晶格振动与晶体的热学性质习题集

第三章 晶格振动与晶体的热学性质

1.什么是简谐近似？

解：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。

2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义。

解：由一维单原子链的色散关系2的相速度为

msinqa ，可求得一维单原子链中振动格波2qa2 ………………（1） qa2 vp而其群速度为 vgqamsindqa acos ………………（2）dqm2由（1）式和（2）式可做出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线如下图3.1所示： vA2-4B-3B-2B-BB2B3B4B1q 图3.1 上图中Aam，Ba。曲线1代表vpqamsinqa2，曲线2代表qa2vgdqaacos。 dqm2由（1）式及结合上图3.1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。但当q0时，vpa.

m为一常数。这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原

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子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。

由（2）式及结合上图3.1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。但当q0，

vgvpa2am，体现出弹性波的特征，当q处于第一布区边界上，即qa时，vg0，

而vpm，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上

它是一种驻波。

3.周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q的取值将会怎样？

解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第tNj个原子的运动情况一样，其中t＝1，2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。 如果晶体是无限大，波矢q的取值将趋于连续。

4.什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？

解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为wj(q)的声子平均数为

nj(q)1ewj(q)/(kBT)1

对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。

5.试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处？

解：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒，但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。

6.晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？

解：我们知道晶体比热容的一般公式为

mE2e/(kBT)()dcV()VkB() /(kBT)2TkT(e1)B0由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时，问题的关键在于如何求角频率的分布函数()。但是对于具体的晶体来讲，()的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型中，

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假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出()的表达式。

爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容cV亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容cV以指数形式趋近于零，快于实验给出的以T3趋近于零的结果。德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度T3成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度D应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度D是不同的。

在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对比热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。

7.声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？U过程物理图像是什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗？

解：声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式

q1q2q3Gn

其中上式中的Gn表示一倒格子矢量。

对于Gn0的情况，即有q1q2q3，在碰撞过程中声子的动量没有发生变化，这种情况称为正规过程，或N过程，N过程只是改变了动量的分布，而不影响热流的方向，它对热阻是没有贡献的。对于Gn0的情况，称为翻转过程或U过程，其物理图像可由下图3.2来描述： q2q1q1+q2q1+q2+Gn 图3.2 U过程物理示意图 .

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在上图3.2中，q1q2是向“右”的，碰撞后q3是向“左”的，从而破坏了热流的方向，所以U过程对热阻是有贡献的。U过程没有违背普遍的动量守恒定律，因为声子不是实物量子，所以其满足的是准动量守恒关系。

8.简要说明简谐近似下晶体不会发生热膨胀的物理原因；势能的非简谐项起了哪些作用？

解：由于在简谐近似下，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的，随着温度升高，原子的总能量增高，但原子间的距离的平均值不会增大，因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。

势能的非简谐项在晶体的热传导和热膨胀中起了至关重要的作用。 9.已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为

()2N2(m2)12。

式中m是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于N。

解：由题意可知该晶格的振动模总数为

mm12N()d0022N(m2)md

arcsin m2N02N(0)N 22210.若格波的色散关系为cq和0cq，试导出它们的状态密度表达式。

解：根据状态密度的定义式可知

n ……………………（1）

0其中n表示在间隔内晶格振动模式的数目。

()lim如果在q空间中，根据(q)const作出等频率面，那么在等频率面和之间的振动模式的数目就是n。由于晶格振动模在q空间分布是均匀的，密度为V/(2)（V为晶体体积），因此有

n3V（频率为和＋的等频率面间的体积） 3(2)V(2)3dSdq ……………………（2） 将（2）式代入（1）式可得到状态密度的一般表达式为

()V(2)3dS ……………………（3）

q(q)（3）式中q(q)表示沿法线方向频率的改变率。

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当cq时，将之代入（3）式可得

2()V1V1V11/22dS4q 3323/2(2)q(q)(2)2cq(2)c2当0cq，将之代入（3）式可得

()V1V1V121/2 dS4q()03323/2(2)q(q)(2)2cq(2)c11.试求质量为m，原子间距为a/2，力常数交错为1，2的一维原子链振动的色散关系。当2101时，求在q0和qa处的(q)，并粗略画出色散关系。

解：下图3.3给出了该一维原子链的示意图

m 2 β1 2 β1 2

a 2 x2n-2 x2n+1 x2n x2n+1 x2n+2 x2n+3

图3.3

在最近邻近似和简谐近似下，第2n和第（2n+1）个原子的运动方程为

d2x2nm2(x2n1x2n)1(x2nx2n1)dt2  ……………（1） 2dx2n1m1(x2n2x2n1)2(x2n1x2n)2dt当2101时，上述方程组（1）可变为

d2x2nm101(x2n1x2n)1(x2nx2n1)dt2  ……………（2） 2dx2n1m1(x2n2x2n1)101(x2n1x2n)2dt为求格波解，令

qai[(2n)t]2x2nAe  ……………（3） qai[(2n1)t]2x2n1Be将（3）式代入（2）式，可导出线性方程组为

11112iqa/2iqa/2()A(10ee)B0mm  ……………（4） 1iqa/2111(e10eiqa/2)A(2)B0mm.

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令

1m2，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得 02224iqa/2eiqa/2)(eiqa/210eiqa/2)0 ……（5） (110)0(10e

2由（5）式可解出20(1120cosqa101)

当q0时，cosqa1，当q220，0 200，20

ω a时，cosqa1，其色散关系曲线如下图3.4所示： 220  200 20  πaOπaq 图3.4 原子间的力常数不相等的双原子链的晶格振动色散关系曲线 12.如有一维布喇菲格子，第2n个原子与第2n1个原子之间的力常数为；而第2n个原子与第2n1个原子的力常数为'。 （1） 写出这个格子振动的动力学方程； （2） 说明这种情况也有声学波和光学波； （3） 求q0时，声学波和光学波的频率； （4） 求q2a（a为晶格常数）时，声学波和光学波的频率。

解：（1）此题与（11）题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第2n和第2n1个原子的动力学方程为

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d2x2nm(x2n1x2n)'(x2nx2n1)dt2 ……………（1） 2dx2n1m'(x2n2x2n1)(x2n1x2n)2dt（2）为求出方程组（1）的格波解，可令

x2nAei[(2n)qat]  ……………（2） i[(2n1)qat]xBe2n1于是将（2）式代入（1）式，可导出线性方程组为

iqa'iqa'2()A(ee)B0mmm  ……………（3） 'iqaiqa'2(ee)A()B0mmm''222令，1，2从A、B有非零解的系数行列式等于零的条件可0mmm得

2224422 (0)(12212cos2qa)0 ……………（4）

由（4）式可解出

242（5） 201422122cos2qa ……………

由此可知，的取值也有和之分，即存在声学波和光学波 （3）由（5）式可知

当q0时，cos2qa1，有 声学波频率22220(122)，光学波频率0(122)

（4）同样由（5）式可知 当q2a时，cos2qa1，有

222222声学波频率012，光学波频率012 13.在一维双原子链中，如M/m1，

（1）求证：

12sinqa； M2m(1cos2qa)2。 mM12（2）画出与q的关系图（设M/m10）。

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解：（1）在一维双原子链中，其第2n个原子与第2n1个原子的运动方程为

d2x2nm(x2n1x2n12x2n)dt2  …………………2dx2n1M(x2nx2n22x2n1)2dt（1）

为解方程组（1）可令

x2nAei[(2n)qat]  …………………（2） i[(2n1)qat]x2n1Be将（2）式代入（1）式可得出

222()A(cosqa)B0mm  …………………（3） 22(cosqa)A(2)B0MM从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得

可解出得

(242(Mm)24Mmsin2qa0

Mm)(Mm)24Mmsin2qa ……………（4）

当（4）式中取“－”号时，有 12(Mm)mM14Mm22sinqa) ……………（5） 1(12(Mm)∵M/m1，∴（5）式中有

(Mm)MmMMmm，

4Mm4Mm4m222sinqasinqasinqa1

M(Mm)2M2那么（5）式可简化为

14m214m221(1sinqa)21(1sinqa)sin2qa

mM2MMm21 ∴12sinqa M12当（4）式中取“＋”号时，有

22(Mm)Mm(Mm)Mm4Mm2（6） 1cosqa ……………2(Mm).

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∵M/m1，∴（6）式中有

(Mm)MmMMmm，

(Mm)MmMMmm

4Mm4Mm4m22cosqacosqacos2qa1 22M(Mm)M那么（6）式可简化为

4m14m2m222(1cosqa)2(1cosqa)(1cosqa) mmMmm2MmM221 ∴22m(1cos2qa)2 mM1 （2）当M/m10时，则（4）式可化为 111212222sinqa 2210m100m5m2此时，与q的关系图，即色散关系图如下图3.5所示： ω 11/5m 2/m /5m /5m a2a O 2a  aq 图3.5 一维双原子链振动的色散关系曲线 14.在一维复式格子中，如果m51.671024g，M/m4，1.5N/m。求： (1) 光学波频率的最大值、最小值及声学波频率的最大值； (2) 相应的声子能量是多少eV?

(3) 这3种声子在300K时各有多少个？

(4) 如果用电磁波激发光频振动，要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长在什么波段？

解：(1)由于光学波频率的最大值和最小值的计算公式分别为：

max2

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mMm51.6710246.681024g为约化质量 上式中mMm/M11/41min所以有：

2 mmax21.52.121013Hz 2436.68101021.5131.9010Hz 24351.671010min 而声学波频率的最大值的计算公式为：

max2M2

Mmm 所以有：

max (2)相应的声子能量为：

21.5129.5010Hz 243451.671010maxmax6.62510342.1210132.2361021J1.40102eV

23.146.62510341.9010132.0041021J1.25102eV

23.146.62510349.5010121.0021021J0.625102eV

23.14minminmaxmax(3)由于声子属于玻色子，服从玻色—爱因斯坦统计，则有

nmax1emax/(kBT)11e2.2361021/(1.381023300)11.401

nmin1emin/(kBT)11emax/(kBT)1e2.0041021/(1.381023300)11.612

nmax11e1.0021021/(1.381023300)13.654

(4)如用电磁波来激发光频振动，则要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长应满足如下关系式：

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2cmax23.142.99810858.8810m 132.121015.在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界q2a处，声学支格波中所有

轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图像。

解：设第2n个原子为轻原子，其质量为m，第2n1个原子为重原子，其质量为M，则它们的运动方程为

d2x2nm(x2n1x2n12x2n)dt2  …………………（1） 2dx2n1M(x2nx2n22x2n1)2dt为解方程组（1）可令

x2nAei[(2n)qat]  …………………（2） i[(2n1)qat]x2n1Be将（2）式代入（1）式可得出

222()A(cosqa)B0mm  …………………（3） 222(cosqa)A()B0MM从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得

可解出得

(242(Mm)24Mmsin2qa0

Mm)(Mm)24Mmsin2qa ……………（4）

2 m令q2a，则可求得声学支格波频率为2，光学支格波频率为M由方程组（3）可知，在声学支中，轻原子m与重原子M的振幅之比为

A2cosqa/m0 B2/m2/M由此可知，声学支格波中所有轻原子m静止。

而在光学支中，重原子M与轻原子m的振幅之比为

B2cosqa/M0 A2/M2/m由此可知，光学支格波中所有重原子M静止。 此时原子振动的图像如下图3.6所示：

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. (a)轻原子重原子(b) 图3.6 （a）声学支格波原子振动图；（b）光学支格波原子振动图 16.从一维双原子晶格色散关系出发，当m逐渐接近M和mM时，在第一布里渊区中，晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。 解：一维双原子晶格的色散关系为 2(Mm)(Mm)24Mmsin2qa 由此可做出如下图3.7的一维双原子链振动的色散关系曲线图 ω    a2a O 2a  aq 图3.7一维双原子链振动的色散关系曲线 由上图可以看出，当m逐渐接近M时，在第一布里渊区边界，即q2a处，声学波的频率开始增大，而光学波的频率则开始减小，而当mM时，则声学波的频率和光学波的频率在q2a处相等，都等于

2。 M2而在一维单原子链中，其色散关系为4qasin2，由此可见，在一维单原子链M2中只存在一支格波，其色散关系曲线与一维双原子链中的声学波的色散关系曲线基本相似，在其布里渊区边界，即q边界的频率值的2倍。

a处，其格波频率为2M，是双原子链的格波在布里渊

.

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17.设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为

()式中m为格波的截止频率。

9N3m2。

解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系

vpq ……………………（1）

那么格波的状态密度为

()V14q2 3(2)ddqV2  3 ……………………（2）22vpm又根据 将（2）式代入（3）式得

()d3N ……………………（3）

0V2 （4） 3d3N ……………………2vp023Vm由（4）式可得 v ……………………（5） 218N3pm把（5）式代入（2）式即可得 ()9N3m2

1，试用德拜模型求一维、二维和三维晶体的总零2点振动能。设原子总数为N，一维晶格长度为L，二维晶格的面积为S，三维晶格的体积为V。

18.设晶体中每个振子的零点振动能是 解：(1)一维晶体的总零点振动能为：

N1E0(n(qj))(qj)n(qj)(qj)

2qjqjN (ej1N1j/(kBT)Nj1 )jj/(kBT)211j1e 设()d表示角频率在d之间的格波数，而且

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m0()dN ………………………………………(1)

上式中：m是最大的角频率；N为晶体中的原子数。则上述的总零点能可以写成：

E0(0m1e/((kBT)m1()d ………………………………………(2) 02dZdZdq ………………………………………(3) ddqdm1)()d()d /(kBT)021e1考虑到一维晶体中，其状态密度为：

()由于德拜模型考虑的是长声学波的影响，而长声学波可以看成连续媒质弹性波。对于

弹性波，一个波矢对应一个状态，则有： Z2q/q2qqL

2/Lx故

dZL ………………………………………(4) dq对于弹性波，vPq，则

dvP ………………………………………(5) dq将(4)和(5)式代入(2)式，得： ()L ………………………………………(6) vP将(6)式代入(1)式，可得：mNvPL

将(6)式代入(2)式，可得一维晶体的总零点振动能： E0NvPL0N2vP1L d2vP4L(2)对于二维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法相似，只是对

于(1)式要改为：

m0()d2N ………………………………………(7)

而对于二维晶体，其状态密度函数为： ()S ………………………………………(8) 2vP.

.

12将(8)式代入(7)式可得：m4NvS2P 32将(8)式代入(2)式可得二维晶体的总零点振动能为：

1E024NvPS02SvP4N1Sd 222vP6S(3) 对于三维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法也基本相似，

只是对于(1)式要改为：

m0()d3N ………………………………………(9)

而对于三维晶体，其状态密度函数为：

3V2 () ………………………………………(10) 322vP将(10)式代入(9)式可得：m6Nv V6NV223P13将(10)式代入(2)式可得三维晶体的总零点振动能为：

1 E036N2vPV033VvP1V23d22vP1622 4319.应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的状态密度、德拜温度、晶格比热容。

解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系

vpq ……………………（1）

（1）在一维情况下，晶格振动的状态密度为 ()L1L2 ……………………（2） d2vpdq上式中，L表示一维晶格的总长度。

m又由关系式

m ()dN ……………………（3）

0将式（3）代入式（2）可得

NvpLdN，由此求得 mLvp0mNvp于是德拜温度D kBkBL晶体的比热容为

cV.

m02e/(kBT)LkB()d /(kBT)2kBT(e1)vp.

2kBTL vpm/(kBT)0x2exx （其中） dxx2kBT(e1)（2）在二维情况下，晶体振动的格波有2支，即一支纵波和一支横波，在德拜模型中，假设纵波和横波的波速相等，都等于vp，即纵波和横波都有如下的色散关系 vpq

先考率纵波，其状态密度为

1()S(2)21S2q d2v2pdq类似地可以写出横波的状态密度为2()加起来总的状态密度为

S 2v2pS …………………（4） 2vp()1()2()m又由关系式

()d2N ……………………（5）

02Pm将（4）式代入（5）式得

4NvS，由此可得d2Nm2S0vp2P 12于是得德拜温度为D而晶体的比热容为 cVm4NvkBkBSm 1202e/(kBT)SkB()d

kBT(e/(kBT)1)2v2pm/(kBT)32kBTS 2v2p0x3exx （其中） dxx2kBT(e1)20.已知金刚石的弹性模量为1×1012N/m2，密度为3.5g/cm3。试计算金刚石的德拜温度D。

解：假设金刚石的原子振动的格波为一连续介质的弹性波，其波速为

vpK1101241.6910m/s 33.510而又金刚石的原子密度为n.

N0MC3.510323293

个/m 6.02101.7561031210.

由此可知金刚石的德拜温度为 Dmvp(6n2)1/3 kBkB1.05510341.691042921/3(61.756103.14) 231.38110 2817K

21.具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2×10-10m，由于非线性相互作用，一个沿[100]方向传播，波矢大小为q1.310m-1的声子同另一个波矢大小相等当沿[110]方向传播的声子相互作用，合成为第3个声子，试求合成后的声子波矢。

解：易知简单立方格子的倒格子仍是一简单立方格子，其倒格基矢b1、b2和b3互相垂直，长度为

10223.143.141010m-1，第一布里渊区就是原点和六个近邻格点连10a210线的垂直平分面围成的立方体。

又因为

q1q21.31010i(1.310221010i1.31010j) 2210 2.2210i0.9210j

由此可知q1q2落在第一布里渊区之外，即可知题所述两声子的碰撞过程是一个翻转过程或U过程，此时两声子的碰撞产生第三声子满足准动量守恒，即有

q1q2q3Gn （其中Gn表示一倒格矢）

10为使q3落在第一布里渊区里，取Gn3.1410i，则有

101010 q3q1q2Gn2.2210i0.9210j3.1410i

0.9210i0.9210j

其大小为q30.9210i0.9210j1.310m-1 22.设某离子晶体离子间的相互作用势能为

1010101010u(r)e240rB。 2r式中B为待定常数；r为近邻原子间距。求该晶体的线膨胀系数。已知近邻原子的平均距离为3×10-10m。

解：由平衡条件

du(r)dr0，可得

r0.

.

e2r02B 30 由此可得B28040r0r0e2于是可求得

1d2u(r)e21d3u(r)e2， g( C()r)r2!dr2080r033!dr3040r04那么线膨胀系数为

.

1dr3gkB120kBr0C2r2 0dT40e123.148.85410121.381102331010 (1.61019)2 5.4105K-1