饶平二中 2007届高三文科数学第一轮复习 不

（四）不等式的证明

一、知识归纳

1．证明不等式的常用方法： （1）比较法

①作差比较法步骤：作差—变形—判定符号

②作商比较法步骤：作商—变形—确定与1的大小关系

（2）分析法：从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件代替前面的不等式，可简称为“执果索因”。 （3）综合法：由已知条件出发，根据不等式的基本性质或基本不等式，逐步推理，推导出要求证的不等式。 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用。 几个重要不等式：

①当a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）

a2b2ab2()（当且仅当a=b时等号成立） ②当a，b∈R时，

22③当ab>0时，

ba2 （当且仅当a=b时等号成立） abab2) 2④当a，b∈R时，ab2ab（当且仅当a=b时等号成立） 等价变形：ab(+

⑤当a，b，c∈R时，abcabbcca

2．不等式证明的其他方法：反证法，放缩法，数学归纳法，判别式法，构造法等。 二、例题分析：

例1 已知a，b，cR+，求证a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc

例2．已知x,y,a,bR，且x2y21,a2b21 ， 求证：|axby|1

例3．（1）已知a,bR，且ab1求证：223

nn （2）已知a,b是互不相等的正数，设函数f(n)ab，且f(3)f(2)

ab222求证：1ab

4 3

例4．已知x＞0，y＞0且x+y＞2，求证

1y1x中至少有一个小于2. ,xy

三、练习题： （一）、选择题

1．若b<0ab C． a+c>b+d D． a-c>b-d cd1) a②loga(1a)loga(11a11a2．对于0a1，给出下列四个不等式 ①loga(1a)loga(11a11a1) aa a ③a ④a 其中成立的是 A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④

3．已知a2,b2,则有

A．abab B ．abab C．abab D．abab 4．a,bR,那么“ab1”是“ab1ab”的

A．充要条件 B．必要但不充分条件

C．充分但不必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知a,b,c满足c＜b＜a,且ac＜0,那么下列选项一定成立的是

A． ab＞ac B． c(b－a)＜0 C． cb2＜ab2 D． ac(a－c)＞0 6．已知下列不等式：①x32x(xR)；②ababab(a,bR)； ③ab2(ab1) 其中正确的个数为：

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 7．设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是 ．．．． A．(ab)(2225532232211)≥4 B．a3b3≥2ab2 ab22C．ab2≥2a2b D．ab≥ab

aba2b22ab8．已知a、bR，则中最大的为 ，ab，，22abab A．

2（二）、填空题

B．ab C．

2aba2b2 D．

ab2am的大小关系为_________________。 bm110．已知0<2a<1,若A=1+a2, B=, 则A与B的大小关系是 ___ .

1a11ba11．若<0,已知下列不等式:①a+b|b| ③a2,

abab1，9．ab0，m0，则，其中正确的不等式的序号为 .

（三）、解答题：

ab

12．已知ab0,cd0，求证：

ab dc13．设0ab且ab1,请按照从小到大的顺序排列

14．求证a2b2c2d2acbd

21,b,2ab,a2b2（写出比较过程）. 2

15．已知a、b、c不全相等的正数，求证：abbccaabc

16．已知a>b>c，求证：

17．设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能同时大于

218．设f(x)xbxc（b，c为实数），方程f(x)x的两个实数根为x1,x2，且满足

114≥ abbcac1 4x10,x2x11。

2（1）求证：b2(b2c) （2）设0tx1，求证：f(t)>x1.

（四）不等式证明参考答案

例1 已知a，b，cR+，求证a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc 证法1：比较法

 a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2-6abc=a2b-2abc+bc2+ab2-2abc+ac2+a2c-2abc+b2c

=b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 2

 a，b，cR+

且(a-c) 20，(b-c) 20，(a-b) 20} b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 20 从而a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc 证法2：分析法

要证 a2b+ab2a2c+ac2+b2c+bc26abc

abacbc6 ccbbaaacbcba而2，2，2 cacbababacbc 6

ccbbaa a，b，cR+，故只要证明

即证原不等式成立 证法3：综合法

acacba2，2，2 cacaababacbc6 ccbbaa a，b，cR+即证原不等式成立

例2．已知x,y,a,bR，且xy1,ab1 ， 求证：|axby|1

分析1：依绝对值的性质，只需证明1axby1，可用综合法。

2222a2x2b2y2a2x2b2y2,by1 证明1：ax axby2222222 又(ax)0 ax2ax，同理by2by

22a2x2b2y2axby 1axby1 则122即|axby|1

证明2：分析法：要证|axby|1，只需证(axby)1

2

即(axby)2(a2b2)(x2y2)，

两边展开即只需证2abxya2y2b2x2即(axby)20 故原不等式成立。

例3．（1）已知a,bR，且ab1求证：223

（2）已知a,b是互不相等的正数，设函数f(n)anbn，且f(3)f(2)

求证：1abab4 3aba1a证明：（1）分析法：由ab1得22322a322a32a20

1220a1a,bR且ab1 0a1 故原不等式成立。

（2）由f(n)anbn，且f(3)f(2)，得abab 又a,b是互不相等的正数，故aabbab (ab)2(ab)ab，

由ab0，得(ab)2(ab)0ab1

223322ab211)(ab)2，则有(ab)2(ab)(ab)2 24444得ab，所以有1ab成立。

33又ab(例4．已知x＞0，y＞0且x+y＞2，求证

1y1x,中至少有一个小于2. xy证明：（反证法）假设

1y1x2,且2， xyx0,y0，1x2y， 1y2x，则2(xy)2(xy)

于是，xy2这与题设x+y＞2矛盾。故命题成立。

三、练习题：

（一）、选择题

1． C． 2． D．3．A． 4．C． 5．A． 6．C． 7． B． 8．C． （二）、填空题 9．_

aam<<1___ 10． A12．已知ab0,cd0，求证：

ab dc证明：cd0，11abab0，又ab0，0，则 dcdcdc1,b,2ab,a2b2（写出比较过程）. 213．设0ab且ab1,请按照从小到大的顺序排列

解：0ab且ab122b1a0且a2b22ab 2(ab)21ab2ab; b(a2b2)a(ba)0,ba2b2

22ba2b212ab 214．求证a2b2c2d2acbd

2证明：（分析法）要证原不等式成立，只需证明：adbc2abcd， 即证(adbc)20 因为(adbc)20成立，故原不等式成立。 15．已知a、b、c不全相等的正数，求证：abbccaabc 证明：a,b,cRab2222abbcca，bc，ca 222abbccaabc 222 又a、b、c不全相等，则上述三式的等号不同时成立。

故有abbcca16．已知a>b>c，求证：

114≥ abbcac证明：abc,ab0,bc0,ac0

(ac)(1111)[(ab)(bc)]() abbcabbc12(ab)(bc)24

(ab)(bc)1 417．设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能同时大于证明：（反证法）假设(1a)b,(1b)c,(1c)a同时大于

则故但即

1 4111(1a)b，(1b)c，(1c)a

2223(1a)b(1b)c(1c)a

2(1a)b(1b)c(1c)a(1a)b，(1b)c，(1c)a

222(1a)b(1b)c(1c)a3 (1a)b(1b)c(1c)a 22故命题成立。

218．设f(x)xbxc（b，c为实数），方程f(x)x的两个实数根为x1,x2，且满足

x10,x2x11。

2（1）求证：b2(b2c) （2）设0tx1，求证：f(t)>x1. 2（1）证明：由f(x)x，得x(b1)xc0，x1x21b,x1x2c 222 (x1x2)(x1x2)4x1x2(1b)4cb2b14c

2

b2b14c1，b22(b2c)

（2）证明：（比较法）：x1是方程f(x)x的根，x1f(x1)

2则f(t)x1f(t)f(x1)(t2btc)(x1bx1c)

2(tx1)(tx1)b(tx1)(tx1)(tx1b)(tx1)(t1x2)

0tx1tx10，又x2x11，则tx21x1x21110

故f(t)x10，f(t)x1