中国古代建筑斗拱的结构功能分析
2010年12月26日
i
摘要
本文从中国古代建筑中抽象出了斗拱的工程力学模型，利用弯矩、轴力、应力等分析方法讨论斗拱结构中斗拱层数对梁承载能力的影响以及多层不对称斗拱结构的承重状态，通过对比分析得到斗拱结构设计时所要注意的问题及提高斗拱结构性能的方法。
关键词
斗拱；梁；最大载荷；弯矩；应力
符号索引
符号参量
参量说明
仅用立柱承载梁时梁中弯矩绝对值最大值 只有一层斗拱承载梁时梁中弯矩绝对值最大值 有两层斗拱承载梁时梁中弯矩绝对值最大值
多层斗拱每层分别承载梁时斗拱①承载的梁中弯矩绝对值最大值 只有一层斗拱承载梁时第一层斗拱中弯矩绝对值最大值
多层斗拱每层分别承载梁时第一层斗拱⑤中弯矩绝对值最大值 多层斗拱每层分别承载梁时第一层斗拱⑥中弯矩绝对值最大值 有两层斗拱承载梁时第二层斗拱中弯矩绝对值最大值
多层斗拱每层分别承载梁时第二层斗拱②中弯矩绝对值最大值 多层斗拱每层分别承载梁时第二层斗拱④中弯矩绝对值最大值 多层斗拱每层分别承载梁时第三层斗拱中弯矩绝对值最大值 仅用立柱承载梁时梁中正应力绝对值最大值 只有一层斗拱承载梁时梁中正应力绝对值最大值 有两层斗拱承载梁时梁中正应力绝对值最大值
多层斗拱每层分别承载梁时斗拱①承载的梁中正应力绝对值最大值 只有一层斗拱承载梁时第一层斗拱中正应力绝对值最大值
多层斗拱每层分别承载梁时第一层斗拱⑤中正应力绝对值最大值 多层斗拱每层分别承载梁时第一层斗拱⑥中正应力绝对值最大值 有两层斗拱承载梁时第二层斗拱中正应力绝对值最大值
多层斗拱每层分别承载梁时第二层斗拱②中正应力绝对值最大值 多层斗拱每层分别承载梁时第二层斗拱④中正应力绝对值最大值 多层斗拱每层分别承载梁时第三层斗拱中正应力绝对值最大值 只有一层和有两层斗拱承载梁时斗拱每爪所承受的载荷 多层斗拱每层分别承载梁时第三层斗拱每爪所承受的载荷 多层斗拱每层分别承载梁时第二层斗拱④每爪所承受的载荷 只有一层斗拱承载梁时斗拱每爪所能承受载荷最大值 有两层斗拱承载梁时二层斗拱每爪所能承受载荷最大值
多层斗拱每层分别承载梁时第三层斗拱每爪所能承受载荷最大值 多层斗拱每层分别承载梁时第二层斗拱④每爪所能承受载荷最大值 梁两端加载的载荷
i
𝐌𝐚 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐛 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐜 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐝 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐡𝟏 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐡𝟏𝟏 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐡𝟏𝟐 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐡𝟐 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐡𝟐𝟏 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐡𝟐𝟐 𝐦𝐚𝐱 𝐌𝐡𝟑 𝐦𝐚𝐱 𝛔𝐚 𝐦𝐚𝐱 𝛔𝐛 𝐦𝐚𝐱 𝛔𝐜 𝐦𝐚𝐱 𝛔𝐝 𝐦𝐚𝐱 𝛔𝐡𝟏 𝛔𝐡𝟏𝟏 𝛔𝐡𝟏𝟐 𝛔𝐡𝟐 𝛔𝐡𝟐𝟏 𝛔𝐡𝟐𝟐 𝛔𝐡𝟑 𝐅 𝐅𝟏 𝐅𝟐 𝐅𝐡𝟏 𝐦𝐚𝐱 𝐅𝐡𝟐 𝐦𝐚𝐱 𝐅𝐡𝟑 𝐦𝐚𝐱 𝐅𝐡𝟒 𝐦𝐚𝐱 𝐅𝐩
表格 1 符号索引
目录
摘要 .............................................................................................................................................i 关键词 .........................................................................................................................................i 符号索引 .....................................................................................................................................i 目录 ............................................................................................................................................ ii 正文 ........................................................................................................................................... 1 一、 二、 三、 四、 五、 六、 七、
斗拱结构简介 ........................................................................................................ 1 研究目的 ................................................................................................................ 3 研究模型的建立 .................................................................................................... 3 模型分析的准备工作 ............................................................................................ 5 模型加载计算 ........................................................................................................ 6 模型计算结果分析 .............................................................................................. 12 研究结论与讨论 .................................................................................................. 13
作者信息及分工情况： ............................................................................ 错误!未定义书签。
ii
正文
一、 斗拱结构简介
1、 总论
“斗拱”亦称“斗栱”。斗和拱都是我国古代木结构建筑中的重要支承构件，也是我国古代建筑中特有的形制，一般出现在立柱与横梁的交接处。自柱顶向四周引出的弓形肘木结构称作“拱”，而不同层级的拱之间的垫木称作“斗”。总体来说，斗拱的作用在于承受构筑于上部的楼层或者屋檐的重力，并将承受的力分散，并且或直接或间接地（先传递至额枋上）重新集中在立柱上。同时，现代研究表明，榫卯结合结构有良好的抗震性能，采用榫卯结构的建筑结构在遭遇地震时会“松动”但是不会“散架”，大大消耗了地震传递的能量。而斗拱结构正是榫卯结合的一种标准构件。
除了结构功能，斗拱还有重要的美学价值。房屋四周的斗拱向外出挑，可以将最外侧的屋檐挑出一定的距离，使建筑看上去更加飘逸与优美，后来也渐渐成为了尊贵身份地位的象征，成为礼仪建制的一部分。唐代孔颖达在《礼记·礼器》“山节藻棁”中写道：“山节，谓刻柱头为斗拱，形如山也。”《明史·舆服志四》：“庶民庐舍， 洪武二十六年定制，不过三间，五架，不许用斗栱，饰彩色。”
2、 斗拱结构的发展历史
斗拱结构的历史源远流长。在出土的战国时代的一些器皿陶器上的建筑图案上已经可以见到斗拱的身影；在汉代墓室的壁画上我们也可以看到斗拱结构早期的身影。从战国时期到三国时期的斗拱结构处于发展的初期，结构和外观都显得十分朴素。当时的建筑设计者已经有了通过结构创新来改善结构强度的思想。
图 1 战国时期至三国时期的斗拱
经过两晋南北朝的发展，斗拱结构在唐朝终于迎来了其发展的成熟。但是在唐代斗拱构筑技术成熟后，便被规定不允许民间使用。
图 2 两晋南北朝时期的斗拱
随着时间的推移，斗拱构筑技术在不断完善的同时也逐渐走向了繁复与复杂，成为建筑拥有者身份和地位的象征，甚至在清朝，相当部分的斗拱结构已经成为了建筑的装
1
饰，而非仅仅是必不可少的承重结构。
图 3 唐、宋、元、清时期的斗拱
3、 斗拱结构的构成方式
斗拱结构由一层或多层叠加组成。每层拱的垫木上方或者承载梁，或者承载更高层级的拱。垫木和拱之间的连接是榫卯结合结构，不用钉子。多层斗拱结构有四周对称的，也有非四周对称的；有的斗拱只在顶级斗拱处承担一根横梁，但是多数斗拱结构是非四周对称结构，而且在斗拱层级上升的不同层级上分别承载横梁。
图 4 斗拱在建筑中的构成方式
2
二、 研究目的
针对斗拱的结构功能，我们想研究两个方面的问题： 1、 层数对斗拱承重能力的影响
通过定性分析多层的斗拱结构我们发现，多层的斗拱结构不仅可以增加斗拱层数，还可以增加支撑点间距，从而降低斗拱顶端承载的梁的最大弯矩，从而降低对梁的尺寸的要求。但是多层斗拱是否能增加所能承受载荷（加载在梁上，计入梁的自重）的最大值？为了找到答案，我们对多层的四周对称的斗拱结构进行了简单的定量分析。
2、多层不对称斗拱结构的承重状态
实际中，大部分的斗拱结构都不是四周对称的，而且多层斗拱结构往往需要在不同层级上承担横梁以达到建筑的设计要求。这种多层不对称斗拱结构的承重情况相比于对称多层斗拱有若干不同之处，需要单独进行研究。
三、 研究模型的建立
1、 研究层数对斗拱承重能力的影响的模型
该部分的模型有三个：1.立柱直接承载梁；2.只有一层的斗拱承载梁；3.有两层的斗拱承载梁。
控制三个模型中的横梁两端所加载荷相同，比较不同模型中对横梁的尺寸要求。 控制横梁尺寸相同，比较三个模型中横梁所能承受的最大载荷。
图 5 研究层数对斗拱承重能力的影响的模型
2、 研究多层不对称斗拱结构的承重状态模型
该部分的模型如图所示。其中每层斗拱承载的梁分别加载。可以看出，这个模型的加载是非对称的，所以此时立柱上既有轴力也有弯矩（在立柱与斗拱结合处的机制不作细致研究，仅认为可以满足设计要求）
对于这个模型仅在一定条件下作数值计算，不作为和其他结构的比较。
3
图 6 研究多层不对称斗拱结构的承重状态模型
3、 与斗拱模型建立相关的一些说明
1） 认为立柱在上述模型加载时未达到临界状态，即认为立柱总是安全的。
2） 斗拱间的配合方式是如图所示的榫卯结构。斗拱的横截面尺寸设计亦如图所示
图 7 斗拱配合方式的说明
4、 梁的模型设计
认为梁的高宽比是（即：=），在接下来关于梁尺寸的模型分析中，不妨把梁的
4
3
hb
43
宽b作为变量。
4
四、 模型分析的准备工作
1、模型计算中用到的尺寸和常量
除标注的模型尺寸外，补充如下数据： 梁和斗拱选用木材的杨氏模量：E=12.5Gpa 梁和斗拱选用木材的许用应力：[σ]=10Mpa
梁和斗拱选用木材的密度大小：ρ=0.50×103kg/m3 重力加速度：g=10.0kg∙m/s2
2、 常用基本量
矩形截面惯性矩：I=12bh3 ⑴
由梁自重带来的均匀载荷分布：q=ρbhg=3ρgb2 ⑵
3、 两对称支点支承梁的模型的计算分析
4
1
图 8 梁模型
模型如图所示。计算得： 梁的弯矩方程：
M(x)={11qLL ⑶ 2
−2qx+2qLx−(F+2)a (a≤x≤2)梁的弯矩图：
发现梁的弯矩可能的最值有以下三处(0≤x≤2)： M(0)=0；M(a)=−qa2−Fa；M(L)=qL2−(F+
5
12
12
18
qL)a 2
L
−2qx2−Fx (0≤x≤a)
1
以a为常数，L为变量讨论得： i)
当a、L的关系满足：2a≤L≤2a+2√2a2+
14Fa
q
⑷
弯矩绝对值的最大值为：Mi max=| M(a)|=2qa2+Fa； ⑸
ii)
当a、L的关系满足：L≥2a+2√2a2+
4Fa
q1
⑹
1
qL
)a 2
弯矩绝对值的最大值为：Mii max=| M(2L)|=8qL2−(F+
⑺
五、 模型加载计算
1、 研究层数对斗拱承重能力的影响
这里我们通过控制梁两端所加载荷相同比较对梁的尺寸要求、控制尺寸相同比较最大载荷两个方面来比较。
a) 仅用立柱承载梁的情形 令：
L=2.00m，b=7.00cm ；梁两端加载载荷Fp=1.00kN。⑻ 计算：
梁截面惯性矩：I=4.74×10−6m4； 梁自重的均匀载荷分布：q=32.67N/m；
弯矩绝对值最大处是立柱支承处：Ma max=FpL+qL2=1016.34N∙m 则梁中最大正应力绝对值为：σa max=
b) 只有一层的斗拱承载梁的情形
Ma max1
hI2
1218
=10.00Mpa<[σ] ⑼
图 9 只有一层斗拱承载梁时的斗拱模型
对斗拱计算：
弯矩方程：M(x)=−Fx
得出弯矩绝对值最大处：Mh1 max=|M(2l1)|=2Fl1
6
1
1
最大弯矩处斗拱正应力绝对值最大值：σh1=
Mh1 max1
h I2
⑽
F
斗拱垫木部分承受载荷的竖直方向正应力绝对值：σv=bh ⑾
去除量纲，求出以载荷F为变量的数值解：
Mh1 max=0.3F；σv=208.3F；σh1=6250F ⑿
考虑许用应力[σ]=10Mpa，则求出F的最大值：Fh1 max=1.60kN ⒀
对斗拱承载的梁计算： i) 令梁两端载荷大小一定，梁宽b为变量：
L=2.00m；梁两端加载载荷Fp=1.40kN；当梁对称摆放时，a=0.70m
利用⑷、⑹两式对L和a的值进行检验得：弯矩绝对值的最大值在x=a处取到，大小如⑸式所示,即：Mb max=2qa2+Fpa； 计算最大弯矩处的最大正应力：σb max=
Mb max1
h I2
1
⒁
将各量去除量纲并代入数据，利用关系：σb max≤[σ]得到：
107b3−5512.5b2−3307.5≥0 ⒂ 解出唯一可行解：b≥0.06934 ⒃
这时，斗拱两垫木分别承担的载荷大小为：F=2qL+Fp=1.432kN<𝐹h1 max ii) 令梁宽b大小一定，梁两端承载载荷大小Fp为变量： L=2.00m；梁宽b=0.060m；当梁对称摆放时，a=0.70m
利用⑷、⑹两式对L和a的值进行检验得：弯矩绝对值的最大值在x=a处取到，大小如⑸式所示,即：Mb max=qa2+Fpa； 计算最大弯矩处的最大正应力：σb max=
Mb max1
h I2
1
2
1
代入数据，利用关系：σb max≤[σ]得到：Fp≤0.91kN
这时，斗拱两垫木分别承担的载荷大小为：F=qL+Fp=0.93kN<𝐹h1 max
c) 有两层的斗拱承载梁的情形
12
7
图 10 有两层的斗拱承载梁时的斗拱模型
对斗拱计算：
第一层的斗拱情况不变，与“b)”中所述相同 第二层斗拱： 弯矩方程：
5
M(x)={1 ⒄ 11
−5Fl2 (5l2≤x≤2l2)
−Fx (0≤x≤l2)
1
弯矩绝对值最大值为：Mh2 max=5Fl2
最大弯矩处斗拱正应力绝对值最大值：σh2=
Mh2 max1
h I2
1
⒅
去除量纲，求出以载荷F为变量的数值解：
Mh2 max=0.2F；σh2=4166.7F ⒆
考虑许用应力[σ]=10Mpa，则求出F的最大值：Fh2 max=2.40kN>Fh1 max 故F取值应以第一层斗拱计算结果为准，即：F最大值为Fh1 max=1.60kN
对斗拱承载的梁计算： i) 令：梁两端载荷大小一定，梁宽b为变量:
L=2.00m；梁两端加载载荷Fp=1.40kN；当梁对称摆放时，a=0.50m
利用⑷、⑹两式对L和a的值进行检验得：弯矩绝对值的最大值在x=a处取到，大
小如⑸式所示,即：Mc max=2qa2+Fpa； 计算最大弯矩处的最大正应力绝对值：σc max=
Mc max1
h I2
1
⒇
将各量去除量纲并代入数据，利用关系：σc max≤[σ]得到：
107b3−2812.5b2−2362.5≥0 （21） 解出唯一可行解：b≥0.06191 （22）
8
这时，斗拱两垫木分别承担的载荷大小为：F=2qL+Fp=1.426kN<𝐹h1 max ii) 令：梁宽b大小一定，梁两端承载载荷大小Fp为变量： L=2.00m；梁宽b=0.060m；当梁对称摆放时，a=0.050m
利用⑷、⑹两式对L和a的值进行检验得：弯矩绝对值的最大值在x=a处取到，大小如⑸式所示,即：Mc max=2qa2+Fpa； 计算最大弯矩处的最大正应力：σc max=
Mc max1
h I2
1
1
代入数据，利用关系：σc max≤[σ]得到：Fp≤1.27kN
这时，斗拱两垫木分别承担的载荷大小为：F=2qL+Fp=1.29kN<𝐹h1 max
2． 研究多层不对称斗拱结构的承重状态
1
图 11 研究多层不对称斗拱结构承重状态的斗拱模型
a) 对模型中各斗拱进行分析
i) 分析斗拱①: 弯矩方程：
M(x)={1 (23) 11
−F1l4 (l4≤x≤l4)
6
6
2
−F1x (0≤x≤6l4)
1
弯矩绝对值最大值为：Mh3 max=6F1l4
最大弯矩处斗拱正应力绝对值最大值：σh3=
9
Mh3 max1
h I2
1
(24)
去除量纲，求出以载荷F1为变量的数值解： Mh3 max=0.1F1；σh3=2083.3F1 (25)
ii) 分析斗拱② 弯矩方程：M(x)=−F1x
弯矩绝对值最大值为：Mh21 max=2F1l3
最大弯矩处斗拱正应力绝对值最大值：σh21=去除量纲，求出以载荷F为变量的数值解： Mh21 max=0.2F1；σh21=4166.7F1 (27)
Mh21 max1
I
2
1
h (26)
iii)
分析斗拱③
1
斗拱③仅在x=5l2出受竖直向下的载荷，大小为2F1。斗拱③和斗拱④交接处的分析请见下文叙述。 iv) 分析斗拱④
斗拱④的分析和“研究不同层数的斗拱结构的承重能力时应用的模型-c)-第二层斗拱”的分析是一样的： 弯矩方程：
5
M(x)={1 (28) 11
−5F2l2 (5l2≤x≤2l2)
−F2x (0≤x≤l2)
1
弯矩绝对值最大值为：Mh22 max=5F2l2
最大弯矩处斗拱正应力最大值：σh22=
Mh22 max1
I
2
1
h (29)
去除量纲，求出以载荷F为变量的数值解： Mh22 max=0.2F2；σh22=4166.7F2 (30)
挠度方程数值解： ω(x)=
F2132711
x−x+≤x≤l)[] (0EI625300052
{F1
111122
[x−10x+40] (5l2≤x≤2l2)EI1012
(31)
得出：ω(l2)=0 (32)
v) 分析斗拱⑤
弯矩方程：M(x)=−2F1x
得出弯矩绝对值最大处：Mh11 max=F1l1
最大弯矩处斗拱正应力绝对值最大值：σh11=去除量纲，求出以载荷F为变量的数值解： Mh11 max=0.6F1；σh11=12500F1 (34)
10
Mh11 max1
I
2
h (33)
vi) 分析斗拱⑥
斗拱⑥的分析和“研究不同层数的斗拱结构的承重能力时应用的模型-a)”的分析是一样的：
弯矩方程：M(x)=−F2x
得出弯矩绝对值最大处：Mh12 max=F2l1
21
最大弯矩处斗拱正应力绝对值最大值：σh12=去除量纲，求出以载荷F2为变量的数值解： Mh12 max=0.3F2；σh12=6250F2 (36)
Mh12 max1
I
2
h (35)
挠度方程数值解： ω(x)=
F213[xEI6
−200x+1000] (0≤x≤2l1) (37)
991
b) 计算斗拱①和斗拱④所能承担的载荷的最大值 i) 斗拱①承担载荷F1的最大值：
F1的最大值由(25)(27)(34)三式确定。三式中的正应力均应小于许用应力[σ]。所以，实际上F1的最大值由式(34)决定。由σh11=12500F1≤[σ]得： F1≤0.8kN=Fh3 max (38) ii) 斗拱④承担载荷F2的最大值：
F2的最大值由(30)(36)两式决定。两式中的正应力均应小于许用应力[σ]。所以，实际上F2的最大值由式(36)决定。由σh12=6250F2≤[σ]得： F2≤1.6kN=Fh4 max (39)
c) 计算斗拱①和斗拱④所承载的梁 i) 斗拱①承载的梁： 令：
L=2.00m；梁两端加载载荷Fp=0.70kN；当梁对称摆放时，a=0.70m
利用⑷、⑹两式对L和a的值进行检验得：弯矩绝对值的最大值在x=a处取到，大小如⑸式所示,即：Md max=2qa2+Fpa 计算最大弯矩处的最大正应力绝对值：σd max=
Md max1
h I2
1
(40)
将各量去除量纲并代入数据，利用关系：σd max≤[σ]得到：
107b3−5512.5b2−1653.75≥0 (41) 解出唯一可行解：b≥0.05507 (42)
这时，斗拱两垫木分别承担的载荷大小为：F1=2qL+Fp=0.74kN<𝐹h3 max ii) 斗拱④承载的梁： 令：
L=2.00m；梁两端加载载荷Fp=1.40kN；当梁对称摆放时，a=0.50m
利用“研究不同层数的斗拱结构的承重能力时应用的模型-c)”中的计算结果： b≥0.06191 (43)
11
1
这时，斗拱两垫木分别承担的载荷大小为：F2=2qL+Fp=1.426kN<𝐹h3 max
1
六、 模型计算结果分析
1、研究层数对斗拱承重能力的影响
a) 对比“仅用立柱承载梁的情形”和“只有一层的斗拱承载梁的情形
仅用立柱承载梁 只有一层的斗拱承载梁 横梁宽度b (m)（梁长L都是2m） 梁两端加载载荷大小𝐅𝐩(kN) 0.070 1.00 0.069 1.40 表格 2 梁宽度相等，同时达到许用应力，比较梁两端载荷
从表中可以看出，虽然在“仅用立柱承载梁的情形”中梁中最大正应力绝对值比“只有一层的斗拱承载梁的情形”小9.8%，但是前者的梁两端加载载荷的大小比后者的小35.7%。而且两种情形中横梁的尺寸基本上是一样的。所以可以看出，在梁的尺寸相同的情况下，使用斗拱可以使梁两端可承受载荷的大小明显增加。
b) 对比“只有一层的斗拱承载梁的情形”和“有两层的斗拱承载梁的情形”
控制梁两端加的载荷相同，比较两种情况下横梁可以达到的尺寸（这里控制高宽比一定）
只有一层的斗拱承载梁 梁两端加载载荷大小𝐅𝐩(kN) 1.40 0.069 横梁宽度b (m)（梁长L都是2m）
有两层的斗拱承载梁 1.40 0.062 表格 3 梁两端载荷相等，同时达到许用应力，比较梁尺寸要求
从表中可以看出，有两层斗拱承载梁时，由于梁支撑点距离梁端点的距离不同，在梁中最大正应力达到许用应力的时候，对于横梁的尺寸要求是不一样的：相比之下，“有两层斗拱承载梁的情形”中，对于梁的尺寸要求（以梁宽b为指标）要低10.1%。
另外，在两种情形中，将梁的尺寸设为相同，让加载的载荷大小变化，可以看出，有两层斗拱承载梁的时候，最大载荷应该更大（但要考虑斗拱的承载能力），如下表所示：
控制梁的尺寸相同，比较两种情况下横梁可以承受的最大载荷
横梁宽度b (m)（梁长L都是2m） 梁两端载荷最大值𝐅𝐩(kN) 只有一层的斗拱承载梁 有两层的斗拱承载梁 0.060 0.91 0.060 1.27 表格 4 梁宽度相等，同时达到许用应力，比较梁两端载荷
可以看出，使用两层斗拱的结构，相比于只使用一层斗拱的结构，可以多承载39.6%的载荷。所以，在斗拱的承受范围内，在梁的尺寸一定时适当增加斗拱的层数可以增加梁可承受的最大载荷大小。
2、 研究多层不对称斗拱结构的承重状态
在该模型中，第二和第三层斗拱上分别加载一根横梁。数据对比如下表所示：
第二层斗拱承载梁 第三层斗拱承载梁 10.0 10.0 梁中最大正应力绝对值(Mpa) 0.062 0.055 横梁宽度b (m)（梁长L都是2m） 梁两端加载载荷大小𝐅𝐩(kN) 1.40 0.70 表格 5 多层不对称斗拱的半定量分析
12
在该模型的定量计算中未能进行有效的控制变量，所以仅能半定量地对结果进行分析。对于斗拱⑤，相当于第三层斗拱承载的整个梁的载荷都加在了斗拱⑤上面，所以因为要在第一层斗拱承受范围内进行对第三层斗拱进行加载，第三层斗拱承载的梁不能质量太大，并且该梁两端承载的载荷也不能太大。故而对第三层斗拱承载的梁的尺寸要求也就比较低。对于第二层斗拱承载的梁，情形和“研究不同层数的斗拱结构的承重能力时应用的模型”中“有两层的斗拱承载梁的情形”相同不必作过多分析。
在计算斗拱数据的过程中，同时计算了斗拱④和斗拱⑥的挠度方程。这是因为需要分析斗拱③和斗拱④联接处的情况。首先假设斗拱③和斗拱④在联接处不发生相互作用。斗拱⑤和斗拱⑥的联接处，不能保证斗拱⑤的切线是水平的，因而斗拱⑤的挠度方程无从确定。进而可以得知，斗拱③的挠度方程也是无从确定的。但是可以看出，由于斗拱⑤端点承受了2F1大小的载荷，斗拱③在该处的挠度一定是大于零的。这样，在斗拱③和斗拱④在联接处不发生相互作用的假设下，斗拱③挠度是大于零的。而由式(32)得：斗拱④在中点的挠度为零0。所以在设计模型构造榫卯结合结构时，令斗拱③在斗拱④上方。这样，斗拱③和斗拱④在析斗拱③和斗拱④联接处的配合问题就解决了。
七、 研究结论与讨论
在上述讨论中，我们建立了三种斗拱模型：单层斗拱、双层斗拱、多层级不对称斗拱；做了两组对比：立柱直接承重和单层斗拱结构的承重的对比，单层斗拱和双层斗拱的对比；做了一个分析：多层级不对称斗拱模型中个层斗拱的承重状态。通过分析的得到了关于斗拱结构承重的几点结论：
1． 斗拱可以增强横梁的承重能力，具体表现为两方面：当所加载荷一定时，增加斗拱
结构可以使梁的临界尺寸更小，从而使建筑结构更精巧；当梁的尺寸一定时，斗拱可以增大梁所能承受的最大载荷。这本质上是因为斗拱两爪与梁接触使得单位载荷引起的弯矩的最大值变小，从而梁的截面处最大应力值减小，增大了梁的承重能力。 2． 当结构的临界情况取决于梁结构（即认为结构的破坏最先发生于梁）时，可以看出，
增加斗拱层数可以增大梁的承重能力，即梁可以承受的最大载荷变大，而且在文中给定的参数和加载条件下，最大载荷的增加相当可观，说明这是一种很有效的改进承重能力的方式。
3． 在多层级不对称斗拱结构中，上层斗拱支撑梁的承载能力比下层要差一些，因为上
层加载要在下层承载范围内进行。而这也符合实际建筑的情况，所以为了有效地充分利用材料，可以对下层梁、斗拱以及立柱选择强度较大的材料，而上层可以适当选择强度较小的材料。
以上结论在斗拱的发展历史中也可以得到验证，斗拱结构从无到有，从单层到多层立体地发展起来的，到了明清时期，斗拱的结构已经相当复杂，因此可以设计出更好的力学性质。我们所建立的模型仅是很简单的类型，明显的局限包括以下方面： 1． 未考虑斗拱之间的啮合对结构带来的影响，把结合在一起的斗拱考虑成了一个整体，
如果将啮合考虑在内的话，需要利用挠度分析求解超静定问题。 2． 将梁简化成了仅受两个对称支撑的结构，从而使整个问题是静定的，在实际情况中，
往往有多个支撑装置来承受横梁。这样可以使梁的承载能力大大增加，文中所述仅是一种简单情况，但已经可以说明一定的问题。
3． 讨论的情况不够充分，比如在研究双层斗拱时，我们将双层斗拱的底层尺寸设计为
了和单层斗拱相同而增加第二层的尺寸，还应该讨论使上层尺寸和单层相同，而减小下层尺寸，这样可以全面分析出层数和承载能力的关系。
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总之，本文所建立的模型虽然有不完善的地方，但通过对它的分析所得到的一些结论是有合理性的，可以合理地解释和有效地指导工程实际。
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