｐｏ． （４Ｏ） ｃ２ ￣ｒａｎｋ Ａｚｚ（ｋ）＜ 一ｒ时，由文献 ７ 中的引理２及ｒａｎｋ［ ； ；］一 ，得 ｒａｎｋ［Ａ２２（是）Ｂ２（是）］一 一ｒ． 令ｒａｎｋ Ａ２２（是）＝ｒ ，则存在可逆矩阵Ｊ∈Ｒ 一 … 一 ，使得 厂Ａ （是）Ａ２（是）］ 。，Ａ ２２（是）一ｌ 。 Ｉ ， 其中厶 （是）∈Ｒ 是上三角矩阵，并且ｒａｎｋ厶 （是）＝ｒ ，厶２（是）∈Ｒｒｌ … ． 令Ｄ（是）一Ｊｇ２（是）一ＥＯＴ（是）Ｄ （是）］ ，其中Ｄ （是）ＥＲ ，Ｄ２（愚）ＥＲ‘ ｒ－ ，得 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 张卓奎等：广义离散随机非线性系统的递推算法 ３２１ ＪｃＡ ｃ志 Ｂ ｃ志 一［ 志 厶。 忌 ；］，ｒａｎｋ。 ｃ志 ｎ－ｒ￣ｒ１． 从而Ｄ （志）Ｄ （志）可逆，令Ｋ２（志）一Ｄｒ（志）（Ｄ （志） （志））～，则 ㈤ 其中Ｉ ｌ ［ 志 ［ Ｌ ０ Ｋ２（患 １Ｉ， 。、２Ｊ Ｊ，Ｉｚ，Ｉ 和Ｉ ｚ分别是￡阶，ｒ 阶和 一ｒ－－Ｙｌ阶单位矩阵并且Ｋ】（志）一［ｏ Ｋ２（志）］是￡× （ 一ｒ）阶矩阵．由于Ｄｚ（ｋ）Ｋｚ（志）一Ｉ，卜 ，因此 Ｊ￣Ａ２２（ｋ） ㈤ Ｊ［Ａｍ ）＋ 于是 ㈨］一［ ｒ （志） 厶，（志）＋Ｄ （志）蠡 （志）］ ］， Ｉ… ｆ・ ． （４１） （４２） （４３） ）］一ｊ ｏ ｒａｎｋ（Ａ２２（志）＋Ｂ２（志）Ｋ】（志））一 一ｒ， 令ｌｌ（志）一Ｋ１（志） ｚ（志）＋町（志），并代人式（１９）～（２１），然后再令 Ａ１２（志）一Ａｉ２（志）＋Ｂ１（志）Ｋ１（志） ，Ａ２２（志）一Ａ２２（志）＋Ｂ２（志）Ｋ１（志）则 及ｉ（志＋Ｉ）一Ａ１ｉ（志） １（志）＋Ａ１２（志） ２（志）＋Ｂ１（志）研（志）＋ （志）ｌ， （志） ０一Ａ２】（志）Ｘ】（志）＋Ａ２２（志） ２（志）＋Ｂ２（志）研（志）＋ （志）ｌ， （志） ， Ｊ，（志）一Ｃｌ（是） １（志）＋ｃ２（志） （忌）＋ｅ （忌） ， 并且ｒａｎｋ，ｉｚｚ（志）一 一ｒ．这样就把情形（２）转化成（１）的情况． ３结束语 针对目前广义系统的研究状况，讨论了广义离散随机非线性系统的最优递推问题，利用矩阵的奇异值分 解理论，得到了该系统的最优递推算法，由于得到的是递推法，因此使得该算法具有便于应用，计算量小的 特点． 参考文献： ［１］Ｒｏｓｅｎｂｒｏｃｋ Ｈ Ｈ．Ｓｔａｔｅ Ｓｐａｃｅ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅ Ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ，１９７０． ［２］Ｃｏｂｂ Ｄ．Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｄｕａｌｉｔｙ ｉｎ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９８４，２９（１２）： １ ０７６－１ ０８２． ［３］Ｌｕｅｎｂｒｇｅｒ Ｄ Ｃ．Ｄｙｎａｍｉｃ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ Ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ Ｆｏｒｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９７７，２２（３）：３１２—３２１． ［４］王朝珠，王恩平．带有脉冲模的广义控制系统设计［Ｊ］．控制理论与应用，１９８８，５（３）：４７．５６． ［５］王恩平．广义离散随机线性系统的次优滤波［Ｊ］．科学通报．１９８９，３４（１５）：１ １８６．１ １８８． ［６］Ｚｈａｎｇ Ｚｈｕｏｋｕｉ，Ｃｈｅｎ Ｈｕｉｃｈａｎ．Ｏｐｔｉｍａｌ Ｒｅｃｕｒｓｉｖｅｎｅｓｓ ｆｏｒ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉｄｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００６，３３（２）：２７３—２７７． ［７］Ｚｈａｎｇ Ｚｈｕｏｋｕｉ，Ｃｈｅｎ Ｈｕｉｃｈａｎ，Ｌｉｕ Ｓａｎｙａｎｇ．Ａ Ｓｔａｔｅ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉｄｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００２，２９（１）：１１０—１１４． ［８］张卓奎，陈慧婵，刘三阳．带状随机线性系统状态的估计问题［Ｊ］．系统工程与电子技术，２００２，２４（１１）：５６—５９． （编辑：齐淑娟）