最新人教版九年级数学上册知识点总结【最新整理】

数学上册知识点总结

21.1 一元二次方程

知识点一 一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点：

① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法

知识点一 直接开平方法解一元二次方程

（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，

可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a.

（2） 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果

p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正

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数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含

有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1） 把常数项移到等号的右边； ⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法

知识点一 公式法解一元二次方程

（1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么

方程的两个根为x=

bb2a24ac，这个公式叫做一元二次方程的求根

公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二

次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：

① 方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号；

③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式

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即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.

△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根

一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式

△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根

21.2．3 因式分解法

知识点一 因式分解法解一元二次方程

（1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进

而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2） 因式分解法的详细步骤：

① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

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④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名 理论依据 称 直接开平平方根的意形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0) 所有一元二次方程 所有一元二次方程 适用范围 方法 义 配方法 公式法 因式分解法 完全平方公式 配方法 当ab=0，则a=0一边为0，另一边易于分解或b=0 成两个一次因式的积的一元二次方程。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=，

bc,x1x2= aa22.3 实际问题与一元二次方程

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及

它们之间的等量关系。

（2） 设：是指设元，也就是设出未知数。

（3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义

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的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。

（5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。

知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c. （2） 增长率问题

设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1x）2=b。 （3）利润问题

利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

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二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分 基础知识

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数yax2的性质

（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）. 3.二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 4.二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式，其中

b4acb2h，k.

2a4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax2；②yax2k；③yaxh2；④yaxh2k；⑤yax2bxc. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

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b4acb2b4acb2（，） （1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是，

2a4a2a4a22对称轴是直线xb. 2a （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxh2k的形

式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所

以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无

一失.

9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

bb，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）时，2aab对称轴在y轴左侧；③0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

ax （3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，

c）：

①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴

交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴

右侧，则 0.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式

ba开口方向 对称轴 7

顶点坐标 【知识分享】

yax2 yax2k yaxh 2 x0（y轴） x0（y轴） xh xh xb 2a（0,0） (0, k) (h,0) (h,k) b4acb2(，2a4a2yaxhk 当a0时 yax2bxc 开口向上 当a0时 开口向下 11.用待定系数法求二次函数的解析式

) （1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

yaxx1xx2.

12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0, c).

（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点

(h,ah2bhc). （3）抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对

应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离.

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（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，

两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像

G的交点，由方程组

ykxnyaxbxc2的解的数目来确定：①方程组有两

组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点

0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故 为Ax1，bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x224cb24acb4x1x2

aaaa2

第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义

在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 知识点二 旋转的性质

旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。

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理解以下几点：

（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到

旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 知识点三 利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：

①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）

③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 23.2 中心对称

知识点一 中心对称的定义

中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点：

中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。

知识点二 作一个图形关于某点对称的图形

要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。 知识点三 中心对称的性质

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有以下几点：

（1） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被

对称中心平分；

（2） 关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形； （3） 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 知识点四 中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 知识点五 关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。

第二十四章 圆 24.1 圆 24.1.1 圆 知识点一 圆的定义

圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二 圆的相关概念

（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

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（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两

个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一 圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二 垂径定理

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所

C

示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB，

M A B

AM=BM 垂足为M AC=BC D AD=BD

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD

注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分

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的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点 弦、弧、圆心角的关系

（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角

所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相

等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使

圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4 圆周角 知识点一 圆周角定理

（1） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半。

（2） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周

角所对弦是直径。

（3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同

弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。 知识点二 圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 24.2 点、直线、圆和圆的位置关系

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24.2.1 点和圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系

（1） 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。 （2） 用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，则

有：

点P在圆外 d＞r；点p在圆上 d=r；点p在圆内 d＜r。

知识点二 过已知点作圆 （1） 经过一个点的圆（如点A）

以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

·O1 A ·O2

·O3

（2） 经过两点的圆（如点A、B）

以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。 A

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B （3） 经过三点的圆

① 经过在同一条直线上的三个点不能作圆

② 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA（或OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。 ③

知识点三 三角形的外接圆与外心

（1） 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 （2） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的

外心。 知识点四 反证法

（1） 反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作

假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。 （2） 反证法的一般步骤： ① 假设命题的结论不成立；

② 从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与

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A O B C 【知识分享】

已知等相矛盾的结论；

③ 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。 24.2.2 直线和圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系

（1） 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 （2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示

若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：

直线l和⊙O相交 d ＜ r； 直线l和⊙O相切 d = r； 直线l和⊙O相离 d ＞ r。 知识点二 切线的判定和性质

（1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切

线。

（2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

（3） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半

径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 知识点三 切线长定理

（1） 切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，

叫做这点到圆的切线长。

（2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这

一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（3） 注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，

是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。

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知识点四 三角形的内切圆和内心 (1)

三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

这个三角形叫做圆的外切三角形。 (2) (3)

三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的

内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。 24.2.3 圆和圆的位置关系 知识点一 圆与圆的位置关系 （1） 圆与圆的位置关系有五种：

① 如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种； ② 如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种； ③ 如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。 （2） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：

若设两圆圆心之间的距离为d，两圆的半径分别是r1 r2,且r1 ＜ r2，则有 两圆外离 d＞r1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 r2-r1＜d＜r1+r2 两圆内切 d=r2-r1 两圆内含 d＜r2-r1 24.3 正多边形和圆

知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

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正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二 正多边形的性质

（1） 正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。 （2） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条

对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。 （3） 正n边形的每一个内角等于24.4 弧长和扇形面积 知识点一 弧长公式l=

nR 180(n2)180360，中心角和外角相等，等于。 nn在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=知识点二 扇形面积公式

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR2，所

nR2以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=。

360nnR×2πR=。 360180比较扇形的弧长公式和面积公式发现：

nR2nR111RlR,所以s扇形lR S扇形=360180222知识点三 圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积

s圆锥侧12rlrl。圆锥的全面积为s圆锥全s圆锥侧s底rlr2。 225.1 随机事件与概率 25.1.1 随机事件

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知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。

必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。

知识点二 事件发生的可能性的大小

必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 25.1.2 概率 知识点 概率

一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=由m和n的含义可知0≤m≤n，因此0≤1.

当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 25.2 用列举法求概率 知识点一 用列举法求概率

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=知识点二 用列表发求概率

当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地

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m。nm≤1，因此 0≤P（A）≤nm。 n【知识分享】

列出所有可能的结果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。 知识点三 用树形图求概率

当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。

（1） 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方

法。

（2） 在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现

的可能性务必相同。

25.3 用频率估计概率 知识点

在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率

m稳定于某一个常数nP，那么事件A发生的频率P（A）=p 。

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