下学期 5.1 向量
一.教学目标
1.理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；
2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量；
3.了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；
4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.
二.教学具准备
直尺、投影仪.
三.教学过程
1.设置情境
师：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？
生：不能，因为没有给定发射的方向.
师：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
生：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向.
师：对！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量.数学中用点表示位置，用射线表示方向.常用一条有向线段表示向量.在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向.
（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等
（2）向量的表示方法：
①几何表示法：点和射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的三要素：起点、方向、长度
符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作 （注意起讫）.
②字母表示法： 可表示为 （印刷时用黑体字）
例 用1cm表示5n mail（海里）
（3）模的概念：向量 的大小——长度称为向量的模。
记作：| |，模是可以比较大小的
注意：①数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.探索研究（学生自学概念）
（1）介绍向量的一些概念
师：长度为零的向量叫什么向量？如何表示？长度为1的向量叫做什么向量？是不是只有一个？（学生看书回答）
生：长度为零的向量叫做零向量，表示为：0；长度等于1的向量叫做单位向量，有许多个，每个方向都有一个.
师：满足什么条件的两个向量是相等向量？符号如何表示？单位向量是相等向量吗？
生：如果两个向量大小相等且方向相同，那么这两个向量叫做相等向量，a=b单位向量不一定是相等向量，单位向量的方向不一定相同.
师：有一组向量，它们的方向相同或相反，那么这组向量有什么关系？
生：平行.
师：对！我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，符号如何表示？如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点 ，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
生：是平行向量，a//b，各向量的终点都在同一条直线上.
师：对！由此，我们把平行向量又叫做共线向量.
（2）例题分析
【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案
（1）平行向量的方向一定相同？
（2）不相等的向量一定不平行.
（3）与零向量相等的向量是什么向量？
（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的充要条件是什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
解：（1）根据定义：平行向量可以方向相反，故命题（1）为假；
（2）平行向量没有长、短要求，故命题（2）为假；
（3）只有零向量；
（4）零向量；
（5）平行向量；
（6）模相等且方向相同；
（7）不一定，只要它能被平移成共线就行.
说明：零向量是向量，只不过它的起、终点重合.依定义、其长度为零.
【例2】如图，设 是正六边形 的中心，分别写出图中与向量 、 ，相等的向量.
解：
练习：（投影）在上题中
变式一，与向量 长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二，是否存在与向量 长度相等，方向相反的向量？（存在）
变式三，与向量 共线的向量有哪些？（有 、 和 ）
3.演练反馈（投影）
（1）下列各量中是向量的是（ ）
A.动能 B.重量 C.质量 D.长度
（2）等腰梯形 中，对角线 与 相交于点 ，点 、 分别在两腰 、 上， 过 且 ，则下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
（3）物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量
参考答案：（1）B； （2）D； （3）相等，相反
4.总结提炼
（1）描述一个向量有两个指标：模、方向.
（2）平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真的不在一条直线上无关.
（3）向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性.
四.板书设计
向 量 1.向量的定义 2.表示法 6.例题 3.零向量和单位向量 7.演练反馈 4.平行向量（共线向量） 8.总结提炼 5.相等向量 |