三角函数的图像与性质练习题

三角函数的图像与性质练习题

正弦函数、余弦函数的图象

A组

1.下列函数图象相同的是( ) A.y=sin x与y=sin(x+π)

B.y=cos x与y=sinC.y=sin x与y=sin(-x)

D.y=-sin(2π+x)与y=sin x

解析:由诱导公式易知y=sin答案:B

=cos x,故选B.

2.y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:作出y=1+sin x在[0,2π]上的图象,可知只有一个交点.

答案:B

3.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是( )

解析:y=sin(-x)=-sin x,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B. 答案:B

4.已知cos x=-,且x∈[0,2π],则角x等于( )

A. B.

.

C. D.

解析:如图:

由图象可知,x=.

答案:A

5.当x∈[0,2π]时,满足sin≥-的x的取值范围是( )

A. B. C. D.解析:由sin≥-,得cos x≥-.

画出y=cos x,x∈[0,2π],y=-的图象,如图所示.

∵cos

=cos=-,∴当x∈[0,2π]时,由cos x≥-,可得x∈答案:C

6.函数y=2sin x与函数y=x图象的交点有 个.

解析:在同一坐标系中作出函数y=2sin x与y=x的图象可见有3个交点.

.

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.

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答案:3

7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈[0,2π]的x的区间是 .

解析:画出y=cos x,x∈[0,2π]上的图象如图所示. cos x>0的区间为

答案:

;⑤y=

.其中与函数y=sin x

8.下列函数的图象:①y=sin x-1;②y=|sin x|;③y=-cos x;④y=图象形状完全相同的是 .(填序号)

解析:y=sin x-1的图象是将y=sin x的图象向下平移1个单位,没改变形状,y=-cos x的图象是作了对称变换,没改变形状,与y=sin x的图象形状相同,∴①③完全相同.而②y=|sin x|的图象,④y=x|的图象和⑤y=答案:①③

9.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积. 解:观察图可知:图形S1与S2,S3与S4是两个对称图形,有S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x的图象与直线y=2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积.

=|sin x|的图象与y=sin x的图象形状不相同.

=|cos

因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π.故所求封闭图形的面积为4π. 10.作出函数y=-sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题. (1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:

①y>0;②y<0.

(2)直线y=与函数y=-sin x,x∈[-π,π]的图象有几个交点? 解:列表:

.

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x sin x -π - 0 π 0 -1 0 1 0 -sin 0 1 0 -1 0 x

描点作图:

(1)根据图象可知,①当y>0时,x∈(-π,0);

②当y<0时,x∈(0,π).

(2)在简图上作出直线y=,由图可知有两个交点.

B组

1.函数f(x)=A.没有零点

-cos x在[0,+∞)内( )

B.有且仅有一个零点

D.有无穷多个零点

-cos x=0,则

=cos x.

C.有且仅有两个零点 解析:数形结合法,令f(x)=

设函数y=一个,所以函数f(x)=

和y=cos x,它们在[0,+∞)上的图象如图所示,显然两函数图象的交点有且只有

-cos x在[0,+∞)内有且仅有一个零点.

答案:B

2.已知f(x)=sinA.与g(x)的图象相同

,g(x)=cos,则f(x)的图象( )

.

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B.与g(x)的图象关于y轴对称 C.向左平移个单位,得g(x)的图象 D.向右平移个单位,得g(x)的图象

解析:∵f(x)=sin=cos x,g(x)=cos=sin x,

∴f(x)的图象向右平移个单位,得g(x)的图象.

由y=sin x和y=cos x的图象知,A,B,C都错,D正确. 答案:D

3.在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围是( )

A. B.

C. D.

解析:如图所示(阴影部分)时满足sin x>cos x.

答案:C

4.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是 . 解析:画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图如下:

因为sin,

.

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所以sin=-,sin=-.即在[0,2π]内,满足sin x=-的是

x=或x=.可知不等式sin x<-的解集是.

答案:

5.(2016·河南南阳一中期末)函数y=的定义域是 .

解析:由题意,得∴

∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.故函数y=的定义域为

,k∈Z.

答案:,k∈Z

6利用正弦曲线,写出函数y=2sin x的值域是 .

解析:y=2sin x的部分图象如图.

当x=当x=

时,ymax=2, 时,ymin=1,

故y∈[1,2]. 答案:[1,2]

7.画出正弦函数y=sin x(x∈R)的简图,并根据图象写出:

.

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(1)y≥时x的集合;

(2)-≤y≤时x的集合.

解:(1)画出y=sin x的图象,如图,直线y=在[0,2π]上与正弦曲线交于两点,在[0,2π]区间

内,y≥时x的集合为.当x∈R时,若y≥,则x的集合为

.

(2)过两点分别作x轴的平行线,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点

(k∈Z),(k∈Z)和点(k∈Z),(k∈Z),那么曲线上

夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当-≤y≤时x的集合为

.

8.作出函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的简图,并回答下列问题: (1)观察函数图象,写出y的取值范围;

(2)若函数图象与y=解:列表:

在x∈[0,π]上有两个交点,求a的取值范围.

.

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0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 x 2+sin 2 3 2 1 2 x

描点、连线,如图.

(1)由图知,y∈[1,3].

(2)由图知,当2≤<3时,函数图象与y=在[0,π]上有两个交点,即-5故a的取值范围是(-5,-3].

正弦函数、余弦函数的性质(一)

A组

1.函数f(x)=-2sin的最小正周期为( )

A.6

B.2π

C.π

D.2

解析:T==2. 答案:D

2.下列函数中,周期为的是( ) A.y=sin C.y=cos

B.y=sin 2x D.y=cos(-4x)

解析:对D,y=cos(-4x)=cos 4x,

.

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∴T=

答案:D

,故选D.

3.(2016·四川遂宁射洪中学月考)设函数f(x)=sinA.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数

,x∈R,则f(x)是( )

解析:因为f(x)=sin函数. 答案:B

=-cos 2x,所以f(-x)=-cos 2(-x)=-cos 2x=f(x),所以f(x)是最小正周期为π的偶

4.已知函数f(x)=sin,g(x)=sin的最小正周期分别为T1,T2,则sin(T1+T2)=( )

A.- B.- C. D.

解析:由已知T1=答案:B

,T2=,∴sin(T1+T2)=sin=sin=-sin=-.

5.(2016·浙江金华一中月考)设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有

f(x)=则f=( )

A. C.0

B.- D.1

解析:因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f=f=f.

.

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又因为0≤答案:A

≤π,所以f=f=sin.

6.函数y=4sin(2x+π)的图象关于 对称.

解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称. 答案:原点

7.函数y=sin(ω>0)的最小正周期为π,则ω= .

解析:∵y=sin的最小正周期为T=,

∴答案:3

,∴ω=3.

8.若f(x)(x∈R)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(4)= . 解析:∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为T=2.

∴f(4)=f(0).又f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(0)=0.∴f(4)=0.

答案:0

9.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sinx的奇偶性.

解:因为f(x)=cos(2π-x)-x3sinx=cos x-x3sinx的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos x-x3sinx=f(x),所以f(x)为偶函数.

10.若函数f(x)是以为周期的偶函数,且f解:∵f(x)的周期为,且为偶函数,

=1,求f的值.

∴f=f=f=f.而

f=f=f=f=1,∴f=1.

.

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B组

1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是( )

解析:显然D中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而A,C中每经过一个单位长度,图象重复出现.B中图象每经过2个单位,图象重复出现.所以A,B,C中函数是周期函数,D中函数不是周期函数. 答案:D

2.函数y=cosA.10

(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是( ) B.11

C.12

D.13

解析:∵T=答案:D

≤2,∴k≥4π.又k∈Z,∴正整数k的最小值为13.

3.将函数y=sin x的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( ) A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为π

C.y=f(x)的图象关于直线x=对称

D.y=f(x)的图象关于点对称

解析:y=sin x的图象向左平移个单位,得y=f(x)=sin=cos x的图象,所以f(x)是偶函数,A不正

确;f(x)的周期为2π,B不正确;f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,C不正确;f(x)的图象关于点

(k∈Z)对称,当k=-1时,点为

答案:D

,故D正确.综上可知选D.

.

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4.若函数f(x)是以π为周期的奇函数,且当x∈时,f(x)=cos x,则f=( )

A. B. C.- D.-

解析:∵f(x)的最小正周期是π,∴f答案:C

=f=f.又f(x)是奇函数,∴f=-f=-cos=-.

5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则有下面三个式子:

①f解析:当0≤x≤1时,3≤-x+4≤4,f(-x+4)=-x+4-2=-x+2,

∴f[-(x-4)]=f(x-4)=f(x)=-x+2, ∴f(x)在[0,1]上是减函数.

∵1>sin>cos>0,1>sin 1>cos 1>0,1>cos>sin>0,∴f

答案:②③

f.

6.已知函数y=sin x+|sin x|. (1)画出这个函数的简图;

(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.

解:(1)y=sin x+|sin x|

=

函数图象如图所示.

.

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(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.

7.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈x.

(1)求当x∈[-π,0]时,f(x)的解析式; (2)画出函数f(x)在[-π,π]上的简图;

时,f(x)=sin

(3)求当f(x)≥时x的取值范围.

解:(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∵当x∈时,f(x)=sin x,∴当x∈时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.

又当x∈x.

(2)如图.

时,x+π∈,f(x)的周期为π,∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin x.∴当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin

(3)∵在[0,π]内,当f(x)=时,x=,

∴在[0,π]内,f(x)≥时,x∈.

又f(x)的周期为π,∴当f(x)≥时,x∈,k∈Z.

正弦函数、余弦函数的性质(二)

A组

.

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1.函数y=|sin x|的一个单调增区间是( )

A. B.

C. D.

解析:画出y=|sin x|的图象即可求解.

故选C. 答案:C

2.(2016·福建三明一中月考)y=cos(-π≤x≤π)的值域为( )

A. B.[-1,1] C. D.

解析:因为-π≤x≤π,所以-答案:C

.所以-≤cos≤1,y=cos(-π≤x≤π)的值域为.

3.函数f(x)=3sin在下列区间内递减的是( )

A. B.[-π,0]

C. D.

解析:令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z可得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的递减区间为

,k∈Z.从而可判断,∴在x∈时,f(x)单调递减.

.

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答案:D

4.函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为4π,当f(x)取得最小值时,x的取值集合为( )

A.

B.

C.

D.

解析:∵T==4π,∴ω=.∴f(x)=2sin答案:A

.由x-=2kπ-(k∈Z),得x=4kπ-(k∈Z).

5.已知函数f(x)=sin,x∈R,下列结论错误的是 ( )

A.函数f(x)的最小正周期为2π

B.函数f(x)在区间上是增函数

C.函数f(x)的图象关于y轴对称 D.函数f(x)是奇函数

解析:f(x)=sin=-sin=-cos x,

∴周期T=2π,∴选项A正确;

f(x)在上是增函数,∴选项B正确;

定义域是R,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),

∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,

.

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∴选项C正确,选项D错误.

答案:D

6.函数y=sin |x|+sin x的值域是 .

解析:∵y=sin |x|+sin x=答案:[-2,2]

∴-2≤y≤2.

7.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是 . 解析:∵y=cos x在[-π,0]上为增函数,

又在[-π,a]上递增,∴[-π,a]⊆[-π,0].

∴a≤0.又∵a>-π,∴-π答案:(-π,0]

8.若函数f(x)=sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω= .

解析:由题意知函数f(x)在x=处取得最大值,

∴=2kπ+,ω=6k+,k∈Z.

又0<ω<2,∴ω=.

答案:

9.已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期为π.

(1)求f(x)在上的值域,并求出取最小值时的x值;

(2)求f(x)的单调递增区间.

解:由已知得=π,ω=1,∴f(x)=sin.

(1)当x∈时,≤2x+.

.

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∴-≤sin≤1.∴f(x)值域为.

当2x+时,f(x)取最小值-时,f(x)取最小值.

≤2x+

≤2kπ+

,

∴x=

(2)令2kπ-

(k∈Z),

得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

∴f(x)的递增区间为(k∈Z).

10.已知函数f(x)=2asin+a+b的定义域是,值域是[-5,1],求a,b的值.

解:∵0≤x≤,∴≤2x+.

∴-≤sin≤1.

∴a>0时,解得

a<0时,解得

因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.

B组

1.若0<α<β<,a=A.asinB.a>b D.ab>

,b=sin,则 ( )

.

解析:∵0<α<β<,∴<α+<β+.

而正弦函数y=sin x在x∈上是增函数,

∴sin∴sinsin,即a答案:A

2.若a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数y=sin2x+2asin x的最大值为( A.2a+1 B.2a-1 C.-2a-1

D.a2

解析:令sin x=t,则-1≤t≤1,原函数变形为y=t2+2at=(t+a)2-a2.

∵a>1,∴当t=1时,ymax=12+2a×1=2a+1,故选A.

答案:A

3.函数y=cos的单调递增区间是( )

A.,k∈Z

B.,k∈Z

C.,k∈Z

D.,k∈Z

解析:函数y=cos

=cos,

令2kπ-π≤2x-

≤2kπ,k∈Z,

.

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) 精品文档

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

故单调递增区间为答案:B

,k∈Z.

4.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值为 .

解析:∵,

∴y=2sin-cos

=2cos-cos=cos.

∴ymin=-1.

答案:-1

5.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间是 .

上单调递增,则当ω取最大值时,函数f(x)=sin ωx的周期

解析:令2kπ-≤ωx≤2kπ+可得≤x≤,∴k=0时,f(x)在上递增.

又∵f(x)在上递增,

∴解得0<ω≤.

∴ω的最大值为.∴周期T=.

.

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答案:

6.对于函数f(x)=给出下列四个命题:

①该函数是以π为最小正周期的周期函数; ②当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值-1;

③该函数的图象关于直线x=+2kπ(k∈Z)对称;

④当且仅当2kπ其中正确命题的序号是 . 解析:画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象.

由图象知,函数f(x)的最小正周期为2π,在x=π+2kπ(k∈Z)和x=得最小值,为-1,故①②错误.

+2kπ(k∈Z)时,该函数都取

由图象知,函数图象关于直线x=+2kπ(k∈Z)对称,在2kπ时,0答案:③④

7.已知函数y=sin(1)求函数的周期;

.

(2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间.

解:y=sin可化为y=-sin.

.

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(1)周期T=(2)令2kπ-≤2x-

=π.

≤2kπ+

,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

所以x∈R时,y=sin的单调递减区间为,k∈Z.

从而x∈[-π,0]时,y=sin的单调递减区间为.

8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的

距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴. (1)求ω的值;

(2)求y=f(x)的单调递增区间;

(3)若x∈,求y=f(x)的值域.

解:(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以

ω==2.

(2)因为直线x=Z,φ=kπ+

又|φ|<

,k∈Z. ,所以φ=

.

是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×

+φ=kπ+

,k∈

所以函数的解析式是y=sin.

.

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令2x+,k∈Z,

解得x∈,k∈Z.

所以函数的单调递增区间为,k∈Z.

(3)因为x∈,所以2x+.

所以sin,

即函数的值域为

.

正切函数的性质与图象

A组

1.当x∈时,函数y=tan |x|的图象( )

A.关于原点对称 C.关于x轴对称

B.关于y轴对称 D.没有对称轴

解析:∵x∈答案:B

,f(-x)=tan |-x|=tan |x|=f(x),∴f(x)为偶函数,即y=tan |x|的图象关于y轴对称.

2.(2016·河北衡水二中月考)函数f(x)=tan的单调递减区间为( )

A.,k∈Z

.

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B.,k∈Z

C.,k∈Z

D.(kπ,(k+1)π),k∈Z

解析:因为f(x)=tan=-tan,

所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan的单调递增区间.

故kπ-≤x-≤kπ+,k∈Z,kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以原函数的单调递减区

间是答案:B

,k∈Z.

3.函数f(x)=tan ax(a>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为2,则a的值为( )

A. B. C.π D.1

解析:由已知得f(x)的周期为2,∴=2.∴a=. 答案:A 4.函数f(x)=A.是奇函数 B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

的奇偶性是( )

解析:f(x)的定义域为,

.

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∴f(-x)=∴f(x)是奇函数.

答案:A

=-f(x).

5.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan |x|在x∈到d对应的函数关系式应是( )

内的大致图象,那么由a

A.①②③④ C.③②④①

B.①③④② D.①②④③

解析:y=tan(-x)=-tan x在答案:D

上是减函数,只有图象d符合,即d对应③.

6.已知函数y=3tan的最小正周期是,则ω= .

解析:由题意知,T=答案:±2

,∴ω=±2.

7.函数y=3tan的对称中心的坐标是 .

解析:由x+,k∈Z,得x=,k∈Z,

.

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即对称中心坐标是(k∈Z).

答案:(k∈Z)

8.满足tan≥-的x的集合是 .

解析:把x+看作一个整体,利用正切函数的图象可得kπ-≤x+Z.故满足tan≥-的x的集合是.

答案:

9.求函数y=tan的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性.

解:由4x-≠kπ+,得x≠,

∴所求定义域为,值域为R,周期T=.

又f没有意义,

f=tan=0,

∴f(x)是非奇非偶函数.

令-+kπ<4x-+kπ,k∈Z,

解得.

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∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z),不存在单调递减区间.

10.已知函数f(x)=2tan的单调递增区间.

(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2π,求f(x)

解:由题意知,函数f(x)的周期为2π,

则=2π,由于ω>0,故ω=.

所以f(x)=2tan.

再由kπ-x+得2kπ-即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

11.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈解:∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.

令tan x=t,则t∈[-1,1].

的值域.

∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1,即x=-当t=1,即x=

时,ymin=-4, 时,ymax=4.

故所求函数的值域为[-4,4].

B组

1.函数y=的定义域为( )

.

A.

B.

C.

D.

解析:由题意知

即

得故x≠(k∈Z).

答案:A

2.函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同,则ω=( A.±1

B.1

C.±2

D.2

解析:∵函数g(x)的周期为=π,

∴=π,∴ω=±1.

答案:A

3.设a=lotan 70°,b=losin 25°,c=,则有( )

A.aB.b.

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)

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C.c解析:∵tan 70°>tan 45°=1,∴a=lotan 70°<0.

又∵0∴b=losin 25°>lo=1.

而c=答案:D

∈(0,1),∴b>c>a.

4.已知函数y=tan ωx在内是减函数,则ω的取值范围为 .

解析:由题意可知ω<0,又

故-1≤ω<0. 答案:-1≤ω<0

.

5.已知y=2tan(ωx+φ)

解析:由题图可知,当x=时,y=2,

的部分图象如图所示,则ω= ,φ= .

即2tan即

ω+φ=kπ+

=2,tan(k∈Z). ①

=1,

又直线x=为它的一条渐近线,

.

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∴ω+φ=kπ+(k∈Z), ②

而ω>0,|φ|<答案:2 -

,由①②可得

6.方程-tan x=0在x∈内的根的个数为 .

解析:分别画出y=与y=tan x在x∈内的图象,如图.

易知y=答案:2

与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.

7.函数f(x)=tan(3x+φ)图象的一个对称中心是,其中0<φ<,试求函数f(x)的单调区间.

解:由于函数y=tan x的对称中心为,其中k∈Z,

则+φ=,即φ=,所以当k=2时,φ=

. .

由于0<φ<

故函数解析式为f(x)=tan.

.

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由于正切函数y=tan x在区间kπ-<3x+

,

(k∈Z)上为增函数,则令

解得故函数的单调增区间为没有单调减区间.

,k∈Z.

8.设函数f(x)=tan.

(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间; (2)求不等式-1≤f(x)≤

的解集;

(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.

解:(1)由+kπ(k∈Z),得x≠+2kπ,

∴f(x)的定义域是.

∵ω=

由-

,∴周期T=+kπ<

=2π. +kπ(k∈Z),

得-+2kπ∴函数f(x)的单调递增区间是

(k∈Z).

.

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(2)由-1≤tan得-+kπ≤

,

+kπ(k∈Z),

解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).

∴不等式-1≤f(x)≤的解集是.

(3)令=0,则x=.

令令

=-

,则x=

,则x=-

.

.

∴函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻

的两条渐近线方程分别是x=-示).

,x=.从而得函数y=f(x)在区间内的简图(如图所

函数y=Asin(ωx+φ)的图象

A组

1.把函数y=cos x的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍,然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度,得到的图象对应的解析式为( )

.

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A.y=sin 2x B.y=-sin 2x

C.y=cos D.y=cos

解析:y=cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y=cos 2x的图象;

再把y=cos 2x的图象沿x轴负方向平移

个单位长度,就得到y=cos

2=cos

即y=-sin 2x的图象.

的图象.

答案:B

2.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:

ωx+φ 0 x y 0 2 0 -2 0

则有( ) A.A=0,ω=,φ=0 C.A=2,ω=3,φ=-

B.A=2,ω=3,φ= D.A=1,ω=2,φ=-

π 2π 解析:由表格得A=2,,

∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.

当x=答案:C

时,3x+φ=

+φ=0,∴φ=-.

3.将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点( )

,则ω的最小值是

.

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A. B.1 C. D.2

解析:把f(x)=sin ωx的图象向右平移个单位长度得y=sin的图象.

又所得图象过点,

∴sin∴sin

=0,∴=0.

=kπ(k∈Z).

∴ω=2k(k∈Z).∵ω>0,∴ω的最小值为2.

答案:D

4.把函数y=sin的图象向左平移个单位,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的

2倍,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)为( )

A.最大值为的偶函数 B.周期为π的偶函数

C.周期为2π,且最大值为2的函数 D.最大值为2的奇函数

解析:y=sin

y=sin=sin 2x

y=2sin 2x,即g(x)=2sin 2x,故g(x)的最大值为2,周期T=π,g(x)为奇函数,故选D. 答案:D

5.(2016·四川成都石室中学期中)为了得到函数y=3cos 2x的图象,只需把函数y=3sin上所有的点( )

的图象

.

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A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度

解析:函数y=3cos 2x=3sin=3sin,把函数y=3sin的图象上所有的点向左

平移个单位长度,可得函数y=3cos 2x的图象. 答案:D

6.把y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍,得到 的图象.

解析:将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得y=sin 3x的图象,纵坐标再缩短为原来的

倍得到y=sin 3x的图象.

答案:y=sin 3x

7.已知函数f(x)=sin的图象上 .

(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g(x)=sin的图象,只需将y=f(x)

解析:∵f(x)的最小正周期为π,∴=π.

∴ω=2.∴f(x)=sin.

又g(x)=sin=sin,

.

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∴只需将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到

g(x)=sin的图象.

答案:所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变

8.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于 .

解析:将f(x)的图象向右平移个单位长度得g(x)=f

则-ω=2kπ(k∈Z),∴ω=-6k(k∈Z).

=cos=cos的图象,

又ω>0,∴k<0(k∈Z),∴当k=-1时,ω有最小值6. 答案:6

9.将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位所得的

曲线是y=sin x的图象,试求y=f(x)的解析式.

解:将y=sin x的图象向右平移个单位得y=sin的图象,化简得y=-cos x.再将y=-cos x的图象

上的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)得y=-cos 2x的图象,所以f(x)=-cos 2x.

10.(2016·湖北武汉十一中期末)已知函数f(x)=3sin,x∈R.

(1)用五点法作出y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;

(2)请说明函数y=f(x)的图象可以由正弦函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到. 解:(1)列表:

2x+ 0 x - π 2π f(x) 0 3 0 -3 0

.

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简图如下:

(2)将函数y=sin x图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍得到y=3sin x的图象,再将

得到的图象向左平移个单位长度得到y=3sin的图象,最后将得到的图象上所有点的

纵坐标不变,横坐标变为原来的得到y=3sin

B组

的图象.

1.给出几种变换:

(1)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;

(2)横坐标缩小到原来的倍,纵坐标不变; (3)向左平移个单位长度; (4)向右平移个单位长度; (5)向左平移个单位长度; (6)向右平移个单位长度.

则由函数y=sin x的图象得到y=sinA.(1)→(3) C.(2)→(4)

B.(2)→(3) D.(2)→(5)

的图象,可以实施的方案是( )

解析:由y=sin x的图象到y=sin变换再平移变换,即(2)→(5). 答案:D

的图象可以先平移变换再伸缩变换,即(3)→(2);也可以先伸缩

.

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2.(2016·河北唐山一中期末)把函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的一个可能值为( ) A.

B.

C.

D.

解析:函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin(2x+φ)的

图象,再将图象上所有的点向右平移个单位,可得函数y=sin=sin的图象,若

此函数图象关于y轴对称,则-+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z,当k=-1时,有φ=.故选B. 答案:B

3.把函数y=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为y=3sin x,则( ) A.ω=2,φ=

B.ω=2,φ=-

C.ω=,φ= D.ω=,φ=-

解析:y=3sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位,得到y=3sin=3sin的图象,

再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=3sin=3sin x的图象,

则答案:B

4.函数y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标同时扩大到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为 .

解析:y=sin xy=3sinxy=3sin(x-3)=3sin.

.

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答案:y=3sin

5.先把函数y=2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原

来的倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是 .

解析:把y=2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度,得函数

y=2sin=2sin=2cos 2x的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不

变,得到函数y=2cos 4x的图象. 答案:y=2cos 4x

6.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sinφ= .

的图象重合,则

解析:函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位,得平移后的图象对应的函数解析式为

y=cos=cos(2x+φ-π),而函数y=sin=cos,由函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)

的图象向右平移个单位后与函数y=sin的图象重合,得2x+φ-π=2x+,解得φ=,符合

-π≤φ<π,故答案为.

答案:

7.已知函数y=cos.求:

.

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(1)函数的周期及单调递减区间;

(2)函数的图象可由y=cos x的图象经过怎样的变换得到?

解:(1)∵ω=2,∴T==π.

由2kπ≤2x+

≤2kπ+π,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

∴函数的周期为π,单调递减区间为

,k∈Z.

(2)将函数y=cos x的图象上的所有点向左平移

个单位长度,所得图象的函数解析式为

y=cos,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得

y=cos的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),即得

y=cos的图象.

8.设函数f(x)=sin(1)求ω;

(ω>0)的最小正周期为π.

(2)若f,且α∈,求tan α的值;

(3)完成下面列表,并画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象. 列表:

π y -1 1 x 0

.

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描点连线:

解:(1)∵函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2.

(2)由(1)知,f(x)=sin.

由f,得sin α=,∴cos α=±.

又-<α<,∴cos α=,∴tan α=.

(3)由y=sin知:

x 0 π y -1 0 1 0 - -

故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象是:

.