第２８卷第２期 ２０１３年４月 平顶山学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖ０１．２８ Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２０１３ 短期人口增长预测模型 朱维钧，杨锦伟 （平顶山学院数学与信息科学学院，河南平顶山４６７０９９） 摘 要：利用已知数据对不同维度的灰色ＧＭ（１，１）模型和不同维度新陈代谢ＧＭ（１，１）模型进行了精 度对比．最终选取５维新陈代谢ＧＭ（１，１）模型来预测２０１１—２０２０年的我国人口数量． 关键词：人口模型；人口预测；ＧＭ（１，１）模型 中图分类号：０２１３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—１６７０（２０１３）０２—００１８—０３ ａｚ（Ｉ’（ ）；ｂ（其中ａ为发展系数，ｂ为灰色作用量，。， ０引言 ｂ可用最小二乘法求出）．称ｄｘ‘ ／ｄｔ＋ａｘ，㈩＝ｂ为灰 色ＧＭ（１，１）模型的白化方程，也叫影子方程，ｔ为时 间．则白化方程的解（时间响应函数）为 ‘ （ ）＝（ ‘。 （０）一 ）ｅ ＋ ， 人口问题是影响人口生存与发展的各种问题的 总称，是指人口发展的过程、规模、速度、质量等同社 会经济、生态环境发生不相适应的问题．特别是一些 经济不发达国家的人口过度增长，影响了整个国家的 经济发展、社会安定和人民生活水平的提高，给人类 生活带来许多问题，例如：生态环境问题、劳动就业问 题、人口老龄化问题等．为了解决人口增长过快的问 题，必须控制人口数量，提高人口的素质．使人口的增 长与社会、经济的发展相适应，与环境、资源相协调． 这就需要我们清楚人口的发展过程，预测人口的发展 灰色ＧＭ（１，１）模型的时间响应序列为 ‘ （ ＋１）＝（ （。 （０）一 ）ｅ－ａｋ＋—ｂ—， （１） ‘ ’（０）取为 。 （１），则（１）式变为 ‘ （ ＋１）＝（ （。’（１）一旦）ｅ－ａｋ＋ ， 累减还原得 ‘。 （ｋ＋１）＝ ‘ ’（ｋ＋１）一 ‘。’（ｋ）， 即原始序列的模拟序列为 。’＝（ ‘。’（１）， ‘。’（２）， 。 （３），…， 。 （／７，））． １．２模型检验 一趋势，以便更好地控制人口发展． 常用的人口预测模型有：指数增长模型、阻滞增 长模型、Ｌｅｓｌｉｅ矩阵模型、线性回归模型、微分方程模 型…、灰色预测模型瞳 等．笔者主要采用ＧＭ（１，１）模 型 与新陈代谢ＧＭ（１，１）模型 ． １灰色ＧＭ（１，１）模型¨ 个灰色模型要经过检验才能判定其是否合理， 是否合格．只有通过检验的模型才能用来进行预测． 通常检验方法有以下３种： １）残差合格检验 １．１模型建立 设初始序列和相应的灰色模型预测（模拟）序列 分别为 。 和 ‘ ．残差序列 ６＝（占（１）， （２），…，６（ｎ））＝ 人口增长在短期（１—１０年）内可以看成是一个 灰色系统，可应用灰色系统理论进行研究和分析．灰 色ＧＭ（１，１）模型常用于短期的人口预测、生物生长、 （ ‘。 （１）一 ‘。’（１）， 。 （２）一 ‘。 （２），…， ‘。 （ｎ）一曼‘。 （ｎ）） 繁殖预测及产品经济寿命预测，预测精度也较高．灰 色ＧＭ（１，１）模型的基本原理和计算方法及检验方法 简介如下： 相对残差序列为△＝（△（１），ａ（２），…，△（ｎ））＝ 设 ‘。’为初始数据序列（非负）， “ 为 序列，则ＧＭ（１，１）的灰微分方程为 收稿日期：２０１２—０９—０６ 的一次 （ｋ）＋ （Ｉ Ｉ，１黯 ＇１ Ｉ） 并计算平均相对残差 ＝ｉ１∑△（ ） 累加生成（１一ＡＧＯ）序列，ｚ ’为 “’的紧邻均值生成 作者简介：朱维钧（１９８２一），男，甘肃省天水市人，硕士，平顶山学院数学与信息科学学院讲师 第２期 朱维钧，杨锦伟：短期人口增长预测模型 ・１９・ 给定Ｏ／，当五＜Ｏ／且△（｜ｊ｝）＜ｏｄ成立时，称模型为 差概率合格模型． 残差合格模型． ２）均方差比合格检验 设 ∞ 为原始序列， ∞’为相应的灰色模型预测 一由上可知，给定一组取值，就确定了模型精度的 个等级．常用的精度等级见表１，可供检验模型参 表１ 灰色模型精度检验等级 考． （模拟）序列， 为残差序列，则 ∞’的均值和方差分 别为 ＝ ÷∑ （ ） 和Ｓ ＝ （ 。 （ ）一 ‘。’） ， 的均值和方差分别为 ＝ 砉ｓ（ ）和ｓ ＝ ｌ＿砉（占（ ）一；） ，均方差 ＾）１ 若模型精度为一级，则表示模型精度很高，可用 比值为Ｃ＝ ＇Ｄ２． 对于给定的Ｃｏ＞０，当Ｃ＜Ｃｏ时，称模型为均方 差比合格模型． 于较准确的预测；模型精度为二级，表示模型精度较 高；模型精度为三级和四级时，表示模型精度一般，预 测效果较差． １．３ 数据准备 ３）计算小残差概率（Ｐ＝Ｐ｛ｌ占（ ）一；ｌ＜ ０．６７４５Ｓ，｝） 对于给定的Ｐ。＞０，当Ｐ＞Ｐｏ时，称模型为小残 我们从国家统计局公布的２０１１年统计年鉴中收 集数据．部分数据如表２． 亿人 表２ 各年份全国人口总量表 １．４模型的求解 比较高，模型拟合值与实际值更加接近，故而笔者先 选择５维ＧＭ（１，１）模型为最优预测模型，预测２０１１ 选择初始序列的维度． 由于灰色ＧＭ（１，１）预测模型是一个短时间序列 模型，并不是数据越多越好，所以原始数据不一定全 部用来建模．一般来说，取不同维的数据建立的模型 到２０２０年的人口数．具体计算结果如表５． 表４灰色ＧＭ（１，１）模型误差检验 不一样，参数也都不一样，因而模型的预测值也不一 样．所以，为了提高预测精度，有必要建立不同维数的 ＧＭ（１，１）模型进行比较，从中选择精度高的维数来建 立模型进行预测．考虑到灰色ＧＭ（１，１）模型数据一 般要求不少于５维，所以笔者选择５～９维序列进行 预测，从中选择适当的维数进行建模，结果如表３、表 ４所示． 表３灰色ＧＭ（１，１）模型精度检验 维数 （真实值为（真实值为（真实值为 ： 。 １３ ２ ８０ ２ ９ １ ） １３ ３ ． ４５ ０ ） １３ ４ ． ０）…～ ． 表５ ５维灰色ＧＭ（１，１）模型预测结果 亿人 均方差比Ｃ＝０．００４ ５，小概率误差Ｐ＝１，平均相 对误差０．００５ ７７６％． ２新陈代谢ＧＭ（１，１）模型… 从表３、表４可以看出，短序列预测的误差小于长 序列的，并且预测的时间越短，误差越小．５维灰色 ２．１模型建立 所谓新陈代谢模型，即有原始序列 ’＝ ［ ‘。 （１）， ‘。 （２），…， 。 （ｎ）］建模后求得预测值 ＧＭ（１，１）模型的平均相对误差最小，平均相对精度也 ・２０・ 平顶山学院学报 ２０１３正 ’（ｋ＋１），将此信息加入序列，并去掉最老的信息 ∞’（１）以保持序列长度不变，如此反复类推则可以 建立ＧＭ（１，１）模型群． 对于新陈代谢模型同样要考虑采取几维数据精 度最高，另外还要考虑新陈代谢模型与一般模型哪个 ２０２０年的人口数，见表８ 表８ ５维新陈代谢ＧＭ（１，１）模型预测结果亿人 精度更高．编程计算比较０８、ｏ９、１０年精度，结果如下 （在计算平均相对残差，均方差比，小残差概率时０８， ０９，ｌ０年的数据也计算在内） 由表６，表７的对比我们可以看出新陈代谢 ＧＭ（１，１）的误差较小，精度高，５维新陈代谢ＧＭ（１， １）模型比其他维度的误差较小，精度高．综上所述，我 们在中短期人口预测时采用５维的新陈代谢ＧＭ（１， １）模型． 表６新陈代谢ＧＭ（１，１）模型精度检验 ３结论 笔者对灰色ＧＭ（１，１）模型、新陈代谢ＧＭ（１，１） 模型分别进行了分析与对比，结合实际，建立了不同 维度的预测模型，并对预测模型进行对比和讨论．得 出５维新陈代谢ＧＭ（１，１）模型进行预测效果最好， 并给出结果．由此可以看出，在每次利用灰色模型进 行建模预测时，都需要针对实际数据，筛选恰当类型、 恰当维度的模型，以获得最佳预测结果． ＧＭ（１，１）模型是灰色预测模型中最基本的模型， 且灰色预测作为一种方法是有其自身的局限性，它主 要是反映数据的规律性，而不能完全反映各种随机的 社会因素对预测的影响，因此，模型用于预测短期人 口模型很好，但用于长期预测效果就很不理想，有待 于对预测模型做进一步研究和改进． 表７新新代谢ＧＭ（１，１）模型误差检验 亿人 参考文献： ［１］姜启源，谢金星，叶俊．数学模型［Ｍ］．第３版．北京： 高等教育出版社，２００３． ［２］邓聚龙．灰色系统理论教程［Ｍ］．武汉：华中理工大学 出版社，１９９０． ［３］韩中庚．数学建模方法及其应用［Ｍ］．北京：高等教育 出版社，２００５． ２．２预测结果 ［４］郝永红，王学萌．灰色动态模型及其在人口预测中的应 用［Ｊ］．数学的实践与认识，２００２（９）：８１３—８２０． 利用５维新陈代谢ＧＭ（１，１）模型预测２０１１到 Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｓｈｏｒｔ—．ｔｅｒｍ Ｆｏｒｅｃａｓｔ ｆｏｒ Ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ Ｉｎｃｒｅａｓｅ ＺＨＵ Ｗｅｉ－ｊｕｎ，ＹＡＮＧ Ｊｉｎ－ｗｅｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ＆Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｐｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｐｉｎｇｄｉｎｇｓｈａｎ，Ｈｅｎａｎ ４６７０９９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅｔａｂｏｌｉｓｍ ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｅａｃｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｋｎｏｗｎ ｄａｔｅ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｃｈｏｏｓｅｓ ｔｈｅ ５ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｍｅｔａｂｏｌｉｓｍ ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ ｔｏ ｆｏｒｅｃａｓｔ ｔｈｅ ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ ａｍｏｕｎｔ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｆｒｏｍ ２０１０ ｔｏ ２０２０． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ；ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ；ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ