北师大版高中数学选修2-1期末考试试题及答案

晁群彦

一．选择题（每小题5分，满分６0分）

１.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面a内,则“l”是“lm且ln”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 ２.对于两个命题：

①xR,1sinx1， ②xR,sinxcosx1，

下列判断正确的是（ ）。 A. ① 假 ② 真

B. ① 真 ② 假

C. ① ② 都假 D. ① ② 都真

22 D．既不充分也不必要条件

x2y21共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（ ） ３.与椭圆4y2x2x2x2y2221 B. y1 C. y1 D. 1 A. x242332４.已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A,B两点， 则ABF2是正三角形，则椭圆的离心率是（ ）

A

2311 B C D 232320５.过抛物线y8x的焦点作倾斜角为45直线l，直线l与抛物线相交与A，B两点，

则弦AB的长是（ ）

A 8 B 16 C 32 D 64

６.在同一坐标系中，方程axbx1与axby0(ab0)的曲线大致是（ ）

22222

A． B． C． D．

x2y2７.已知椭圆221(ab>0) 的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，则PF1F2的面积

ab最大值一定是（ ）

A a B ab C aa2b2 D ba2b2

2８.已知向量a(1,1,0),b(1,0,2),且kab与2ab互相垂直,则实数k的值是( )

137A．1 B．5 C． 5 D．5

９.在正方体

ABCDA1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则

A1B与

D1E所成角的余弦值为

（ ）

5A．10 B．1010 C．55 D．105 22１０.若椭圆mxny1(m0,n0)与直线y1x交于A，B两点,过原点与线段AB中点

的连线的斜率为

A.2922n，则m的值是( )

23　　　　　　C.　　　　　D　.222

2　　　　　B.2１１.过抛物线x4y的焦点F作直线交抛物线于P1x1,y1,P2x2,y2两点，若

y1y26，则P1P2的值为 （ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

x2y2１２.以=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 （ ） 412x2y2x2y2x2y21 B. 1 C. 1 D. A.

16121216164二．填空题（每小题４分）

１３．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：

1OMxOAyOBOC3

其中x，y是实数，若点M与A、B、C四点共面，则x+y=___

１４．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，则于___

AB等

2１５．若命题P：“x＞0，ax22x0”是真命题 ，则实数a的取值范围是___．

１６．已知AOB90，C为空间中一点，且AOCBOC60，则直线OC与平面

AOB所成角的正弦值为___．

三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。） １７．（本小题满分1４）

设命题P：\"xR,x2xa\"，命题Q：\"xR,x2ax2a0\"； 如果“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围。

１８．（1５分）如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②） （Ⅰ）求证AP∥平面EFG； （Ⅱ）求二面角G-EF-D的大小；

（Ⅲ）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明．

22１９．(1５分) 如图，金砂公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪

分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

A （Ⅰ）设AD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式；

（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，我们希望它最短，则DE的位置应在哪里请予以证明.

２０（本小题满分1５分）

B D x y C E x2y2设F1,F2分别为椭圆C:221(ab0)的左、右两个焦点.

ab（Ⅰ）若椭圆C上的点A(1,)到F1,F2两点的距离之和等于4，

求椭圆C的方程和焦点坐标；

（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q(0,),求|PQ|的最大值。

3212２１（本小题满分1５分）

如图，设抛物线C：x4y的焦点为F，P(x0,y0)为抛物线上的任一点（其中x0≠0）， 过P点的切线交y轴于Q点．

（Ⅰ）证明：FPFQ；

2y A （Ⅱ）Q点关于原点O的对称点为M，过M点作平行于PQ的直线 交抛物线C于A、B两点，若AMMB(1)，求的值．

M F B O Q P x 高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准

一．选择题：ABCCB DCBDB DD

2二、填空题：１３. １３.8 １４.(,4) 3１５详解：由对称性点C在平面AOB内的射影D必在AOB的平分线上作DEOA于E，连结CE则由三垂线定理CEOE，设

DE1OE1,OD2，又COE60o,CEOEOE2,所以

CDOC2OD22，因此直线OC与平面

sinCOD22，本题亦可用向量法。１６.

AOB所成角的正弦值

yex

三．解答题：

１７解：命题P：\"xR,x2xa\"

即x2x(x1)1a恒成立a1 …………3分 命题Q：\"xR,x2ax2a0\" 即方程x2ax2a0有实数根

∴(2a)4(2a)0 a2或a1 .…………6分 ∵“P或Q”为真，“P且Q”为假，∴P与Q一真一假 …………8分

当P真Q假时，2a1；当P假Q真时，a1 …………10 ∴a的取值范围是(2,1)U[1,) ………1４ １８(14分)解法一：（Ⅰ）在图②中 ∵平面PDC⊥平面ABCD，AP⊥CD ∴ PD⊥CD，PD⊥DA ∴PD⊥平面ABCD

如图. 以D为坐标原点，直线DA、DC、DP分别为x、y与z轴建立空间直角坐标系： …………………1分 则D0,0,0 A2,0,0 B2,2,0 C0,2,0 P0,0,2 E0,1,1F0,0,1G1,2,0

222222AP2,0,2 EF0,1,0 FG1,2,1 ………………3分

设平面GEF的法向量n(x,y,z)，由法向量的定义得： y0n•EF0(x,y,z)•(0,1,0)0y0(x,y,z)•(1,2,1)0x2yz0xzn•FG0

n(1,0,1)不妨设 z=1， 则 ………………………………4分

APn2120120 ………………………………5分

APn，点P 平面EFG

∴AP∥平面EFG ………………………………6分

n(1,0,1)（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量 ，因平面EFD与坐标平面PDC重合

则它的一个法向量为i=（1，0，0）………………………………8分

ni12cosGEFD设二面角为.则 …………9分

22n由图形观察二面角GEFD为锐角，故二面角G-EF-D的大小为45°。………10分 （Ⅲ）假设在线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，

∵P、Q、D三点共线，则设DQ(1t)DPtDB，又DB2,2,0，DP0,0,2 ∴DQ(2t,2t,22t)，又DA0,0,2 …………11分 若PC⊥平面ADQ，又PC(0,2,2)

(0,2,-2)•(2,0,0)01PC•DA022t2(22t)0t2(0,2,-2)•(2t,2t,22t)0则PC•DQ0…………1５分

∴

DQ1(DPDB）2， ………………………………13分

故在线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，且点Q为线段PB的中点。……1５分 解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理

∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG ……………………4分 （2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC ∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD

过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知 ∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°， 故二面角G-EF-D的大小为45°。 …………………8分 （3）Q点为PB的中点，取PC中点M，则QM∥BC，∴QM⊥PC

在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ ……………………1５分 １９(14分)解: （1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°

y2＝x2＋AE2－x·AE,①

113a 222

…………………2分 又S△ADE＝ S△ABC＝ · 2＝ x·AE·sin60°x·AE＝2.② ……4分

24()2x222xx②代入①得y2＝x2＋ －2（y＞0）, ∴y＝ ………6分

2AE2xx≥1 x1又≤2，若， ，矛盾，所以x

4x222x ∴y＝ （1≤x≤2）. ………………………7分

4x222≥222（2）如果DE是水管y＝ x2, ………………10分

42当且仅当x2＝x，即x＝2时“＝”成立， …………………………1５分

故DE∥ BC，且DE＝2. ………………………………1５分 ２０解：（Ⅰ）椭圆C的焦点在x轴上，

由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2. …….2分

3()231又点A(1,)在椭圆上,因此2221得b23,于是c21. …….4分

22bx2y21,焦点F1(1,0),F2(1,0). …….6分 所以椭圆C的方程为43x2y241x24y2 …….8分 （Ⅱ）设P(x,y),则433141117|PQ|2x2(y)24y2y2yy2y …….10分

2343413(y)25 …….12分

323又3y3 当y时,|PQ|max5 …….1５分

2２１解：（Ⅰ）证明：由抛物线定义知|PF|y01，

kPQy|xx0x0， 2可得PQ所在直线方程为yy0x0(xx0)， 2x02∵y0

4∴得Q点坐标为(0, y0)

∴|QF|y01∴ |PF|=|QF|

（Ⅱ）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，又M点坐标为(0, y0)

∴AB方程为yx0xy0 …….8分。 2x24y2 由得x2x0x4y00 x0yxy022∴x1x22x0,x1x24y0x0……① …….10分。

由AMMB得：(x1,y0y1)(x2,y2y0)，

∴x1x2 ……② …….12分。 由①②知2(1)x22x0222(1)x4x，得，由x0≠0可得x2≠0， 2222x2x0∴(1)4，又1，解得：322． …….1５分。