江苏省普通高等学校2022年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十九) Word版含解析

21. 【选做题】 在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修41：几何证明选讲)

如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM上．若∠ACN＝3∠ADB，求∠ADB的度数．

B. (选修42：矩阵与变换)

a 3，若A1＝8，求矩阵A的特征值．

已知矩阵A＝

2 d24

C. (选修44：坐标系与参数方程)

π

在极坐标系中，已知点A2，，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ＜2π)上．当线段AB最短

2时，求点B的极坐标．

D. (选修45：不等式选讲)

3

已知a，b，c为正实数，且a3＋b3＋c3＝a2b2c2.求证：a＋b＋c≥33.

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 在平面直角坐标系xOy中，点F(1，0)，直线x＝－1与动直线y＝n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y＝n的交点为P.

(1) 求动点P的轨迹E的方程；

(2) 过动点M作曲线E的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．

23. 已知集合U＝{1，2，…，n}(n∈N*，n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B＝∅，则称(A，B)为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的全部“互斥子集”的组数为f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)．

(1) 写出f(2)，f(3)，f(4)的值； (2) 求f(n)．

(十九)

(徐州市、连云港市、宿迁市2022～2021学年度高三第三次质量检测)21. A. 解：连结AN，DN.

由于A为弧MN的中点，所以∠

ANM＝∠ADN. 而∠NAB＝∠NDB，

所以∠ANM＋∠NAB＝∠ADN＋∠NDB， 即∠BCN＝∠ADB.(5分) 又∠ACN＝3∠ADB，

所以∠ACN＋∠BCN＝3∠ADB＋∠ADB＝180°， 故∠ADB＝45°.(10分)

B. 解：由于A12＝a32d12＝a＋62＋2d＝84



，

所以a＋6＝8，a＝2，2＋2d＝4， 解得

d＝1.

所以A＝2321



.(5分)

所以矩阵A的特征多项式为

f(λ)＝λ－2－31

＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－2λ－－3λ－4.

令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝4.(10分)

C. 解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，

则点A

2，π

2的直角坐标为(0，2)，直线l的直角坐标方程为x＋y＝0.(4分)

AB最短时，点B为直线x－y＋2＝0与直线l的交点， 解x－y＋2＝0，x＝－1，x＋y＝0，得

y＝1. 所以点B的直角坐标为(－1，1)．(8分)

所以点B的极坐标为2，3π

4.(10分)

D. 证明：由于a3＋b3＋c3＝a2b2c2≥33a3b3c3，所以abc≥3，(5分)

所以a＋b＋c≥33abc≥333，当且仅当a＝b＝c＝3

3时，取“＝”．(10分)

22. (1) 解：由于直线y＝n与x＝－1垂直，所以MP为点P到直线x＝－1的距离． 连结PF，由于P为线段MF的中垂线与直线y＝n的交点，所以MP＝PF. 所以点P的轨迹是抛物线．(2分) 焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 所以曲线E的方程为y2＝4x.(5分)

(2) 证明：由题意，过点M(－1，n)的切线斜率存在，设切线方程为y－n＝k(x＋1)，

联立y＝kx＋k＋n，

y2＝4x，得ky2－4y＋4k＋4n＝0，

所以Δ1＝16－4k(4k＋4n)＝0，即k2＋kn－1＝0 (*)．(8分) 由于Δ2＝n2＋4>0，所以方程(*)存在两个不等实根，设为k1，k2. 由于k1·k2＝－1，所以∠AMB＝90°，为定值．(10分) 23. 解：(1) f(2)＝1，f(3)＝6，(2分)

f(4)＝25.(4分)

(2) (解法1)设集合A中有k个元素，k＝1，2，3，…，n－1，

则与集合A互斥的非空子集有(2n－

k－1)个．(6分)

于是f(n)＝12

n－k＝C1kn－k

1

n(2－1) ＝1

2

错误!C错误!－C错误!－C错误!＝2n－2， 所以f(n)＝12[(3n－2n－1)－(2n－2)]＝12

(3n－2n＋

1＋1)．(10分)

(解法2)任意一个元素只能在集合A，B，C＝∁U(A∪B)之一中， 则这n个元素在集合A，B，C中，共有3n种；(6分) 其中A为空集的种数为2n，B为空集的种数为2n， 所以A，B均为非空子集的种数为3n－2×2n＋1.(8分) 又(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”，

所以f(n)＝12

(3n－2n＋

1＋1)．(10分)