初高中数学衔接教材

目 录

第一讲 运算 1.1 乘法公式 1.2分式

1.3 因式分解

1.3.1 提取公因式

1.3.2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差） 1.3.3分组分解法

1.3.4十字相乘法（重、难点）

1.3.5关于x的二次三项式ax2＋bx＋c (a≠0)的因式分解．

第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 第三讲 几何

3.1 三角形的“四心”

3.2 平行线分线段成比例定理 3.3 四点共圆

第一讲 运算 1.1 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (ab)(ab)a2b2；

（2）完全平方公式 (ab)2a22ab2．b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 (ab)(a2ab2b)3a；3b （2）立方差公式 (ab)(a2ab2b)3a；3b （3）三数和平方公式 (abc)2a22b2c2(abbc；（4）两数和立方公式 (ab)3a33a2b3a2b；3b （5）两数差立方公式 (ab)3a33a2b3a2b．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)． 解法一：原式=(x21)(x21)2x2

=(x21)(x4x21) =x61．

解法二：原式=(x1)(x2x1)(x1)(x2x1) =(x31)(x31) =x61．

例2 已知abc4，abbcac4，求a2b2c2的值． 解： a2b2c2(abc)22(abbcac)8． 练 习

1．填空：

（1）

19a214b2(112b3a)（ ）； （2）(4m )216m24m( )；

(3 ) (a2bc)2a24b2c2( )． 2．选择题：

（1）若x212mxk是一个完全平方式，则k等于 （ （A）m2 （B）14m2 （C）12123m （D）16m（2）不论a，b为何实数，a2b22a4b8的值 （ （A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

2 / 28

c)a ）

）

1.2 分式

1．分式的意义

形如

AAA的式子，若B中含有字母，且B0，则称为分式．当M≠0时，分式具BBB有下列性质：

AAMAAM； ． BBMBBM 上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式 amnp像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

2mcdnp3．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式． 一般地，ax与x，axby与axby，axb与axb互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

5x4AB例1 若，求常数A,B的值．

x(x2)xx2ABA(x2)Bx(AB)x2A5x4解： ∵，（对应系数相等）

xx2x(x2)x(x2)x(x2)AB5, ∴ 解得 A2,B3．

2A4,111例2 （1）试证：（其中n是正整数）；

n(n1)nn1111 （2）计算：； 12239101111． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有 2334n(n1)211(n1)n1（1）证明：∵，

nn1n(n1)n(n1)111 ∴（其中n是正整数）成立．

n(n1)nn1

（2）解：由（1）可知

9． 101112231111 (1)()910223111()1 ＝91010（3）证明：∵

11， 2n111233411111＝()()2334n(n1)11()＝nn1 又n≥2，且n是正整数，∴ ∴例3 设e1123341

一定为正数， n＋111＜2 ． n(n1)c，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． a解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0， ∴(2e－1)(e－2)＝0，

1

∴e＝2 ＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．

例4、计算：3(33)．

333(33) ＝ (33)(33)333 933(31) ＝

631 ＝．（分母有理化）

213331解法二： 3(3 ＝ ＝＝3＝)31(31)(31)333(31)解法一： 3(33＝)3

＝

＝31 2例5 试比较下列各组数的大小：

（1）1211和1110； （2）解： （1）∵1211 112和22－6. 641211(1211)(1211)1， 11211121111110(1110)(1110)1110111， 1010又12111110，（分子有理化） ∴1211＜1110．

22－6(22－6)(22+6)2, 122+622+6 （2）∵22－6 又 4＞22，

∴6＋4＞6＋22，

∴264＜22－6. 练 习

1．填空题：对任意的正整数n，1n(n2) (11nn2)；

2．选择题：

若2xyxy23，则xy＝ （A）１ （B）54 （C）465 （D）53．正数x,y满足x2y22xy，求xyxy的值．

4．计算（1）112123134...199100． （2）111111223344556________．

） （

1.3 因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1． 提取公因式法

例1 分解因式：

（1） a2b5a5b （2）x393x23x 解：（1）．a2b5a5b=a(b5)(a1)

（2）法一：x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3) =(x3)(x23)．

法二：x393x23x＝(x33x23x1)8＝(x1)38＝(x1)323 ＝[(x1)2][(x1)2(x1)222] ＝(x3)(x23) 课堂练习：

一、填空题：

1、多项式6x2y2xy24xyz中各项的公因式是_______________。 2、mxynyxxy__________________。 3、mxynyxxy____________________。

2224、mxyznyzxxyz_____________________。 5、mxyzxyzxyz______________________。 6、13abx39abx分解因式得_____________________。 7．计算9999=

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）

1、2ab4ab2abab………………………………………………………… （ ）

222263252、ambmmmab…………………………………………………………… （ ） 3、3x36x215x3xx22x5…………………………………………… （ ） 4、xnxn1xn1x1……………………………………………………………… （ ）



2．公式法

例2 分解因式： （1）a416 （2）3x2yxy

22解：(1)a416=42(a2)2(4a2)(4a2)(4a2)(2a)(2a)

22 (2) 3x2yxy=(3x2yxy)(3x2yxy)(4xy)(2x3y)

课堂练习

222233一、a2abb，ab，ab的公因式是______________________________。

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）

422221、x20.01x0.1x0.1 x0.1………………………… （ ）

9333222、9a28b23a4b3a4b 3a4b ………………………………… （ ）3、25a216b5a4b 5a4b………………………………………………… （ ）4、x2y2x2y2xy xy………………………………………… （ ）

25、a2bcabc abc……………………………………………… （ ）三、把下列各式分解

21、9mnmn 2、3x2221 3

3、4x24x2 4、x2x1

2423．分组分解法

例3 （1）x2xy3y3x （2）2x2xyy24x5y6． （2）法一：2x2xyy24x5y6=2x2(y4)xy25y6

=2x2(y4)x(y2)(y3)=(2xy2)(xy3)．

法二：2x2xyy24x5y6=(2x2xyy2)(4x5y)6 =(2xy)(xy)(4x5y)6 =(2xy2)(xy3)．

课堂练习：用分组分解法分解多项式 （1）x2y2a2b22ax2by

22（2）a4ab4b6a12b9

4、十字相乘法

例4 分解因式：

（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x2(ab)xyaby2； （4）xy1xy．

解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1 x x 1 －1 －2 －ay －1

1 x x 1 6 －2 －by －2 图1．1－3 图1．1－1 图1．1－4 图1．1－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．

（2）由图1．1－3，得

x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．1－4，得

x2(ab)xyaby2＝(xay)(xby) （4）xy1xy＝xy＋(x－y)－1

＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）．

课堂练习

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

（1）x5x6__________________________________________________。 （2）x5x6__________________________________________________。 （3）x5x6__________________________________________________。 （4）x5x6__________________________________________________。 （5）xa1xa__________________________________________________。

22222x y

－1 1

图1．1－5

（6）x11x18__________________________________________________。 （7）6x7x2__________________________________________________。 （8）4m12m9__________________________________________________。 （9）57x6x__________________________________________________。 （10）12xxy6y__________________________________________________。 2、x4x x3x 

2222222 ，b 。 3、若xaxbx2x4则a 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

21、在多项式（1）x7x6（2）x4x3（3）x6x8（4）x7x10 （5）x15x44中，有相同因式的是（ ） A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）

22222C、只有（3）（5）

2D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

22、分解因式a8ab33b得（ ） A、a11 a3 B、a11b a3b C、a11b a3b D、a11b a3b 3、ab8ab20分解因式得（ ）

2A、ab10 ab2 B、ab5 ab4 C、ab2 ab10 D、ab4 ab5

4、若多项式x3xa可分解为x5xb，则a、b的值是（ ）

2A、a10，b2 B、a10，b2 C、a10，b2 D、a10，b2

5、若x2mx10xa xb其中a、b为整数，则m的值为（ ） A、3或9 B、3 C、9 D、3或9 三、把下列各式分解因式

1、62pq11q2p3 2、a5ab6ab

4223、2y4y6 4、b2b8

2322

5．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式

ax2bxc(a0)就可分解为a(xx1)(xx2).

例5 把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）x22x1； （2）x24xy4y2． 解： （1）令x22x1=0，则解得x112，x212，

 ∴x22x1=x(12)x(12)

=(x12)(x12)．

（2）令x24xy4y2=0，则解得x1(222)y，x1(222)y， ∴x24xy4y2=[x2(12)y][x2(12)y]．

练 习

1．选择题：

多项式2x2xy15y2的一个因式为 （ ） （A）2x5y （B）x3y （C）x3y （D）x5y 2．分解因式：

（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1； （4）4(xy1)y(y2x)．

习题1．3

1．分解因式：

（1） a1； （2）4x13x9；

（3）bc2ab2ac2bc； （4）3x25xy2y2x9y4．

2．在实数范围内因式分解：

（1）x5x3 ； （2）x22x3；

（3）3x24xyy2； （4）(x22x)27(x22x)12．

3．ABC三边a，b，c满足abcabbcca，试判定ABC的形状．

4．分解因式：x2＋x－(a2－a)

2222223422

第二讲 函数与方程

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

如求方程的根（1）x2x30(2) x2x10 (3) x2x30

222

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

b2b24ac a(x)． ①

2a4a2因为a≠0，所以，4a2＞0．于是

（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

bb24ac x1，2＝；

2a（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

x1＝x2＝－

b； 2ab2)2a（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

bb24ac x1，2＝；

2a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

b x1＝x2＝－；

2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

aa24aa24， x2． x122（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，

所以，

①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；

②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1．

（4）由于该方程的根的判别式为

Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以

①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根 x111a， x211a；

②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；

③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．

说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

2

bb24acbb24ac x1，x2，

2a2a则有

bb24acbb24ac2bb x1x2；

2a2a2aa2bb24acbb24acb2(b4ac)4acc x1x22． 22a2a4a4aa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

b 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2

ac＝．这一关系也被称为韦达定理． a 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，

即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 例2 已知方程5xkx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22＋k×2－6＝0， ∴k＝－7．

3所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．

53所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．

563解法二：设方程的另一个根为x1，则由韦达定理： 2x1＝－，∴x1＝－．

553k由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．

553所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．

5

例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．

22

∵x1＋x2－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，

即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17．

当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．

综上，m＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．

（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的

2判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．

解法一：设这两个数分别是x，y， 则 x＋y＝4， ①

xy＝－12． ② 由①，得 y＝4－x， 代入②，得

x(4－x)＝－12，

即 x2－4x－12＝0， ∴x1＝－2，x2＝6．

x12,x26, ∴ 或

y6,y2.12因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0 的两个根．

解这个方程，得

x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．

例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值；

11（2）求22的值；

x1x2（3）x13＋x23．

解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，

53 ∴x1x2，x1x2．

2253 （1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝()24()

222549 ＝＋6＝，

447 ∴| x1－x2|＝．

25325()22()3222x1x2(x1x2)2x1x21137224 （2）2222． 239x1x2x1x2(x1x2)9()224 （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]

553215)×[(－)2－3×()]＝－． 2228 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则

＝(－

bb24acbb24ac，x2， x12a2abb24acbb24ac2b24ac∴| x1－x2|＝ 2a2a2ab24ac ． |a|a||于是有下面的结论：

若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（其|a|中Δ＝b2－4ac）．

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

解：设x1，x2是方程的两根，则

x1x2＝a－4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②

由①得 a＜4，

17

由②得 a＜4 ．∴a的取值范围是a＜4．

变式：若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于2、另一根小于2，求实数a的取值范围．

练 习

1．选择题：

（1）方程x23kx3k0的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值

范围是 （ ） （A）m＜

2211 （B）m＞－ 4411 （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0

442．填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则

11＝ ． x1x2（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．

3．已知a28a16|b1|0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实

数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

习题2.1 A 组

1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为7； 3④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）

（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0或－1

2．填空:

（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ． （2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ． 3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实

数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

m20． 4．已知关于x的方程x(m2)x42求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

B 组

1．选择题:

若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为

（ ）

（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空:

（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等

于 ．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值

是 ．

3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求： （1）| x1－x2|和

（2）x13＋x23．

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．

5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

x1x2； 2

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

b4acb2,)，（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为(2a4abbb对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着

2a2a2ab4acb2x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．

2a4ab4acb22

,)， （2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为(2a4abbb对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着

2a2a2ab4acb2x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．

2a4a2

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在

今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

y x＝－b 2ay b4acb2,) A(2a4aO x O x＝－图2.2-4

x b4acb2,) A(2a4a图2.2-3

b 2a

例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4； 当x＜－1时，y随着x的增大而增大； 当x＞－1时，y随着x的增大而减小；

A(－1,4) y D(0,1) C O B x＝－1 图2.2－5

x 采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B(C(233,0)和3233与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）． ,0)，

3说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

函数y＝ax2＋bx＋c图象作图要领： （1）、确定开口方向：由二次项系数a决定

b（2）、确定对称轴：对称轴方程为x

2a（3）、确定图象与x轴的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由方程

x2＋bx＋c=0求出②①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①若△<0则与x轴有无交点。

（4）确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c） （5）、由以上各要素出草图。

练习：作出以下二次函数的草图

（1）yxx6 (2)yx2x1

22(3) yx1

2

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示： 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋b 将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有

70130kb, 50150kb,解得 k＝－1，b＝200． ∴ y＝－x＋200． 设每天的利润为z（元），则

z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000 ＝－(x－160)2＋1600，

∴当x＝160时，z取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元． 练 习

1．下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）

（A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x 2．填空题 （1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ． （2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当

m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点． （3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标

为 ；当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．

（1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2．

4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2； （2）x≤2； （3）－2≤x≤1； （4）0≤x≤3．

2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．

当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有

ax2＋bx＋c＝0． ①

并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐

标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．

于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以

bcx1＋x2＝，x1x2＝，

aabc即 ＝－(x1＋x2)， ＝x1x2．

aabc 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(x2x)

aa = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2] ＝a(x－x1) (x－x2)．

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2．

又顶点在直线y＝x＋1上， 所以，2＝x＋1，∴x＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．

设该二次函数的解析式为ya(x2)21(a0)， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴1a(32)21，解得a＝－2． ∴二次函数的解析式为y2(x2)21，即y＝－2x2＋8x－7．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)， 展开，得 y＝ax2＋2ax－3a，

12a24a24a， 顶点的纵坐标为

4a由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2， ∴|－4a|＝2，即a＝1． 212313xx，或y＝－x2x． 2222所以，二次函数的表达式为y＝

分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又

由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴对称轴为直线x＝－1． 又顶点到x轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，

∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．

∴a＝－

11，或a＝． 2211(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2． 22 说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

22abc, 8c,84a2bc,所以，所求的二次函数为y＝－ 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．

所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

练 习

1．选择题:

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定

1

（2）函数y＝－ (x＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）

2

（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) 2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可

设为y＝a (a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．

第三讲 几何 3.1 三角形的四心

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图3.2-1

图3.2-2

如图3.2-1 ，在三角形△ABC中，有三条边AB,BC,CA，三个顶点A,B,C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 1、三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

已知 D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.

图3.2-3

2、三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-4）

ID=IE=IF=r

图3.2-4

3、三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心. 锐角三角形的垂心一定在三角形的内部， 直角三角形的垂心为他的直角顶点，

钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-6）

图3.2-6

4、三角形各边的垂直平分线的交点.叫做三角形的外心

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

练习

1． 求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形. 2．（1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a、b、c，则三角形的内切圆的半径是___________;

（2）若直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.

3.2平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.

在一张方格纸上，我们作平行线l1,l2,l3（如图3.1-1），直线a交l1,l2,l3于点A,B,C，AB2,BC3，另作直线b交l1,l2,l3于点A',B',C'，不难发现

A'B'AB2. B'C'BC3我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，l1//l2//l3，有

ABDEABDE=.当然，也可以得出.在运用该定理解决BCEFACDF图3.1-1

问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 例1 如图3.1-2， l1//l2//l3， 且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF.

例2 在ABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE//BC，

图3.1-2

求证：证明（1）

ADAEDE. ABACBCDE//BC,ADEABC,AEDACB,

ADAEDE. ABACBC证明（2） 如图3.1-3，过A作直线l//BC，

ΔADE∽ΔABC，l//DE//BC, ADAE. ABAC过E作EF//AB交AB于D，得BDEF， 因而DEBF.

AEBFDEEF//AB,.

ACBCBC图3.1-3

∴从上例可以得出如下结论：

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

D在AC上，AD:DC2:1，例3 已知ABC，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上. 解 假设能找到，如图3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作EG//AC交BD于G.

EG//AC,EFFC，

∆EGF≌∆CDF，且EGDC，

1BEEG1, EG∥AD 且EG=AD，∴

2BAAD2E为AB的中点.

可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上.

图3.1-4

我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.

例4 在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，求证：

ABBD=. ACDC证明 ：

例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.

练习 1．如图3.1-6，l1//l2//l3，下列比例式正确的是（ ）

AD=DFCE=C．DFA．CEAD= B．

BCBEADAF= D.

BCDFBC AFBE CE图3.1-6 图3.1-7

2．如图3.1-7，DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,求BF.

3．如图，在ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.

图3.1-8 ABBD=4．如图，在ΔABC中，∠BAC的外角平分线AD交BC的延长线于点D，求证：.

ACDC（三角形外角平分线定理）

图3.1-9

5．如图，在ΔABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：

DFAC=. EFAB图3.1-10

3.3证明四点共圆的基本方法

1、利用圆的定义

根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这个圆是以定点为圆心，以定点到这几个点中任一点的距离为半径。

2、利用三角形的关系

(1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆；

(2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。

CDD DCD O OAB BA图7-39

图7-40

3、利用四边形的关系

(1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆(图7-41)； (2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆

D D

CC

O O ABEBA图7-41图7-42