华二数学校本教材第六章 三角函数(修改稿)

三角学起源于对三角形边角关系的定量研究，从土地勘测到天体测量，三角学发挥着重要的作用．随着三角函数概念的引入，三角函数就成为了三角学的主要研究对象，内容包括三角函数的性质和图像、三角函数式的恒等变换和解三角形等等．在高等数学中，三角也扮演着重要的角色，富里哀把函数看作三角函数的无穷级数之和，三角函数就成为了调和分析的基石．

虽然三角学是数学中历史悠久的内容，但是在现代生活中我们经常会遭遇到与三角学关系十分密切的现象，比如地图测绘、圆周运动、周而复始的周期现象等等．

§6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像（Graphs and Properties of Sine and Cosine Functions）

对函数概念的回顾：

在某个变化过程中有两个变量x、y，若对于某个数集D内的每一个值x，按照某个对应法则

f，存在唯一确定的值y与之对应，则y叫做x的函数． 设A、B都是非空数集，若f是A到B的映射，则f是A到B的一个函数．记为yf(x)． 每一个实数x都有唯一确定的角与之对应，而这个角又可以与它的三角比sinx（或cosx）对应，即每个实数x都可以与唯一确定的值sinx（或cosx）对应．按这样的对应法则建立起来的函数，表示为ysinx（或ycosx），叫做自变量为x的正弦函数（sine function）（或余弦函数（cosine function））．ysinx和ycosx的定义域都是R，值域都是[1，1]． ysinx(xR)，ycosx(xR)的性质：

1.奇偶性

∵ 根据诱导公式，对xR，有sin(x)sinx，cos(x)cosx，

∴ ysinx(xR)是奇函数，ycosx(xR)是偶函数． 例1.求证：f(x)|sinx|是偶函数．

证明：∵ 对xR，有f(x)|sin(x)||sinx|f(x)，

∴ f(x)|sinx|是偶函数．

例2.研究函数f(x)sinxcosx的奇偶性．

解：∵ f(4)sin(4)cos(4)0，f(4)sin(4)cos(4)∴ f(x)sinxcosx既不是奇函数，也不是偶函数． 另解：若f(x)f(x)，即 sin(x)cos(x)sinxcosx，

则 sinx0，即 xk，kZ．

若f(x)f(x)，即 sin(x)cos(x)sinxcosx，

2，

kZ． 则 cosx0，即 xk2，∴ f(x)sinxcosx既不是奇函数，也不是偶函数．

说明：对于f(x)sinxcosx，虽然有无数多个实数x，满足f(x)f(x)，但是f(x) 并不是偶函数．同理f(x)也不是奇函数．函数的奇偶性是函数的整体性质．

若f(x)是奇函数，则f(x)f(x)对于定义域内的每一个x恒成立；

若f(x)是偶函数，则f(x)f(x)对于定义域内的每一个x恒成立．

2.周期性

生活中有许多周而复始的现象，例如春夏秋冬的更迭，每星期7天等等．

kZ． 在数学中也有类似的现象例如诱导公式sin(2kx)sinx，定义：对于函数f(x)，若存在非零常数T，使得定义域内的任意x，都有f(xT)f(x)，则称

1

，称T为函数f(x)的周期（period）． f(x)为周期函数（periodic function）

对定义的理解：

1.为什么T是非零常数？

若T可以等于0，则任何函数都是周期函数了．若T不是常数，而是变量的话，则体现不出周期函数周而复始的特点．

2.为什么f(xT)f(x)要在定义域内恒成立？

f(xT)f(x)在定义域内恒成立体现了经历了一定的间隔之后，函数值会重复再现．

问题：由sin(42)sin4，能否得出2是函数f(x)sinx的周期？

解答：不能．因为sin(42)sin4是偶然现象，sin(x2)sinx并不对任意实数都成立．

若周期函数的正周期有最小值，则此最小值叫做周期函数的最小正周期． 最小正周期的价值：保留周期函数完整性质的最小单位．

对于sin(2kx)sinx(kZ)，当k0时，2k是f(x)sinx的周期，2是不是

f(x)sinx的最小正周期呢？

假设存在T，满足0T2，且是函数f(x)sinx的周期，即f(xT)f(x)，

令x2，得 1sin2sin(T2)cosT，与0T2时，cosT1矛盾． 课堂活动·大家谈

问题：是否周期函数必有最小正周期呢？

xQ1，解答：不一定，例如Dirichlet函数D(x)．

0，xCQR 任何非零有理数都是Dirichlet函数的周期，但是Dirichlet函数并没有最小正周期．

例3.已知A、0，求证：函数f(x)Asin(x)的最小正 、都是常数，且A0，周期是．

解：∵ 对于任何实数x，

2f(x2)Asin[(x2)]Asin(x2)Asin(x)f(x)，

∴ 是函数f(x)Asin(x)的周期．

可以证明是函数f(x)Asin(x)的最小正周期． 3.函数图像

若把角x的顶点置于坐标系uOv的原点，角x的始边与Ou轴重合，终边与单位圆的交点为

22P(u，v)，则sinxv，cosxu．

2)上连续变化的时候，都有单位圆上点P(u，v)与之对应．相应地 当x在区间[0，在坐标系xOy中，描绘出点Q(x，v)和点R(x，u)．点Q便勾画出正弦函数ysinx一个

周期的图像，点R便勾画出余弦函数ycosx一个周期的图像．然后再利用函数的周期性将图像向

左右延伸，便得到正弦函数和余弦函数的图像．

2

例4.作出函数ysinxcosx在[0，2]上的图像． 解：ysinxcosx2sin(x4)．

列表：

描点作图．4.单调性



∵ 当x[2，2]时，角x的始边与单位圆的交点的纵坐标随x的递增而递增， ∴ 函数ysinx在[2，2]上单调增．

∵ 当x[2，2]时，角x的始边与单位圆的交点的纵坐标随x的递增而递减， ∴ 函数ysinx在[2，2]上单调减． 同理可得，函数ycosx在[0，]上单调减，在[，2]上单调增．

拓展：函数ysinx在[2k2，2k2]上单调增，在[2k2，2k2]上单调减，其

中kZ．

函数ycosx在[2k，2k]上单调减，在[2k，2k2]上单调增，其中

333kZ．

说明：若yf(x)是定义在实数集R上的周期函数，最小正周期是T，[a，b]是yf(x)的单调

区间，则对任意整数k，[kTa，kTb]均是yf(x)的单调区间．

例5.比较下列数对的大小：

（1）sin7与sin；（2）cos9与cos8687377，088398∴ cos8cos9．

398987839．

387解：（1）∵ 2762，且ysinx在[2，2]上单调减，∴ sin7sin6． （2）∵ cos8cos，且ycosx在[0，]上单调减，

例6.求函数ysinxcosx的单调增区间． 解：ysinxcosx2sin(x4)．

3kZ， ∴ 2k4x2k4，kZ． ∵ 2k2x42k2，2k4](kZ)． ∴ 函数ysinxcosx的单调增区间是[2k4，例7.求函数y2cos(3x3)的单调减区间．

3kZ， ∴ 3解：∵ 2k3x32k，∴ 函数y2cos(3x3)的单调减区间是[3课堂活动·自己想

3

2k2k2k4，kZ． 9392k4，](kZ)． 939x能否说ysinx在第一象限是增函数？

5.最值

回顾：函数ysinx在[2k2，2k2]上单调增，在[2k2，2k2]上单调减，其

中kZ．

函数ycosx在[2k，2k]上单调减，在[2k，2k2]上单调增，其中

3kZ．

结论：当x2k2(kZ)时，函数ysinx取最大值1； 当x2k2(kZ)时，函数ysinx取最小值1． 当x2k(kZ)时，函数ycosx取最大值1； 当x2k(kZ)时，函数ycosx取最小值1． 例8.求函数yasinxbcosx(ab0)的最值． 解：∵ yasinxbcosx ∴ ymaxa2b2sin(x)，其中tanb， aa2b2，ymina2b2．

例9.求函数ysinxcosx在[0，]上的最小值．

解：ysinxcosx2sin(x4)，x[0，]．

5令ux4，则 y∵ y 且

2sinu，u[4，4]．

5542sinu在[4，2]上单调增，在[2，4]上单调减，

2sin41，2sin1，

∴ 函数ysinxcosx在[0，]上的最小值是1． 例10.求下列函数的最值： （1）ysin2xcosx；

（2）yasinxbcosx(ab)； （3）y3sin(2x10)5sin(2x70)； （4）ysinxcosx．

21cos2x5sin(2x)1， 解：（1）∵ ysin2xcosxsin2x1222266222∴ ymax51，22ymin251． 22 （2）∵ yasinxbcosx(ab)sinxb，

∴ 若ab，则sinx1时，ymaxa；sinx0时，yminb．

若ab，则sinx0时，ymaxb；sinx1时，ymina．

2222b}，yminmin{a，b}． ∴ ymaxmax{a，另解：∵ yasinxbcosxa221cos2x2b1cos2x2ba2cos2xab， 2∴ 若ab，则cos2x1时，ymaxa；cos2x1时，yminb．

若ab，则cos2x1时，ymaxb；cos2x1时，ymina．

b}，yminmin{a，b}． ∴ ymaxmax{a， （3）∵ y3sin(2x10)5sin(2x70)

4

3cos10sin2x3sin10cos2x5cos70sin2x5sin70cos2x (3cos105cos70)sin2x(3sin105sin70)cos2x 7sin(2x)，其中tanymin7． ∴ ymax7，4224（4）∵ ysinxcosxsinxsinxcosxcosx

663sin105sin70， 3cos105cos70(sin2xcos2x)23sin2xcos2x134sin22x，

ymin1∴ ymax1，． 4说明：在求函数的最值过程中，始终要贯彻“统一名称统一角”的观点． 习题练习·自己练

1.判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期：

（1）f(x)sinxsin2x； （2）f(x)xsinx；

（3）f(x)sinx； （4）f(x)sinxsin2x；

（5）f(x)cos(x3)cos(x3)； （6）f(x)sinx2sinxcosx3cosx； （7）f(x)sinxcosx； （8）f(x)asinxbcosx(ab0)． 2.作出下列函数在给定区间上的图像：

662222222cosx(x[，（1）y2sinx(x[0，2])； （2）y11])； 2（3）ysinx|sinx|(x[，])； （4）y|sinx||cosx|(x[，])． 3.画出函数ysinx(x[0，2])和ycosx(x[2，2])的图像，观察两个函数图像

揭示它们之间的关系． 4.求下列函数的单调区间：

（1）y1cosx； （2）ysinxcosx； （3）y2sin(x3)； （4）ycos(2x4)； （5）y0.5sinx； （6）ylg(cosx)． 5.求下列函数的最值：

（1）y2sinx1； （2）ycos2x1； （3）ycos2xsinx； （4）ysinxsinx1． （5）yasinxb(a0)； （6）ysinxcosx； （7）y2cosx44223； （8）ylg(sinx)；

22（9）y2cosx|cosx|1； （10）y|sinx||cosx|．

6.当a在什么范围内取值时，函数f(x)log2(3cosx2asinx1)的定义域是实数集？

acosB，bcosA，csinC． 7.已知在ABC中，ABC，（1）求ABC的外接圆半径和角C的值；

（2）求abc的取值范围．

§6.2 正切函数的性质与图像（Graphs and Properties of Tangent Functions）

定义：对于x{x|xk2，kZ}都有唯一确定的值tanx与之对应，按照此对应法则建立的函数ytanx，叫做正切函数（tangent functions）． 正切函数的性质： 1.周期性

5

∵ x{x|xk2，有t∴ ytanx是周期函数． an(kx)tanx，kZ，kZ}，

可以证明函数ytanx的最小正周期是． 2.奇偶性

∵ x{x|xk2，kZ}，有 tan(x)tanx，∴ ytanx是奇函数． 3.单调性

x1、x2[0，2)，且x1x2，tanx1tanx2sin(x1x2) cosx1cosx2∵ 2x1x20， ∴ sin(x1x2)0．

cosx20， ∴ tanx1tanx2cosx1cos2x0， ∵ cosx10，12即ytanx在[0，2)上单调增．

∵ ytanx是奇函数， ∴ ytanx在(2，2)上单调增．

∵ ytanx是周期为的函数，

∴ 函数ytanx的单调增区间是(k2，k2)(kZ)． 4.值域

∵ ytanx在(2，2)上单调增， ∴ 函数ytanx的值域是R．

正切函数ytanx在(2，2)的图像如右图： 利用正切函数的周期性，得到正切函数的图像．

例1.求下列函数的定义域：

O'Oxsin(xx)y1|tanx|； （2）ylogcosx(tanx1)．

解：（1）∵ 1|tanx|0，即 |tanx|1，

（1）y∴ 函数的定义域是{x|k4xk4，kZ}． （2）∵ ytanx10tanx1，即 ，

0cosx10cosx1Ox （右图网状表示的区域是角终边扫过的区域） ∴ 函数的定义域是{x|2k4x2k， 或2kx2k2，kZ}．

例2.研究函数y|tanx|的性质．

解：函数y|tanx|的定义域是{x|xk2，kZ}，

函数y|tanx|是周期为偶函数，单调增区间是[k，k2)(kZ)，

6

单调减区间是(k2，，值域是[0，k]（kZ）)． 例3.研究函数ytanxcotx的性质．

2的定义域是{x|x解：ytanxcotxsin，kZ}， 22xytanxcotx是周期为的奇函数，

k单调增区间是[k4，k4](kZ)， k2)和(k2，3k)和(k，k4](kZ)，值域是(，单调减区间是[k4，2][2，)． 课外活动·自己学

定义余切函数ycotx，并研究余切函数ycotx的性质，画出余切函数ycotx的图像．

例4.研究函数yAtan(x)(A0，0)的性质．

解：函数yAtan(x)的定义域是{x|xkk2，kZ}，周期是

， 当2(kZ)时，yAtan(x)是奇函数， 单调增区间是(k2，k2)(kZ)．

2（3）f(x)lg(sinxsinx1)． cos2x1；

例5.判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)1sinxcosx； （2）f(x)1sinxcosx解：（1）1sinxcosx0x2k，x2k2，kZ．

∵ 2D，2D， ∴ f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

22（2）∵ cosx1sinx0， ∴ 函数的定义域是{x|xk，kZ}．

∵ f(x)f(x)，f(x)f(x)， ∴ f(x)既是奇函数又是偶函数． （3）f(x)lg(sinx∵ sinxsin2x1)．

1lg(sinxsinxsin2x1sin2x1sinx|sinx|0， ∴ 函数的定义域是R．

sin2x1)f(x)，

∵f(x)lg(sinxsin2x1)lg∴ f(x)是奇函数．

例6.求函数y1sinxcosxsinxcosx的最大值和最小值． 解法1：y1sinxcosxsinxcosx(1sinx)(1cosx)

当sinx1，或cosx1时，ymin0．

y(sin(22x2cos2)22cos222xx2(2sin2x2cos24x2cos222x2)2

sinxcosx当sin(x4)1时，ymax解法2：令usinxcosx．

2)232[sin(x)]2

2．

y1uu21212u2u1212(u1)2，u[2，2]．

32当u1时，ymin0；当u例7.求下列函数的最大值和最小值： （1）ysinx3；（2）ycosx3．

2时，ymax2．

sinx2sinx27

解：（1）∵ ysinx31sin1， x3∴ 当sinx1时，ymaxsinx23；当sinx1时，4sinx2ymin1． 2（2）ycosx3ycosx3ysinx223ysinxycosx1y2sin(x)

|23y1y2||sin(x)|18y212y30．

33，g(x)4∴ ymax33． 4例8.研究函数ylog0.5cosx的性质．

解：函数ylog0.5cosx的定义域是{x|2k2x2k2，kZ}，

ylog0.5cosx是周期为2的偶函数，

ylog0.5cosx的单调增区间是[2k，2k2)(kZ)，

单调减区间是(2k2，)． 2k](kZ)，值域是[0，课外活动·自己想

研究函数f(x)sin(cosx)、g(x)cos(sinx)的奇偶性、周期性和单调性，求f(x)和g(x)的最大值和最小值，并将它们按从小到大的顺序排列． 习题练习·自己练

1.比较下列数对的大小:

n2)． （1）tan7与tan9； （2）tann1与tann2(nN，2.求下列函数的周期：

（1）ytan(axb)(a0)； （2）ytanxcotx．

3.看到正切函数的图像是上升的，能否说正切函数ytanx在定义域上的单调增的？ 4.研究下列函数的性质（包括定义域、奇偶性、单调性、周期性和值域）： （1）y|tanx|； （2）ylg(tanx)．

23sin2x的性质． cosxsinxcosx5.研究函数y1226.求下列函数的单调增区间：

3249n(n1)（1）y2cos(32)； （2）ytanx2tanx2． 7.求函数yx22cos2x5sinx1的值域．

sinxcosx(x[0，])的最值． 8.求函数ysinxcosx2

§6.3 函数

yAsin(x)d的图像与性质（Graphs and Properties of Function

yAsin(x)d）

例1.对下列函数与函数ysinx(xR)进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研

究）：

A0，A1)；0，1)； （1）yAsinx(xR，（2）ysinx(xR，R，0)；dR，d0)； （3）ysin(x)(xR，（4）ysinxd(xR，A0，A1，0，1，R，0，dR，d0)． （5）yAsin(x)d(xR，解：（1）函数yAsinx与ysinx都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当A1时，函数yAsinx的图像可以看成由函数ysinx的图像纵向拉伸得到；当0A1时，函数

yAsinx的图像可以看成由函数ysinx的图像纵向压缩得到．

8

（2）函数ysinx与ysinx都是奇函数，值域相同，但函数ysinx与ysinx 的周期和单调区间都不同．当1时，函数ysinx的图像可以看成由函数ysinx的图像横向压缩得到；当01时，函数ysinx的图像可以看成由函数ysinx的图像横向拉伸得到

（3）当k(kZZ)时，函数ysin(x)是奇函数；当k2(kZ) 时，函数ysin(x)是偶函数；函数ysin(x)与ysinx具有相同的周期和值域；当

2k(kZZ)时，函数ysin(x)与ysinx具有相同的单调区间．当0时，函数ysin(x)的图像可以看成由函数ysinx的图像向左平移得到；当0时，函数ysin(x)的图像可以看成由函数ysinx的图像向右平移得到．

（4）函数ysinxd既不是奇函数，也不是偶函数；函数ysinxd与ysinx具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当d0时，函数ysinxd的图像可以看成由函数ysinx的图像向上平移得到；当d0时，函数ysinxd 的图像可以看成由函数ysinx的图像向下平移得到．

（5）函数yAsin(x)d的图像可以由函数ysinx的图像经过一系列的变换得到．首先把函数ysinx的图像进行纵向的变化，让函数ysinx的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A倍，得到函数yAsinx的图像．

9

其次把函数yAsinx的图像进行横向的变化，让函数yAsinx的图像上点的纵坐标保

1倍，得到函数yAsinx的图像． 持不变，让点的横坐标变为原来的

第三把函数yAsinx的图像进行横向平移，让函数yAsinx的图像上点的纵坐标保持不变，让点的横坐标x变为x，得到函数yAsin(x)的图像．

第四把函数yAsin(x)的图像进行纵向平移，让函数yAsin(x)的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标y变为yd，得到函数yAsin(x)d的图像．

、2、2，相应地得到也可以设ux，yAsinud，x．令u分别取0、2、以(x，通过描点作出函数一个周期的图像，再利用函数的周期把图像进行拓展． y)为坐标的5个点，

思考：A、、、d在函数的变换中各自扮演了什么角色？ 横向变换和纵向变换在运算方面有什么特点？

总结：A在纵向改变波的形状（A1时，作拉伸变换；0A1时，作收缩变换）． 在横向改变波的形状（1时，作收缩变换；01时，作拉伸变换）． 不改变波的形状，只进行横向的平移（0时，向左移；0时，向右移）． d不改变波的形状，只进行纵向的平移（d0时，向上移；d0时，向下移）． 横向变换涉及的是除法运算和减法运算；纵向变换涉及的是乘法运算和加法运算．

1 叫做正弦曲线的频率（frequency）正数A叫做正弦曲线的振幅（amplitude），fT，2． 叫做正弦曲线的初相（initial phase）

u32)，最低点的坐标例2.已知函数yAsin(x)在一个周期内的图像的最高点的坐标为(24，2)． （1）求此函数的解析式；为(24，（2）求此函数的单调增区间．

2)， 2)，最低点的坐标为(24，解：（1）∵ 一个周期内的图像的最高点的坐标为(24，115T ∴ 2A2(2)4，1． 224244511511∴ A2，T4．

10

2设y2sin(4x)．

∵ x24，y2， ∴ 2sin(6)2． 取3， ∴ y2sin(4x3)．

（2）2k24x32k2(kZ)2k64x2k6(kZ)

555k224xk2524(kZ)

kk5，](kZ)． ∴ 函数y2sin(4x3)的单调增区间是[224224例3.作出函数y3sin(2x3)1在一个周期内的图像．

u解：令u2x3，解得 x1，y3sinu1． 26y3 分别令u0、2、、2、2，得下表：

Ox3-3751)、(12，2)、(3，1)、(12，4)、(6，1)画在坐标平面上，然后用光将五个点(6，滑曲线连接这五个点，就得到函数一个周期的图像．利用函数的周期性向两端延伸就得到函数的图像．

习题练习·自己练

0)成为奇函数的充要条件． 1.求函数yAcos(x)(A0，2.利用五点法作出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的图像：

x8)； （1）y3sin(x3)； （2）ysin(12x6)1． （3）ysin(2x4)； （4）y2sin(123.求下列函数的单调区间和最值：

x6)1． （1）ysin(2x4)； （2）y2sin(12

§6.4 反三角函数（Inverse Trigonometric Functions）

三角函数解决知道角求三角函数值的问题，例如sin61，cos62，这类问题称做2“知角求值”问题．在科学研究和生产实践中还会遇到大量的知道三角函数值，需要求角的问题，

3cosx例如知道sinx1，，x是什么？这类题称作“知值求角”问题．那么我们如何来22解决这类问题呢？

“知角求值”与“知值求角”是关系十分密切的问题，类似的情形我们在数学学习中是否遇到过呢？是什么问题呢？本质是函数与反函数的问题．

那么我们如何来解决三角函数的反函数问题呢？首先回顾一下反函数的定义． 若确定函数yf(x)的映射是一一映射，则yf(x)存在反函数．

三角函数在定义域内是否是一一对应的呢？我们知道三角函数都是周期函数，因此定义三角函数的映射不是一一对应的，从而三角函数不存在反函数．

那么我们如何解决“知值求角”的问题呢？目前的焦点是如何摆脱不是“一一映射”的困扰．是

53 11

什么因素造成了正弦函数ysinx无法构成一一映射呢？

是正弦函数的对应法则？还是函数的定义域？决定因素是定义域！

那么我们是否有可能选择自变量的取值范围，使定义在此范围上的函数ysinx具有一一映射的特点？

好，现在看看我们该做些什么．我们要寻找这样的集合A，使得对于每一个正弦值（落在区间

，在集合A中有且只有唯一的x与之对应． [1，1]内）我们可以先考虑寻找的集合A具有这样的特点：对于每一个正弦值，都在集合A存在弧度数为

x的角与之对应．

其次是关注这样的x是否唯一．若不唯一，则调整集合A，使之满足要求． 让学生寻找集合A，然后分析讨论． 满足条件的集合是[k2，k2](kZ)．

对于每一个整数k，函数ysinx(x[k2，k2])都有反函数．

在三角问题的研究中使用频率最高的是锐角，因此我们在确定反正弦函数时，就锁定了函数

ysinx(x[，])． 22定义：把函数ysinx(x[2，2])的反函数，叫做反正弦函数（inverse sine function），记为

yarcsinx，x[1，1]． 对定义的理解：

（1）arcsinx表示一个角；

（2）arcsinx是落在区间[2，2]内的角；

（3）arcsinx的正弦值是x，即sin(arcsinx)x，x[1，1]． 总之arcsinx是一个落在区间[2，2]内正弦值是x的角． 例1.求下列反正弦函数的值：

（1）arcsin1； （2）arcsin2； （3）arcsin0； 2 （4）arcsin1； （5）arcsin(2)； （6）arcsin(1)．

3arcsin解：（1）arcsin1； （2）； （3）arcsin00； 262323（4）arcsin12； （5）arcsin(2)4； （6）arcsin(1)2．

我们定义了反正弦函数yarcsinx之后，可以研究函数的性质．应该研究反正弦函数的哪些性质？如何研究？

（1）可以研究函数的单调性、奇偶性、周期性． （2）可以与函数ysinx(x[2，2])进行比较研究． 反正弦函数的性质：

1]上单调增； （1）yarcsinx在[1，2x[1，1]． （2）yarcsinx是奇函数，即arcsin(x)arcsinx，x2[1，1]，且x1x2， 1]上不单调增，即存在x1、证明：（1）假设yarcsinx在[1， 但arcsinx1arcsinx2．

arcsinx2[2，2]，且 ysinx在[2，2]上单调增， ∵ arcsinx1、∴ sin(arcsinx1)sin(arcsinx2)，即x1x2，与x1x2矛盾．

1]上单调增． ∴ yarcsinx在[1，

12

（2）当x[1，1]时，x[1，1]．

∵ arcsin(x)、arcsinx[2，2]，ysinx在[2，2]上单调增， sin[arcsin(x)]x，sin(arcsinx)sin(arcsinx)x， ∴ arcsin(x)arcsinx，x[1，1]，即 yarcsinx是奇函数．

函数yarcsinx，x[1，1]的图像与函数ysinx(x[2，2])的图像关于直线yx对称．

课堂活动·大家谈

问题：yarcsinx不是周期函数？为什么？

例2.研究下列式子：

3)（1）sin(arcsin； （2）sin(arcsin3)． 3)3； 解：（1）sin(arcsin（2）∵ 3[1，1]， ∴ sin(arcsin3)没有意义． 例3.用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x：

x[2，]； （2）sinx5，x[0，]； （3）sinx5，x[，2]．（1）sinx5， 2解：（1）xarcsin5；

（2）xarcsin5，或xarcsin5； （3）xarcsin5，或x2arcsin5．

下面研究三角与反三角的混合运算．

例4.求cos(arcsinx)(x[1，1])，tan(arcsinx)(x(1，1))． 解：设arcsinx，sinx．

333333331]，[2，2]， ∴ cos(arcsinx)cos∵ x[1，1sin21x2．

x．

1x21)，(2，2)， ∴ tan(arcsinx)cos(arcsinx)∵ x(1，例5.求值：

（1）cos(arcsin5)； （2）cos[arcsin(13)]； （3）tan(arcsin17)； （4）tan[arcsin(3)]． 解：（1）cos(arcsin5)4sin(arcsinx)4121531(32)53； 5 13

（2）cos[arcsin(151213)]1(1517122)135；

13 （3）tan(arcsin17)1(17)2153315； 8（4）tan[arcsin(例6.求值：

33)]1(33)232． 2（1）arcsin(sin4)； （2）arcsin(sin4)． 解：（1）arcsin(sin4)arcsin24； （2）arcsin(sin4)arcsin(2)4． 研究以上结论，提出猜想，证明猜想．

猜想：当x[2，2]时，arcsin(sinx)x． 证明：当x[2，2]时，arcsin(sinx)[2，2]．

∵ ysinx在[2，2]上单调增，且sin[arcsin(sinx)]sinx，

∴ arcsin(sinx)x． 例7.比较数对arcsin(sin解：∵ arcsin(sin ∴ arcsin(sin3222)与arcsin(sin3)的大小．

21.414，arcsin(sin3)31.410，

2)2)arcsin(sin3)．

例8.研究函数f(x)arcsin(sinx)的性质． 解：函数f(x)arcsin(sinx)的定义域是R．

∵ f(x2)arcsin[sin(x2)]arcsin(sinx)f(x)， ∴ f(x)arcsin(sinx)是周期为2的周期函数．

∵ f(x)arcsin[sin(x)]arcsin(sinx)arcsin(sinx)f(x)， ∴ f(x)arcsin(sinx)是奇函数．

∵ 当x[2，2]时，arcsin(sinx)x，

k2](kZ)上单调增， ∴ f(x)arcsin(sinx)在[k2，k2](kZ)上单调减． 在[k2， 当x2k2(kZ)时，f(x)arcsin(sinx)取最大值1，

当x2k2(kZ)时，f(x)arcsin(sinx)取最小值1．

课外活动·自己学

参考关于反正弦函数的研究，撰写“关于反余弦函数的研究报告”．（要求内容翔实，提出的结论要有证明）

定义：函数ytanx(x(2，2))的反函数叫做反正切函数，记为yarctanx， xR．

14

3理解：arctanx表示落在(2，2)内正切值为x的角． tan(arctaxn)x，xR． arcta(tnanx)x，x(2，2)． 反正切函数的性质：

（1）yarctanx在R上单调增；

（2）yarctanx是奇函数，即arctan(x)arctanx，xR． 反正切函数的图像：

例9.求值：

（1）sin(arctan3)； （2）tan[arccos(13)]； （3）cos(2arctan4)； （4）arcsin(sin6)；

344122arctan1（5）arctan1；（6）arctan(tan5)； 73（7）arctanxarctan1； （8）arcsin(sin10)arccos(cos10)． x解：（1）sin(arctan3)sin(arcsin5)5； （2）tan[arccos(1213444)]sin[arccos(cos[arccos(12)]1312)]1351312135； 1234427； （3）cos(2arctan4)cos(2arccos5)2cos(arccos5)125（4）arcsin(sin6)arcsin[sin(62)]62；

1． ，2arctan（5）设arctan173 ∵ tan1，tan71213193， ∴ tan(4)1717341341．

12arctan(0，2)， ∴ arctan1 ∵ 、． 473（6）arctan(tan5)arctan[tan(5)]arctan[tan(5)]5；

44arctan1（7）设arctanx，． x ∵ tantan1， ∴ 角的终边在y轴上．

(0，2)，2； 当x0时，、(2，0)，2； 当x0时，、∴ arctanxarctan1xx02，； x02， 15

（8）arcsin(sin10)arccos(cos10) arcsin[sin(10)]arccos[cos(210)]

10(210)．

例10. 求下列函数的定义域和值域：

（1）yarccos(log1x)； （2）ylog1(arccosx)；

22（3）yarccos(arcsinx)； （4）yarcsin(arccosx)．

1，解：（1）∵ 1log1x1，即 1， ∴ x2D[2]． 222∵ ulog1x在[1，2]上单调减，yarccosu在[1，1]上单调减， 22，2]上单调增． ∴ A[0，∴ yarccos(log1x)在[1]． 22（2）∵ 0arccosx，即 1x1， ∴ D[1，1)．

∵ uarccosx在[1，1)上单调减，ylog1u在(0，]上单调减，

2∴ ylog1(arccosx)在[sin1，sin1)上单调增． ∴ A[log122，)．

（3）∵ 1arcsinx1，即 sin1xsin1， ∴ D[sin1，sin1]．

sin1上单调增，yarccosu在[1，∵ uarcsinx在sin1，1]上单调减， sin1上单调减． ∴ A[0，∴ yarccos(arcsinx)在sin1，]．

（4）∵ 0arccosx1，即 cos1x1， ∴ D[cos1，1]．

∵ uarccosx在[cos1，1]上单调减，yarcsinu在[0，1]上单调增， ∴ yarcsin(arccosx)在[cos1，1]上单调减． ∴ A[0，2]．

例11.用反正弦表示arcsin5arcsin17．

315arcsin17． 解：设arcsin5，sin17， ∴ cos5，cos17． ∵ sin5，34841584831513cos()∵ sin()517，， 517855175178531531548∴ arcsin5arcsin17arcsin85． 例12.比较arcsina与arcsina(|a|1)的大小．

解：当a0，或a1时，aaarcsinaarcsina； 当a[1，0)时，aaarcsinaarcsina； 当a(0，1)时，aaarcsinaarcsina． 例13.当x[1，1]时，比较arcsinx与arccosx的大小．

2222222315841]上单调增，yarccosx在[1，1]上单调减， 解：∵ yarcsinx在[1，∴ 当x2时，arcsinxarccosx4；

当x[1，2)时，arcsinxarccosx；

221]时，arcsinxarccosx． 当x(2，例14.已知arcsin(sinsin)arcsin(sinsin)2，求sinsin的值． 解：∵ arcsin(sinsin)arcsin(sinsin)2，

16

222∴ arcsin(sinsin)与arcsin(sinsin)互余． ∵ sin[arcsin(sinsin)]cos[arcsin(sinsin)]， ∴ sinsin21(sinsin)2．

2化简，得 sinsin1． 2例15.设x[0，1]，证明：cos(arcsinx)arcsin(cosx)． 解：原式等价于 x x1x2．令 xsin，ycos，[0，]． 22cos1x2sin2sin(4)22．

习题练习·自己练

1.用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x：

（1）sinx5，x[2，]； （2）sinx13，x[0，]； 2（3）sinx25，x[，2]． 2.求下列函数的定义域：

（1）yarcsin2x； （2）y3.求值：

1)]； （2） cos(arcsin2)； （3）tan[arcsin(3)]． （1）sin[arcsin(224.求下列函数的反函数：

2445arcsinx； （3）ylg(arcsinx)．

（1）ysinx(x[2，2])； （2）y3sinx(x[0，2])；

（3）ylg(sinx)(x(0，])； （4）ylg(arcsinx)(x(0，1])． 25.求函数yarcsin(xx1)的定义域、值域和单调区间． 6.求值：

（1）arctan3； （2）arctan(3)； （3）arctan(2sin3)； （4）arctan(2cos3)． 7. 用反正切函数值的形式表示下列各式中的x：

4532x(2，2)； （2）tanx5，x(，2)； （1）tanx3，x(2，0)． （3）tanx7，8.求下列函数的定义域：

（1）y2arctan2x； （2）y9.求值：

（1）sin[arctan(1)]； （2） cos(arctan2)； （3）tan[arctan(3)arctan10.求下列函数的反函数：

332412324arctanx； （3）ylg(arctanx)．

3]； （4）arctan1arctan2arctan3．

（1）ytanx(x(2，2))； （2）ytanx(x[0，2))；

))． （3）ylg(tanx)(x(0，2))； （4）ylg(arctanx)(x(0，11.求下列函数的定义域和值域： （1）yarcsin

x1； （2）y17

arcsinx1．

12.求函数yarctan(x1)的定义域、值域和单调区间． 13.求函数ysinxarcsinx的值域． 14.用反余弦表示arccos4arcsin5． 15.求值：arcsin(sin2)arccos(cos4)．

16.证明：arcsinxarccosx2，x[1，1]．

17.研究函数yarcsin(sinx)的周期性、奇偶性和单调性和最值，并画出函数的图像．

§6.5 最简三角方程（Inverse Trigonometric Functions）

含有对未知数的三角运算及反三角运算的方程，叫做三角方程（trigonometric equation ）．

使三角方程成为恒等式的所有数值的集合，叫做三角方程的解集（solution set of a trigonometric equation）． 形如sinxa，cosxa，tanxa的方程，叫做最简三角方程（simplest trigonometric equation ）．

例1.解最简三角方程sinxa．

解：当|a|1时，方程sinxa无解．

当a1时，∵ 方程sinx1在[2，2)内有唯一解x2，

3342kZ． ∴ 方程sinx1的解是x2k2，当a1时，∵ 方程sinx1在[2，2)内有唯一解x2，

3kZ． ∴ 方程sinx1的解是x2k2，当|a|1时，∵ 方程sinxa在[2，2)内有唯一解xarcsina， 在[2，2)内有唯一解xarcsina，

∴ 方程sinxa在[2，2)内有两个解xarcsina，xarcsina． ∴ 方程sinxa的解是xk(1)karcsina，kZ．

例2.解最简三角方程cosxa．

解：当|a|1时，方程cosxa无解．

当a1时，∵ 方程cosx1在(，]内有唯一解x0，

33kZ． ∴ 方程cosx1的解是x2k，当a1时，∵ 方程cosx1在(，]内有唯一解x， ∴ 方程cosx1的解是x2k，kZ．

]内有唯一解xarccosa， 当|a|1时，∵ 方程cosxa在(0，在(，0]内有唯一解xarcsina，

]内有两个解xarccosa，xarcsina． ∴ 方程cosxa在(，kZ． ∴ 方程cosxa的解是x2karccosa，例3.解最简三角方程tanxa．

解：∵ 方程tanxa在(2，2)内有唯一解xarctana，

kZ． ∴ 方程tanxa的解是xkarctana，例4.求下列三角方程的解集： （1）sinx1；（2）cosx22；（3）tanx23．

18

k1的解集是sinx解：（1）∵ sinx1， ∴ 方程，kZ}． {x|xk(1)226（2）∵ cosx（3）∵ tanx2， ∴ 方程cosx22的解集是{x|x22k34，kZ}．

3， ∴ 方程tanx3的解集是{x|xk2，kZ}．

例5.求下列三角方程的解集：

（1）2sin2x10；（2）3cos3x10； （3）tanx3tanx20；

（4）sinxcosx1；（5）3sinx4cosx5；（6）6sinx11sinxcosx4cosx0． 解：（1）∵ 2sin2x10， ∴ sin2x1． 2∴ 方程2sin2x10的解集是{x|xk222(1)k12，kZ}．

（2）∵ 3cos3x10， ∴ sin3x1． 3∴ 方程3cos3x10的解集是{x|x22k313arccos(13)，kZ}．

（3）∵ tanx3tanx20， ∴ tanx1，或tanx2．

∴ 方程tanx3tanx20的解集是{x|xk4，或xarctan2，kZ}． （4）∵ sinxcosx22sin(x24)1，

k∴ sin(x4)2，x4k(1)

4．

∴ 方程sinxcosx1的解集是{x|x2k，或x2k2，kZ}． （5）∵ 3sinx4cosx5sin(x)5，其中tan3．

4，kZ． ∴ x2k2arctan32karctan344，kZ}． ∴ 方程3sinx4cosx5的解集是{x|x2karctan3424． tanx（6）∵ cosx0，6tanx11tanx40， ∴ tanx1，或23∴ 方程6sinx11sinxcosx4cosx0的解集是

4，{x|xkarctan1xkarctankZ}． ，或2322例6.求下列三角方程的解集：

（1）4sin(x6)3； （2）8cotx3sinx0；

（3）cos7xcosx； （4）tan4xtan2x； （5）sin2xcos5xsinxcos6x； （6）cotx1sinx；

2（7）sinxcosxsin2x1； （8）2cosxsinxcosx1； 223cosx（9）81sin2x81cos2x30； （10）sin(cosx)cos(sinx)．

32解：（1）∵ 4sin(x6)3， ∴ sin(x6)2．

kZ}． ∴ 方程4sin(x6)3的解集是{x|xk6，或xk2，（2）∵ 8cotx3sinx8cosx3sin2xsinx20，∴ 3cosx8cosx30，解得 cosx1． 32 19

)，kZ}． ∴ 方程8cotx3sinx0的解集是{x|x2karccos(13（3）∵ cos7xcosx， ∴ 7x2kx，kZ．

∴ 方程cos7xcosx的解集是{x|x2k3，或x4，kZ}． （4）∵ tan4xtan2x， ∴ 4xk2xx2，kZ． 经检验，x2(kZ)是方程tan4xtan2x的解， ∴ 方程tan4xtan2x的解集是{x|xx2，kZ}． （5）∵ sin2xcos5xsinxcos6x，

∴ sin7xsin3xsin7xsin5x，即 sin5xsin3x2cos4xsinx0． ∴ 方程sin2xcos5xsinxcos6x的解集是{x|xk，或x48，kZ}．

x（6）∵ cotx1sinxcos， ∴ cosx0，sinx1． sinx3cosx2kkkkk ∴ 方程cotx1sinx的解集是{x|x2k2，kZ}． （7）∵ sinxcosxsin2x1，

∴ sinxcosx(sinxcosx)，即 sinxcosx0，或sinxcosx1． ∵ sinxcosx0xk4，kZ；

sinxcosx1x2k2，或x2k，kZ；

∴ 方程sinxcosxsin2x1的解集是{x|x2k2，或x2k，或

23cosxxk4，kZ}．

2（8）∵ 2cosxsinxcosx1， 2 ∴sin2x2cos2x5sin(2x)1，其中arcsin552．

5nnZ， ∵ 2xnarcsin2(1)arcsin1，∴ 当n2k(kZ)时，2x2k2；

3． 当n2k1(kZ)时，2x(2k1)arcsin5noxs ∴ 方程2coxssixc212的解集是{x|xk4，或

x(2k1)212arc5，skiZn}．

sin23（9）令u81x，代入81sin2x81cos2x30，得 u81sin281u30，即 u230u810．

3． 2 解得 u3，或u27． 当u81sin2x3时，sinx21；当u2x3时，sinx ∴ 方程81sinx81cos2x30的解集是{x|xkkZ}． ，或xk3，6（10）∵ sin(cosx)cos(sinx)sin(2sinx)，

nZ． ∴ cosx2n2sinx，或cosx2n2sinx，

20

1，cosxsinx2nnZ， ∵ cosxsinx2n1，或22 ∴ 当n1时，方程有解，即 cosxsinx1． 2 ∴ 方程sin(cosx)cos(sinx)的解集是{x|x2k4arccos4，或

2x2k习题练习·自己练

1.求下列三角方程的解集：

4arccos24，kZ}．

（1）sinx2； （2）cosx1； （3）tanx3；

（4）3sinxcosx2； （5）sinxcosx2； （6）tanxcotx2；

22（7）4sinx3cosx5；（8）6cosx5cosx10；（9）4sinx43sinx30． 2.解下列三角方程：

335(1)2sin2x2(3sinx2cosx)60；(2)sinxcosxsinxcosx1；

x， (4)msinx(m1)cos1其中m是非零常数； 2；2(3)|sinx||cosx|3(5)tan(2x)3tanx； (6)tan(x4)tan(x4)2cotx；

(7)sin(arctanx)cos(arctanx)； (8)tan(tanx)cot(cotx)．

21