2018年省州中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（3分）（2018•州）﹣8的倒数是（ ） A．﹣8 B．8
C．﹣ D．
2．（3分）（2018•州）下列计算正确的是（ ） A．a4+a5=a9 B．（2a2b3）2=4a4b6
C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2
3．（3分）（2018•州）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2018•州）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ） A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106
D．8.23×107
5．（3分）（2018•州）已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
6．（3分）（2018•州）如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（ ）
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A．125° B．135° C．145° D．155°
7．（3分）（2018•州）64的立方根为（ ） A．8
B．﹣8 C．4
D．﹣4
的解集为x＞3，那么a的取
8．（3分）（2018•州）关于x的不等式值围为（ ） A．a＞3
B．a＜3
C．a≥3
D．a≤3
9．（3分）（2018•州）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正方体的个数不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（3分）（2018•州）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ） A．不盈不亏
B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元
11．（3分）（2018•州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
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A．6 B．8 C．10 D．12
12．（3分）（2018•州）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中： ①abc＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③9a﹣3b+c=0；
④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2； ⑤5a﹣2b+c＜0．
其中正确的个数有（ ）
A．2
B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
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13．（3分）（2018•州）因式分解：8a﹣2ab=． 14．（3分）（2018•州）函数y=
的自变量x的取值围是．
32
15．（3分）（2018•州）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为．（结果不取近似值）
16．（3分）（2018•州）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为个．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分.请在答题卷指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（2018•州）先化简，再求值：x=2
﹣1．
•（1+
）÷
，其中
18．（8分）（2018•州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O． 求证：AD与BE互相平分．
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19．（8分）（2018•州）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a=，b=，c=；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为度；
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
20．（8分）（2018•州）如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据
≈1.41，
≈1.73）
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21．（8分）（2018•州）如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C． （1）求k的值及C点坐标；
（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y=交于D、E两点，求△CDE的面积．
22．（10分）（2018•州）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
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（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
23．（10分）（2018•州）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点． （1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD； （3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
24．（12分）（2018•州）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．
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2018年省州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（3分）（2018•州）﹣8的倒数是（ ） A．﹣8 B．8
C．﹣ D．
【解答】解：根据倒数的定义得：﹣8×（﹣）=1， 因此﹣8的倒数是﹣． 故选：C．
2．（3分）（2018•州）下列计算正确的是（ ） A．a4+a5=a9 B．（2a2b3）2=4a4b6
C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2
【解答】解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；
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C、﹣2a（a+3）=﹣2a﹣6a，故本选项错误； D、（2a﹣b）2=4a2﹣4ab+b2，故本选项错误； 故选：B．
2
3．（3分）（2018•州）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确． 故选：D．
4．（3分）（2018•州）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ） A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 【解答】解：0.000000823=8.23×10﹣7． 故选：B．
D．8.23×107
5．（3分）（2018•州）已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵数据1、2、3、x、5的平均数是3， ∴
=3，
解得：x=4，
则数据为1、2、3、4、5，
∴方差为×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2， 故选：B．
6．（3分）（2018•州）如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【解答】解：
∵a∥b， ∴∠1=∠4=35°， ∵∠2=90°， ∴∠4+∠5=90°，
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∴∠5=55°，
∴∠3=180°﹣∠5=125°， 故选：A．
7．（3分）（2018•州）64的立方根为（ ） A．8
B．﹣8 C．4
D．﹣4
【解答】解：64的立方根是4． 故选：C．
8．（3分）（2018•州）关于x的不等式值围为（ ） A．a＞3
B．a＜3
C．a≥3
D．a≤3
的解集为x＞3，那么a的取
【解答】解：解不等式2（x﹣1）＞4，得：x＞3， 解不等式a﹣x＜0，得：x＞a， ∵不等式组的解集为x＞3， ∴a≤3， 故选：D．
9．（3分）（2018•州）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正方体的个数不可能是（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：由左视图可得，第2层上至少一个小立方体，
第1层一共有5个小立方体，故小正方体的个数最少为：6个，故小正方体的个数不可能是5个． 故选：A．
10．（3分）（2018•州）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ） A．不盈不亏
B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元
【解答】解：设两件衣服的进价分别为x、y元， 根据题意得：120﹣x=20%x，y﹣120=20%y， 解得：x=100，y=150，
∴120+120﹣100﹣150=﹣10（元）． 故选：C．
11．（3分）（2018•州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
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【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴
=
=2，
∴AF=2GF=4， ∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG， ∴CG为△EAB的中位线， ∴AE=2AG=12． 故选：D．
12．（3分）（2018•州）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中： ①abc＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③9a﹣3b+c=0；
④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2； ⑤5a﹣2b+c＜0．
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其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵抛物线对称轴x=﹣1，经过（1，0）， ∴﹣
=﹣1，a+b+c=0，
∴b=2a，c=﹣3a， ∵a＞0， ∴b＞0，c＜0， ∴abc＜0，故①错误， ∵抛物线与x轴有交点， ∴b2﹣4ac＞0，故②正确， ∵抛物线与x轴交于（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c=0，故③正确，
∵点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上， ﹣1.5＞﹣2，
则y1＜y2；故④错误，
∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a＜0，故⑤正确， 故选：B．
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二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
13．（3分）（2018•州）因式分解：8a3﹣2ab2= 2a（2a+b）（2a﹣b） ． 【解答】解：8a3﹣2ab2=2a（4a2﹣b2） =2a（2a+b）（2a﹣b）．
故答案为：2a（2a+b）（2a﹣b）．
14．（3分）（2018•州）函数y=的自变量x的取值围是 x≥﹣且x≠3 ．
【解答】解：根据题意得2x+1≥0，x﹣3≠0， 解得x≥﹣且x≠3． 故答案为：x≥﹣且x≠3．
15．（3分）（2018•州）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为
π ．（结果不取近似值）
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°， ∴∠ACB=30°，BC=
，
将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，
为半径，圆心角为150°的弧长；第二部
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分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长； ∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积=故答案为
+π．
=．
16．（3分）（2018•州）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 1946 个．
【解答】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1946， 故答案为：1946．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分.请在答题卷指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（2018•州）先化简，再求值：x=2
﹣1．
•（1+
•
•（1+）÷，其中
【解答】解：==
，
•
）÷
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把x=2
﹣1代入得，原式===．
18．（8分）（2018•州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O． 求证：AD与BE互相平分．
【解答】证明：如图，连接BD，AE， ∵FB=CE， ∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， 在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE， 又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AD与BE互相平分．
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19．（8分）（2018•州）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a= 2 ，b= 45 ，c= 20 ；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 72 度； （3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为12÷30%=40人， ∴a=40×5%=2，b=
×100=45，c=
×100=20，
故答案为：2、45、20；
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°， 故答案为：72；
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（3）画树状图，如图所示：
共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个， 故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）=
=．
20．（8分）（2018•州）如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据
≈1.41，
≈1.73）
【解答】解：由题意知：∠WAC=30°，∠NBC=15°， ∴∠BAC=60°，∠ABC=75°， ∴∠C=45°
过点B作BE⊥AC，垂足为E． 在Rt△AEB中，
∵∠BAC=60°，AB=100米 ∴AE=cos∠BAC×AB
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=×100=50（米） BE=sin∠BAC×AB =
×100=50
（米）
在Rt△CEB中， ∵∠C=45°，BE=50∴CE=BE=50∴AC=AE+CE =50+86.5 =136.5（米） ≈137米
答：旗台与图书馆之间的距离约为137米．
（米）
=86.5（米）
21．（8分）（2018•州）如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C． （1）求k的值及C点坐标；
（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y=交于D、E两点，求△CDE的面积．
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【解答】解：（1）令﹣2x+4=，则2x2﹣4x+k=0，
∵直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C， ∴△=16﹣8k=0， 解得k=2， ∴2x2﹣4x+2=0， 解得x=1， ∴y=2， 即C（1，2）；
（2）当y=2时，2=，即x=3， ∴D（3，2）， ∴CD=3﹣1=2，
∵直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称， ∴A（2，0），B'（0，﹣4）， ∴直线l为y=2x﹣4，
令=2x﹣4，则x2﹣2x﹣3=0，
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解得x1=3，x2=﹣1， ∴E（﹣1，﹣6），
∴△CDE的面积=×2×（6+2）=8．
22．（10分）（2018•州）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【解答】解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，
，解得，
，
答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；
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（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30﹣a）台，
，
解得，10≤a≤12，
∴a=10、11、12，共有三种采购方案，
方案一：采购A型空调10台，B型空调20台， 方案二：采购A型空调11台，B型空调19台， 方案三：采购A型空调12台，B型空调18台； （3）设总费用为w元，
w=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000， ∴当a=10时，w取得最小值，此时w=210000，
即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．
23．（10分）（2018•州）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点． （1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD； （3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
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【解答】证明：（1）如图1，连接OD、BD，BD交OE于M， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，AD⊥BD， ∵OE∥AD， ∴OE⊥BD， ∴BM=DM， ∵OB=OD， ∴∠BOM=∠DOM， ∵OE=OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS）， ∴∠ODE=∠OBE=90°， ∴DE为⊙O切线； （2）设AP=a， ∵sin∠ADP=∴AD=3a， ∴PD=∵OP=3﹣a， ∴OD2=OP2+PD2， ∴32=（3﹣a）2+（29=9﹣6a+a2+8a2， a1=，a2=0（舍）， 当a=时，AD=3a=2，
a）2， =
=2
a，
=，
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∴AD=2； （3）PF=FD，
理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE， ∴△APF∽△ABE， ∴∴PF=
， ，
∵OE∥AD， ∴∠BOE=∠PAD， ∵∠OBE=∠APD=90°， ∴△ADP∽△OEB， ∴∴PD=
， ，
∵AB=2OB， ∴PD=2PF， ∴PF=FD．
24．（12分）（2018•州）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．
【解答】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2）， 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；
（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+， ∴D（1，），
当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）； 当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）； 当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，（3）设直线BC解析式为y=kx+b， 把B（3，0），C（0，2）代入得：解得：
，
，
）；
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.
∴y=﹣x+2，
设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0， 解得：b=，即y=﹣x+， 此时交点M1坐标为（，）； 可得出两平行线间的距离为
，
的直线方程为y=﹣x+， ﹣），
同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为联立解得：M2（此时S=1．
，
﹣），M3（
，﹣
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