高考数学(理)：三角函数的图像与性质(命题猜想)

【考向解读】

1.三角函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．

2.备考时应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象与性质，并熟练掌握函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．

3.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.

4.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.

【命题热点突破一】 三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式 例1、（2018年全国Ⅲ卷理数）若A. B. C. 【答案】B 【解析】

，故答案为B.

D.

，则

【变式探究】(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴1

对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________.

37

【答案】－ 9

【解析】(2)由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)， ∴ β＝π＋2kπ－α(k∈Z)， sin β＝sin α，cos β＝－cos α. 1

又sin α＝，

3

∴ cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1 17＝2×－1＝－. 99

【变式探究】若（A）

，则sin2（ ）

7117 （B） （C） （D） 255525【答案】D

【解析】，

且，故选D.

【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．

3ππ

【变式探究】 当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f4－x是( ) 4πA．奇函数且图像关于点2，0对称 B．偶函数且图像关于点(π，0)对称 π

C．奇函数且图像关于直线x＝对称

2π

D．偶函数且图像关于点2，0对称 【答案】C

【命题热点突破二】 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与解析式 例2、（2018年天津卷）将函数A. 在区间C. 在区间【答案】A

【解析】由函数图象平移变换的性质可知： 将

的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：

.

上单调递增 B. 在区间上单调递增 D. 在区间

的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 上单调递减 上单调递减

则函数的单调递增区间满足：即令

，

可得一个单调递增区间为：

.

，

函数的单调递减区间满足：即令

，

可得一个单调递减区间为：

.

，

本题选择A选项.

π

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单4π3π

－，上的最小值． 位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在44ππ

ωx－＋sinωx－， 解析：(1)因为f(x)＝sin62所以f(x)＝＝

31

sin ωx－cos ωx－cos ωx 22

3313

sin ωx－cos ωx＝3sin ωx－cos ωx 2222

π

ωx－. ＝3sin3

πωππ

由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z， 663所以ω＝6k＋2，k∈Z. 又0＜ω＜3，所以ω＝2. π

2x－， (2)由(1)得f(x)＝3sin3

πππx＋－＝3sinx－. 所以g(x)＝3sin4312π3ππ2ππ

－，，所以x－∈－，. 因为x∈441233πππ3

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－. 12342

【变式探究】函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )

ππ2x－ B．y＝2sin2x－ A．y＝2sin63ππx＋ D．y＝2sinx＋ C．y＝2sin63

解析：根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．

πππTπ2ππ

－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，2，所以A＝2，且2×由图象知＝－32362π3πππ

2x－. ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin626答案：A

π

0，时，f(x)的最小值为2. 【变式探究】已知函数f(x)＝2cos2x＋2 3sin xcos x＋a，当x∈2(1)求a的值，并求f(x)的单调递增区间；

1π

(2)先将函数f(x)的图像上的点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移个单位

212π

0，上所有根之和． 长度，得到函数g(x)的图像，求方程g(x)＝4在区间2ππππ7π

2x＋＋a＋1.∵x∈0，，∴2x＋∈，， 【解析】解：（1）f（x）＝cos 2x＋1＋3sin 2x＋a＝2sin62666π

∴f（x）min＝f（）＝－1＋a＋1＝2，得a＝2，

2π

2x＋＋3. 故f（x）＝2sin6πππ

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

262ππ

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

36

ππ

kπ－，kπ＋，k∈Z. ∴函数f（x）的单调递增区间为36π

4x－＋3， （2）由题意得g（x）＝2sin6π1

4x－＝， 由g（x）＝4，得sin62

πππ5π

解得4x－＝2kπ＋或4x－＝2kπ＋，k∈Z，

6666

kππkππ

即x＝＋或x＝＋，k∈Z，

21224

ππππππ0，，∴x＝或，故所有根之和为＋＝. 又∵x∈21241243

【感悟提升】三角函数综合解答题的主要解法就是先把三角函数的解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再结合题目要求，利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质解决问题． 【高考真题解读】

1.（2018年全国Ⅲ卷理数）若A. B. C. 【答案】B 【解析】

2. （2018年天津卷）将函数A. 在区间C. 在区间【答案】A

【解析】由函数图象平移变换的性质可知：

，则

D.

，故答案为B.

的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

上单调递减 上单调递减

上单调递增 B. 在区间上单调递增 D. 在区间

将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：

.

则函数的单调递增区间满足：即令

，

可得一个单调递增区间为：

.

，

函数的单调递减区间满足：即令

，

可得一个单调递减区间为：

.

，

本题选择A选项.

3. （2018年北京卷）设函数f（x）=__________． 【答案】 【解析】因为因为

，所以当

对任意的实数x都成立，所以时，ω取最小值为.

，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为

取最大值，所以，

4. （2018年江苏卷）已知函数【答案】

，所以

在

的图象关于直线对称，则的值是________．

【解析】由题意可得

5. （2018年全国Ⅲ卷理数）函数【答案】 【解析】

由题可知解得

,或

，或

，因为

的零点个数为________．

，所以

故有3个零点。

6. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知【答案】

，

， ，

）．

，

，则

__________．

【解析】因为所以因此

7. （2018年浙江卷）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ） 或

得

，

【解析】（Ⅰ）由角的终边过点所以

（Ⅱ）由角的终边过点由由所以

得得或

.

为锐角，.

得.

，

，

8. （2018年江苏卷）已知（1）求（2）求【答案】（1）（2）

【解析】（1）因为因为因此，（2）因为又因为因此因为因此，

． ，所以为锐角，所以

，，所以的值； 的值．

，．

，所以， ．

．

， ．

，所以

，

．

1、(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin 1

α＝，则cos(α－β)＝________.

37

【答案】－ 9

【解析】(2)由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，

∴ β＝π＋2kπ－α(k∈Z)， sin β＝sin α，cos β＝－cos α. 1

又sin α＝，

3

∴ cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1 17＝2×－1＝－. 99

5π11π＝0，且f(x)的最小2. (2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f88正周期大于2π，则( )

2π211πA．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－

312312111π17π

C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ 324324

3、(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sin xcos x(x∈R)． 2π(1)求f3的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． 2π32π1【解析】 (1)由sin＝，cos＝－，

3232

2π32122π31－－23××－，得f＝2. 得f＝－322322(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得 π

2x＋， f(x)＝－cos 2x－3sin 2x＝－2sin6所以f(x)的最小正周期是π.

ππ3π

由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

262π2π

解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

63

π2π

＋kπ，＋kπ(k∈Z)． 所以f(x)的单调递增区间是36

πππ

ωx－＋sinωx－，其中0＜ω＜3，已知f＝0. 4. (2017·山东卷)设函数f(x)＝sin626(1)求ω；

14.【2016高考新课标3理数】函数右平移_____________个单位长度得到． 【答案】

的图像可由函数

的图像至少向

 3，

＝

【解析】因为

，所以函数

移

的图像可由函数的图像至少向右平

个单位长度得到． 3π1，BC边上的高等于BC,则cosA=（ ） 4315.【2016高考新课标3理数】在△ABC中，B=（A）3101010310 （B） （C）- （D）-

10101010【答案】C

【解析】设BC边上的高为AD，则BC3AD，所以

，

．由

余弦定理，知，故选C．

16.【2016高考新课标2理数】若（A）

，则sin2（ ）

7117 （B） （C） （D） 255525【答案】D

【解析】，

且

17.【2016高考新课标3理数】若tan(A)

，故选D.

3 ，则4（ ）

644816 (B) (C) 1 (D) 252525【答案】A 【解析】

由tan3，得4或，所以

，故选A．

1.【2015高考新课标1，理2】 （A）=( )

1133 （B） （C） （D）

2222【答案】D 【解析】原式=

2.【2015江苏高考，8】已知tan2，【答案】3

=sin30o=

1，故选D. 2，则tan的值为_______.

【解析】

3.【2015高考福建，理19】已知函数f(x)的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移(Ⅰ)求函数f(x)的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x的方程（1)求实数m的取值范围； （2)证明：

在[0,2p)内有两个不同的解a,b．

p个单位长度. 2【答案】(Ⅰ)

【解析】解法一：(1)将

，；(Ⅱ)（1）(-5,5)；（2）详见解析．

的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到

y=2cosx的图像，再将y=2cosx的图像向右平移

，从而函数

p个单位长度后得到2

的图像，故

图像的对称轴方程为

(2)1)

（其中）

依题意，

在区间[0,2p)内有两个不同的解a,b当且仅当|m|<1，故m的取值范围是5(-5,5).

2)因为a,b是方程

在区间[0,2p)内有两个不同的解，

所以，.

当1£m<5时，当-5所以

解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一. 2) 因为a,b是方程

在区间[0,2p)内有两个不同的解，

所以，.

当1£m<5时，当-5所以于是

4.【2015高考山东，理16】设（Ⅰ）求fx的单调区间；

（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

.

,求ABC面积的最大值.

【答案】（I）单调递增区间是；

单调递减区间是

（II）ABC 面积的最大值为【解析】

23 4（I）由题意知

由由

所以函数fx 的单调递增区间是

可得可得

；

单调递减区间是

（Ⅱ）由

得sinA12 由题意知A为锐角，所以cosA32 由余弦定理：

可得：

即：

当且仅当bc时等号成立.

因此

所以ABC面积的最大值为

234 5.【2015高考重庆，理9】若，则（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】C

【解析】由已知，

＝，选C.

6.【2015高考山东，理3】要得到函数

的图象，只需要将函数ysin4x的图象（（A）向左平移

12个单位 （B）向右平移

12个单位

）

（C）向左平移【答案】B 【解析】因为

个单位 （D）向右平移个单位 33，所以要得到函数的图象，只需将函数

 个单位.故选B. 127.【2015高考新课标1，理8】函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )

ysin4x 的图象向右平移

(A)(C)

(B) (D)