人教版2020---2021学年度上学期九年级
数学期中考试卷及答案
（满分：120分 时间：120分钟）
题号 一 二 三 总分 得分 人教版2020---2021学年度上学期九年级
数学期中考试卷及答案
（满分：120分 时间：120分钟）
题号 一 二 三 总分 得分 一、填空题（共24分） 1．关于x的方程（m﹣）﹣x+3=0是一元二次方程，则
m= ．
2．设x1、x22是方程3x+4x﹣5=0的两根，则= ，
x21+x22= ．
3．若抛物线y=x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c= ． 4．点P（2，3）绕着原点逆时针方向旋转90°与点P′重合，则P′的坐标为 ．
第1页,共32页 5．抛物线y1=x2﹣2x+1与直线y2=﹣x+1在同一坐标系中相交，当y1＞y2时自变量x的取值范围是 ．
6．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，
再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
7．如图，EF过平行四边形的对角线的交点O，若四边形ABFE绕O点旋转一定的角度后能与四边形 CDEF重合，AB=3，BC=4，OE=1.5，则四边形EFCD 的周长是 ．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），若2a+b=0，且当x=﹣1时，y=3，那么当x=3时，y= ．
二、选择题（共30分）
9．如图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
第2页,共32页
A． B． C． D．
10．方程（x+1）（x﹣3）=5的解是（ ） A．x1=1，x2=﹣3 B．x1=4，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣4，x2=2
11．已知a、b满足a+b=5且ab=6，以a、b为根的一元二次方程为（ ）
A．x2+5x+6=0 B．x2﹣5x+6=0 C．x2﹣5x﹣6=0 D．x2+5x﹣6=0 12．若A（﹣
，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）为二次函数
y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
14．如图是二次函数y=ax2
+bx+c的部分图象，y＜0时自变量x的取值范围是（ ）
第3页,共32页
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5
C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 15．已知函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限，那么
y=ax2+bx+1的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为（ ）
A．4 B．
C．
D．
17．若1人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的传染速度，则经过第三轮传染后共有（ ）人患流感．
A．1210 B．1000 C．1100 D．1331
第4页,共32页
密 封 线 内 不 得 答 题 线 号 学 题 答 得 名 姓封 不 内 线 封 密 级 班 校密学
18．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列
结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
三、解答题（共66分） 19．解方程
（1）（x﹣2）2=（2x+5）2 （2）=
．
20．已知关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两实数根为x1，x2．是否存在这样的实数m使方程的两实根的平方和为14？
第5页,共32页
21．在下图中，把△ABC向右平移5个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转90度．
（1）画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母；
（2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说明理由．
22．如图所示，某小区规划在一个长40m，宽26m的矩形场地ABCD上修建三条相同宽度的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余6块部分种草，使每块草坪面积都是144m2，求甬路宽度．
23．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB． （1）求点P与点P′之间的距离；
第6页,共32页
（2）求∠APB的度数．
24．为了落实中央的惠农政策，积极推进农业机械化，黄冈市某县政府制定了农户投资购买农机设备的补贴办法，其中购买A型、B型农机设备所投资的金额x（万元）与政府补贴的金额y1（万元）、y2（万元）的函数关系如图所示（图中OA段是抛物线，A是抛物线的顶点）．
（1）分别写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）现有一农户计划同时对A型、B型两种农机设备共投资10万元，设其共获得的政府补贴金额为y万元，求y与其购买B型设备投资金额x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，请你帮该农户设计一个能获得最大补贴金额的投资方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．
第7页,共32页
25．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（﹣6，0）和点B（0，4）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求▱OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ①当▱OEAF的面积为24时，请判断▱OEAF是否为菱形？ ②是否存在点E，使▱OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页,共32页
密 封 线 内 不 得 答 题 线 号 学 题 答 得 名 姓封 不 内 线 封 密 级 班 校密学
参考答案 一、填空题（ 共24分）1．或． 2.，
．
3.c=9．
4.P′的坐标为（﹣3，2）．
5. x＜0或x＞． 6.120．
第9页,共32页 7.10．
8.3．
二、选择题（共30分）
9．B．10.B．11.B．12.C．13.C．14.C．15.C 16.A 17.D 18.D
三、解答题（共66分）
19． 解：（1）（x﹣2）2=（2x+5）2， 直接开平方得，x﹣2=±（2x+5）， x﹣2=2x+5，或x﹣2=﹣（2x+5）， 所以x1=﹣7，x2=﹣1； （2）
=
，
方程整理得：x2+x+6=0， 这里a=1，b=1，c=6，
∵△=1﹣24=﹣23＜0， ∴原方程无解．
20.解：存在．理由如下：
根据题意得△=4（1﹣m）2﹣4m2≥0，解得m≤，由根与系数的关系得到x1+x2=2（1﹣m），x21x2=m，∵x221+x2=14，
∴（x21+x2）﹣2x1x2=14，
第10页,共32页
∴4（1﹣m）2﹣2m2=14，
整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1， 而m≤， ∴m=﹣1．
21.解：（1）平移和旋转后的图形如图所示：
∠PAC=∠P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°， 所以∠PAP′=60度．故△APP′为等边三角形， 所以PP′=AP=AP′=6；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+BP2=BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°
（2）能，将△ABC绕CB、C″B″延长线的交点顺时针旋转90度
．
22.解：设甬路宽度为x米，
依题意可列方程（40﹣2x）（26﹣x）=144×6， 整理得x2﹣46x+88=0， 解得x1=2，x2=44（舍去） 答：甬路宽度为2米．
23.解：（1）连接PP′，由题意可知BP′=PC=10，AP′=AP，
第11页,共32页 可求∠APB=90°+60°=150°．
24.解：：（1）当0≤x≤4时设y1=kx，将（4，1.6）代入得：1.6=4k，
解得：k=0.4，
当k＞4时，设y1=kx+b，
将点（4，1.6）（8.2.4）代入得：
解得：k=0.2，b=0.8
故y1=
∵顶点A的坐标为（4，3.2）， ∴设y2=a（x﹣4）2+3.2， ∵经过点（0，0）
第12页,共32页
密 封 线 内 不 得 答 题 线 号 学 题 答 得 名 姓封 不 内 线 封 密 级 班 校密学
∴0=a（0﹣4）2+3.2
解得a=﹣0.2，
∴y2=﹣0.2（x﹣4）2+3.2=﹣0.2x2+1.6x（0≤x≤4） 当x＞4时，y2=3.2；
（2）假设投资购买B型用x万元、A型为（10﹣x）万元， 当0≤x≤4时：y=y1+y2=0.2（10﹣x）+0.8﹣0.2x2+1.6x；
=﹣0.2x2+1.4x+2.8=﹣0.2（x﹣3.5）2+3.4125，
当4＜x＜6时：y=y1+y2=0.2（10﹣x）+0.8+3.2=﹣0.2x+6； 当x≥6时：y=y1+y2=0.4（10﹣x）+3.2=﹣0.4x+7.2；
（3）当0≤x＜4时：y=﹣0.2x2+1.4x+2.8=﹣0.2（x﹣3.5）2
+5.25，
当4≤x＜6时：y=y1+y2=0.2（10﹣x）+0.8+3.2=﹣0.2x+6； ∵k＜0，
∴当x取得最小值时有最大值， ∴当x=4时有最大值5.25万元；
当x≥6时：y=y1+y2=0.4（10﹣x）+3.2=﹣0.4x+7.2； ∵k＜0，
∴当x取得最小值时有最大值， ∴当x=6时有最大值4.8万元；
∴当投资B型机械4万元，A型机械6万元能获得最大补贴，最大补贴金额为5.25万元．
第13页,共32页 25.解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+）2+k（k≠0）， 则依题意得：
a+k=0，
a+k=4，
解之得：a=，k=﹣
即：y=（x+）2﹣
，顶点坐标为（﹣，﹣
）；
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，且位于第三象限． ∴S=2S△OAE=2××0A×（﹣y） =﹣6y
=﹣4（x+）2+25 （﹣6＜x＜﹣1）； ①当S=24时，即﹣4（x+）2+25=24， 解之得：x1=﹣3，x2=﹣4
∴点E为（﹣3，﹣4）或（﹣4，﹣4）
人教版2020---2021学年度上学期九年级
数学期中考试卷及答案
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（满分：120分 时间：120分钟）
题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．3和4 B．3和﹣4 C．3和﹣1 D．3和1 2．二次函数y=x2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3） 3．将△ABC绕O点顺时针旋转50°得△A1B1C1（A、B分别对应A1、B1），则直线AB与直线A1B1的夹角（锐角）为（ ） A．130° B．50° C．40° D．60°
4．用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A．（x+3）2=﹣4 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=5 D．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A．x2﹣x﹣1=0 B．x2+3x+2=0 C．2015x2+11x﹣20=0 D．x2+x+2=0
6．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
第15页,共32页 7．如图，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5，则AB的长为（ ）
A． cm B．8cm C．6cm D．4cm
8．已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是（ ）
A．a确定抛物线的形状与开口方向
B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变 C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变
D．若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变9．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是（ ）
A．64 B．16 C．24 D．32
10．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：
第16页,共32页
密 封 线 内 不 得 答 题 线 号 学 题 答 得 名 姓封 不 内 线 封 密 级 班 校密学
①b2﹣4ac＜0；
②ab+ac＜0；
③方程ax2
+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；
④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，
其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是_________． 12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为
_________．
13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离_________．
14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2
=BC•AB，AD2
=CD•AC，AE2
=DE•AD，则AE的长为_________．
15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．
第17页,共32页
16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E两点，则DE长度的取值范围是_________．
三、解答题（共8小题，共72分） 17．解方程：x2+x﹣2=0．
18．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（0，﹣4），求这个二次函数的解析式．
19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根 （1）求x1+x2，x1x2的值； （2）求2x21+6x2﹣2015的值．
第18页,共32页
20．如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形； （2）画出△ABC绕点O逆时针旋转180°后的图形； （2）若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为_________．
21．如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为E，点D在CA的延长线上，若∠DAB+ ∠AOB=60°
（1）求∠AOB的度数； （2）若AE=1，求BC的长．
第19页,共32页 22．飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是：S=60t﹣1.5t2 （1）直接指出飞机着陆时的速度； （2）直接指出t的取值范围；
（3）画出函数S的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停下来？
23．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒） 第20页,共32页
密 封 线 内 不 得 答 题 线 号 学 题 答 得 名 姓封 不 内 线 封 密 级 班 校密学
（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连
AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时： ①求∠AFC的度数；
②求的值；
（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B方向运动．当t≥3时，连DE，以
DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．
24．定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
（1）已知抛物线的焦点F（0，），准线l：，求抛物
线的解析式；
（2）已知抛物线的解析式为：y=x2﹣n2，点A（0，
）（n
≠0），B（1，2﹣n2），P为抛物线上一点，求PA+PB的最小值及此时P点坐标；
（3）若（2）中抛物线的顶点为C，抛物线与x轴的两个交点分别是D、E，过C、D、E三点作⊙M，⊙M上是否存在定点N？
第21页,共32页 若存在，求出N点坐标并指出这样的定点N有几个；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．B．2．A．3． B．
4.C．5.D．6.D．7.B．8.D．9.D．10.C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是 直线x=﹣ ．
第22页,共32页
12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为 0 ．
13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离 7cn或17cm ．
14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2
=BC•AB，AD2
=CD•AC，AE2
=DE•AD，则AE的长为
﹣2 ．
15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 x＞3或x＜﹣1 ．
16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E两点，则DE长度的取值范围是 （2﹣3）a≤DE≤a． ．
第23页,共32页
三、解答题（共8小题，共72分）
17． 解：分解因式得：（x﹣1）（x+2）=0， 可得x﹣1=0或x+2=0，
解得：x1=1，x2=﹣2．
18.解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2﹣1．
19.解：（1）∵∴x1、x22是方程x﹣3x﹣5=0的两实数根， 第24页,共32页
密 封 线 内 不 得 答 题 线 号 学 题 答 得 名 姓封 不 内 线 封 密 级 班 校密学
∴x1+x2=3，x1x2=﹣5，；
（2）∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根， ∴x21﹣3x1﹣5=0， ∴x21=3x1+5，
∴2x21+6x2﹣2015=2（3x1+5）+6x2﹣2015=6（x1+x2）﹣2015=﹣1987．
20.解：（1）如图，△A′B′C′为所作； （2）如图，△A″B″C″为所求；
（3）如图，点M为△ABC的外接圆的圆心，此时⊙M是能盖住△ABC的最小的圆，⊙M的半径为=．
故答案为．
21.解：（1）连接OC， ∵OA⊥BC，OC=OB，
∴∠AOC=∠AOB，∠ACO=∠ABO，
∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB，∠ACO=∠OAB， ∴∠DAB=∠AOC，
第25页,共32页 ∴∠DAB=∠AOB，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB，
设⊙O的半径为r，则BE=r，OE=r﹣1， 由勾股定理得，r2=（r）2+（r﹣1）2， 解得r=4
，
∵OB=OC，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4
．
22.解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S取得最大值时，飞机停下来， 则S=60t﹣1.5t2=﹣1.5（x﹣20）2+600，
此时t=20
因此t的取值范围是0≤t≤20； （3）如图，
S=60t﹣1.5t2=﹣1.5（x﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．
第26页,共32页
∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°， ∴∠AFC=120°；
②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG
23.解：（1）如图1，
由题可得BD=CE=t． ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC和△CEA中，
，
∴△BDC≌△CEA， ∴∠BCD=∠CAE，
第27页,共32页 于H，如图2，
∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA， ∴△FAG是等边三角形，
∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠GAF=∠BAC， ∴∠GAB=∠FAC． 在△AGB和△AFC中，
，
∴△AGB≌△AFC，
∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°．
第28页,共32页
密 封 线 内 不 得 答 题
设AF=x，FC=y，
∴DE=EM，∠DEM=60°．
∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°， 则有FG=AF=x，BG=CF=y． 线 号 学 题 答 得 名 姓封 不 内 线 封 密 级 班 校密学 在Rt△BHG中，
BH=BG•sin∠BGH=BG•sin60°=
y，
GH=BG•cos∠BGH=BG•cos60°=y， ∴FH=FG﹣GH=x﹣y．
在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2
=（y）2
+（x﹣y）2
=x2
﹣xy+y2
．
∴=
=1；
（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，
由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6． ∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=BE•cosB=BE=6﹣t， ∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6， ∴DN=EC．
∵△DEM是等边三角形，
第29页,共32页 ∴∠NDE=∠MEC．
在△DNE和△ECM中，
，
∴△DNE≌△ECM，
∴∠DNE=∠ECM=90°，
∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段． 当t=3时，E在点B，D在AB的中点， 此时CM=EN=CD=BC•sinB=6×
=3；
当t=6时，E在点C，D在点A， 此时点M在点C．
∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．
24.解：（1）设抛物线上有一点（x，y）， 由定义知：x2+（y﹣
）2=|y+
|2，
解得y=ax2；
（2）如图1，由（1）得抛物线y=x2的焦点为（0，），准线为y=﹣，
∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2个单位所得， ∴其焦点为A（0，﹣n2），准线为y=﹣﹣n2，
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由定义知P为抛物线上的点，则PA=PH， ∴PA+PH最短为P、B、A共线，此时P在P′处， ∵x=1，
∴y=1﹣n2＜2﹣n2， ∴点B在抛物线内，
∴BI=y2B﹣yI=2﹣n﹣（﹣﹣n2）=，
∴PA+PB的最小值为，此时P点坐标为（1，1﹣n2）； （3）由（2）知E（|n|，0），C（0，n2）， 设OQ=m（m＞0），则CQ=QE=n2﹣m，
在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=（n2﹣m）2， 解得m=﹣， 则QC=
+=QN，
∴ON=QN﹣m=1， 即点N（0，1）， 故AM过定点N（0，1）．
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当点E为（﹣3，﹣4）时，满足OE=AE，故▱OEAF是菱形； 当点E为（﹣4，﹣4）时，不满足OE=AE，故▱OEAF不是菱形． ②不存在．
当0E⊥AE且OE=AE时，▱OEAF是正方形，此时点E的坐标为（﹣3，﹣3），
而点E不在抛物线上，故不存在点E，使▱OEAF为正方形． 第32页,共32页
密 封 线 内 不 得 答 题
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