高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1 若BA，则实数a的值构成的集合为 （答：1，0，） 3. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，……，an的所有子集的个数是2n； （2）若ABABA，ABB； （3）德摩根定律：

13CUABCUACUB，CUABCUACUB

ax50的解集为M，若3M且5M，求实数a

x2a 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3M，∴

a·35032aa·55025a5a1，9，25）

3∵5M，∴ 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和

“非”().

若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若p为真，当且仅当p为假

1

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4） 10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定 义域是_____________。 （答：a，a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f 令t2x1exx，求f(x). x1，则t0

 ∴xt1 ∴f(t)et21t21 x21x0

∴f(x)ex21 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1x 如：求函数f(x)2x1x0的反函数

x0x1x1） （答：f(x)xx0 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

2

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf(b)a f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

1（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。） 如：求ylog1x2x的单调区间

22 （设ux2x，由u0则0x2 且log1u，ux11，如图：

222 u O 1 2 x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2 当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2 ∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大 值是（ ） A. 0

B. 1

23 C. 2 D. 3

aa （令f'(x)3xa3xx0

33 3

则xa或x3a 3a1，即a3 3 由已知f(x)在[1，)上为增函数，则 ∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2xa2为奇函数，则实数a 如：若f(x)x21 （∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a·20a20，∴a1） 即2012x， 又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x41求f(x)在1，1上的解析式。

2x （令x1，0，则x0，1，f(x)x

412x2x 又f(x)为奇函数，∴f(x)x

4114x2xx41 又f(0)0，∴f(x)x24x1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

x(1，0)x0x0，1）

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期

4

函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期） 又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb 即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx) 则f(x)是周期函数，2ab为一个周期 如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(x)的图象关于y轴对称 f(x)与f(x)的图象关于x轴对称 f(x)与f(x)的图象关于原点对称 f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称 f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称 f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称 将yf(x)图象左移a(a0)个单位右移a(a0)个单位yf(xa)

yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b  yf(xa)b下移b(b0)个单位 注意如下“翻折”变换：

5

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a （1）一次函数：ykxbk0 （2）反比例函数：y的双曲线。

kkk0推广为ybk0是中心O'(a，b) xxa2b4acb2 （3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线 2a4a2b4acb2b，，对称轴x 顶点坐标为 4a2a2a 开口方向：a0，向上，函数ymin4acb2

4a a0，向下，ymax4acb2

4a 6

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

0b2 如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

2af(k)0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0 （4）指数函数：yaxa0，a1  （5）对数函数ylogaxa0，a1 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0（6）“对勾函数”yxkk0 x 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

7

y k O k x 20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：a1(a0)，a amn0p

1(a0) paanm(a0)，amn1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0 logaM1logaMlogaN，loganMlogaM Nnlogax 对数恒等式：ax

对数换底公式：logab 21. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

logcbnlogambnlogab

logcam 如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令xytf(t)(t)f(t·t) ∴f(t)f(t)f(t)f(t) ∴f(t)f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

8

 如求下列函数的最值： （1）y2x3134x （2）y2x4 x32x2 （3）x3，y

x3 （4）yx49x （5）y4x2设x3cos，0，

9，x(0，1] x11l·R·R2） 22

R

1弧度 O R 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l·R，S扇

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 sinMP，cosOM，tanAT

y T B S P α O M A x

如：若0，则sin，cos，tan的大小顺序是8

又如：求函数y12cosx的定义域和值域。 2 （∵12cosx）12sinx0 2 9

∴sinx2，如图： 2

∴2k5x2kkZ，0y12 44 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对

称轴吗？

sinx1，cosx1

y ytgx x   O  22

对称点为k

，0，kZ 2 ysinx的增区间为2k，2kkZ 22 10

减区间为2k，2kkZ 22 图象的对称点为k，0，对称轴为xk ycosx的增区间为2k，2kkZ 减区间为2k，2k2 图象的对称点为k3kZ 2kZ

，0，对称轴为xkkZ

2，k2kZ 2 ytanx的增区间为k 26. 正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx （1）振幅|A|，周期T2 || 若fx0A，则xx0为对称轴。

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。 （2）五点作图：令x依次为0，（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

3，，，2，求出x与y，依点 22

(x1)0 如图列出

(x2)2 解条件组求、值

11

正切型函数yAtanx，T || 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：cosx （∵x23，x，，求x值。 622375513，∴x，∴x，∴x） 26636412

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数ysinxsin|x|的值域是 （x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2） 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换） 平移公式：

x'xha(h，k) （1）点P（x，y） P'（x'，y'），则y'yk平移至 （2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0 如：函数y2sin2x图象？

（y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的 41横坐标伸长到原来的2倍1y2sin2x1 4241个单位42sinx1y2sinx1上平移y2sinx 4左平移个单位12ysinx） 纵坐标缩短到原来的倍 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sincossectantan·cotcos·sectan2222 4cos0……称为1的代换。 2 “k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2sin“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

12

如：cos97tansin2164

又如：函数y A. 正值或负值

sintan，则y的值为coscot

B. 负值

C. 非负值

D. 正值

sin2sincos1cos （y0，∵0）

coscos2sin1cossinsin 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

sin22sincos sinsincoscossin令coscoscossinsincos2cos2sin2 令tantantan22 2cos112sin 1tan·tan1cos22 1cos2sin22cos2tan2

2tan 1tan2

asinbcos sincosa2b2sin，tan 4 3b a2sin sin3cos2sin 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法：

（1）角的变换：如，…… 222 （2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 如：已知sincos21，tan，求tan2的值。

1cos23 13

sincoscos1 1，∴tan2sin22sin22 又tan

3 （由已知得：21tantan1 ∴tan2tan32）

1tan·tan12·1832 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

余弦定理：a2b2c22bccosAcosAb2c2a2 2bc （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

正弦定理：abca2RsinAsinAsinBsinC2Rb2RsinB c2RsinC S12a·bsinC ∵ABC，∴ABC ∴sinABsinC，sinABC2cos2 如ABC中，2sin2AB2cos2C1 （1）求角C；

（2）若a2b2c22，求cos2Acos2B的值。 （（1）由已知式得：1cosAB2cos2C11

又ABC，∴2cos2CcosC10

∴cosC12或cosC1（舍） 又0C，∴C3

（2）由正弦定理及a2b2122c得：

2sin2A2sin2Bsin2Csin2334 1cos2A1cos2B34

14

∴cos2Acos2B3） 4 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦：arcsinx，，x1，1 22 反余弦：arccosx0，，x1，1

 反正切：arctanx，，xR 22 34. 不等式的性质有哪些？

c0acbc （1）ab，

c0acbc （2）ab，cdacbd （3）ab0，cd0acbd （4）ab01111，ab0 ababnnn （5）ab0ab，nab

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa 如：若2110，则下列结论不正确的是（ab2）

A.abB.abb2

C.|a||b||ab| 答案：C

35. 利用均值不等式：

D.ab2 baab a2b22aba，bR；ab2ab；ab求最值时，你是否注

22意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：

a2b2ab2ababa，bR 22ab 当且仅当ab时等号成立。

15

a2b2c2abbccaa，bR 当且仅当abc时取等号。 ab0，m0，n0，则

bbmana1 aambnb4 如：若x0，23x的最大值为x

（设y23x

42212243 x 当且仅当3x423，又x0，∴x时，ymax243） x3

又如：x2y1，则2x4y的最小值为 （∵2x22y22x2y221，∴最小值为22） 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 如：证明1 （1111…2 22223n111111……1…… 2221223n1n23n11

11111……223n1n212）n

37.解分式不等式f(x)aa0的一般步骤是什么？ g(x) （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x1x20

16

23 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x3|x11 （解集为x|x1） 2 41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题 如：设f(x)xx13，实数a满足|xa|1 求证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明：|f(x)f(a)||(xx13)(aa13)|

222|(xa)(xa1)|(|xa|1) |xa||xa1||xa1|

|x||a|1 又|x||a||xa|1，∴|x||a|1 ∴f(x)f(a)2|a|22|a|1

（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：af(x)恒成立af(x)的最小值 af(x)恒成立af(x)的最大值 af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是 （设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和 umin325，∴5a，即a5

或者：x3x2x3x25，∴a5） 43. 等差数列的定义与性质

定义：an1and(d为常数)，ana1n1d

17

等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sna1annna21nn12d

性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列； Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m1； bmT2m12 （5）an为等差数列Snanbn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

2 Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值；或者求出an中的正、负分界

项，即：

当a10，d0，解不等式组an0可得Sn达到最大值时的n值。

a0n1an0 当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值。

a0n1 如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n （由anan1an233an13，∴an11 又S3

a1a3·33a221，∴a21 311na1anna2an1·n318 ∴Sn222 n27）

44. 等比数列的定义与性质

18

定义：an1q（q为常数，q0），ana1qn1 an 等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy

na1(q1) 前n项和：Snna11q（要注意!）1q(q1)

性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq （2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么？

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法

如：a1n满足2a11122a2……2nan2n5 解：n1时，12a1215，∴a114

n2时，12a11122a2……2n1an12n15 12得：12nan2

∴a1n2n

∴a14(n1)n2n1(n2)

［练习］

数列an满足SnSn153an1，a14，求an （注意到aSn1n1Sn1Sn代入得：S4 n 又Sn14，∴Sn是等比数列，Sn4

n2时，anSnSn1……3·4n1

19

1

2

（2）叠乘法

例如：数列an中，a13，an1n，求an ann1 解：

a2aaa12n11·3……n·……，∴n a1a2an123na1n 又a13，∴an3 n （3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

n2时，a2a1f(2)a3a2f(3) 两边相加，得：

…………anan1f(n) ana1f(2)f(3)……f(n) ∴ana0f(2)f(3)……f(n) ［练习］

n1 数列an，a11，an3an1n2，求an

（an1n31） 2 （4）等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0 可转化为等比数列，设anxcan1x ancan1c1x 令(c1)xd，∴x ∴and c1dd是首项为a，c为公比的等比数列 1c1c1 ∴anddn1a1·c c1c1dn1dc c1c1 ∴ana1 20

［练习］

数列an满足a19，3an1an4，求an

4 （an83 （5）倒数法

n11）

例如：a11，an12an，求an

an2 由已知得：1an1an211 2an2an ∴1an111 an2 111 为等差数列，1，公差为a12an1111n1·n1 an22  ∴an2 n1 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：an是公差为d的等差数列，求1 k1akak1n 解：由n11111d0

ak·ak1akakddakak1n1111 ∴

aadaak1kk1k1kk1

1111111……da1a2a2a3anan1111da1an1

［练习］ 求和：1111…… 12123123……n 21

（an…………，Sn2 （2）错位相减法：

1） n1 若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项

和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

如：Sn12x3x4x……nx23n11

2

234n1nxn x·Snx2x3x4x……n1x2n1nxn 12：1xSn1xx……x x1时，Sn1xnxnn1x21x

x1时，Sn123……nnn12

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2……an1an相加

Snanan1……a2a1 2Sna1ana2an1……a1an…… ［练习］

x2111，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f 已知f(x)2341x2

x1 （由f(x)fx1x22x211 2221x1x11x1x2 ∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

121314 111113） 22 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为： Snp1rp12r……p1nrpnnn1r……等差问题 2 22

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p(1r)nx1rn1x1rn2……x1rx

n11rn1r1 x x11rr ∴xpr1rn1rn1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （1）分类计数原理：Nm1m2……mn （mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：Nm1·m2……mn （mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.

Annn1n2……nm1mn!mn

nm! 规定：0!1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.

nn1……nm1Amn! Cn mm!m!nm!Ammn 规定：Cn1 （4）组合数性质： CnCnmnmm101nn，CmCmnCnn1，CnCn……Cn2

0 50. 解排列与组合问题的规律是：

23

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 解析：可分成两类：

C. 12

D. 10

 （1）中间两个分数不相等，

有C55（种）

4

（2）中间两个分数相等 x1x2x3x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理

(ab)CnaCnan0n1n1n22nrrnbC2b…Crb…Cnnananb

rnr 二项展开式的通项公式：Tr1Cnarbr(r0，1……n)

Cn为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：

nr （1）对称性：Crr0，1，2，……，n nCn （2）系数和：CnCn…Cn2 CnCnCn…CnCnCn…2135024n101nn

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

n2；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式 1项，二项式系数为Cn2n1n1系数最大即第项及第1项，其二项式系数为Cn2Cn2

22 如：在二项式x1的展开式中，系数最小的项系数为表示）

24

11n1n1n（用数字

（∵n＝11

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第 由C11x6r11r126或第7项 2(1)r，∴取r5即第6项系数为负值为最小：

5 C11C11426 又如：12x2004a0a1xa2x2……a2004x2004xR，则

（用数字作答）

a0a1a0a2a0a3……a0a2004 （令x0，得：a01

令x1，得：a0a2……a20041

∴原式2003a0a0a1……a20042003112004） 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B 

（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B 的和（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 A·B

25

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A AA，AA

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 P(A)A包含的等可能结果m

一次试验的等可能结果的总数n （2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B) （3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB （4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

kk次的概率：Pn(k)Cknp1pnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；

C224 P12C1015 （2）从中任取5件恰有2件次品；

3C2C10 P2456

21C10 （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

26

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” ∴mC3·464

23C2443·4·64 ∴P3 3125102213 （4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序） ∴nA10，mC4A5A6

23C2104A5A6 ∴P4 521A105223 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法： （1）算数据极差xmaxxmin； （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距× 样本平均值：x频率 组距1x1x2……xn n12 样本方差：Sx1x2x2x2……xnx2

n 如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5 （） 6C15 56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

27

（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

 （3）单位向量|a0|1，a0a|a| （4）零向量0，|0|0



长度相等 （5）相等的向量ab

方向相同 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b0)存在唯一实数，使ba （7）向量的加、减法如图：



 OAOBOC  OAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。

（9）向量的坐标表示

 28

i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标

表示。

设ax1，y1，bx2，y2

则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2 ax1，y1x1，y1 若Ax1，y1，Bx2，y2

 则ABx2x1，y2y1  |AB|x2x12y2y12，A、B两点间距离公式

 57. 平面向量的数量积

（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。 为向量a与b的夹角，0，

B  b O  数量积的几何意义：

a D A

 a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。 （2）数量积的运算法则 ①a·bb·a

②(ab)ca·cb·c

29

 ③a·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2

注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c) （3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2 ①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20 ②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b| ab（b0，惟一确定） x1y2x2y10

③a|a|xy，|a·b||a|·|b|

222121 ④cos［练习］

a·b|a|·|b|x1x2y1y2xy·xy21212222

 （1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则 |abc| 答案：22

（2）若向量ax，1，b4，x，当x 答案：2

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b| 答案：13 58. 线段的定比分点

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在

o

时a与b共线且方向相同



l上且不同于P1、P2，若存在一实数，使P1PPP2，则叫做P分有向线段 P1P2所成的比（0，P在线段P1P2内，0，P在P1P2外），且 x1x2x1x2xx12，P为P1P2中点时， 

yy1y2yy1y212 30

如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3 则ABC重心G的坐标是yy2y3x1x2x3，1

33 ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面 线⊥线线⊥面面⊥面

判定性质线∥线线⊥面面∥面 线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b  线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b 三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则 a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

线面垂直：

P O a

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c

31

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b 面⊥a，面⊥a∥

a b 

60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° ＝0时，b∥或b

o

（3）二面角：二面角l的平面角，0180

oo 32

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。 证明：coscos·cos

A θ O β B C D α

（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

33

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（①arcsin36；②60o；③arcsin） 43 （3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与

面PCD所成的锐二面角的大小。

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）

61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

34

D C A B D1 C1 A1 B1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE 它们各包含哪些元素？ S正棱锥侧 V锥1C·h'（C——底面周长，h'为斜高） 21底面积×高 3 63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR2d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球4R，V球24R3 3 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

35

积为（ ） A.3B.4C.33D.6

答案：A

64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktany2y1，x1x2

x2x12 P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k （2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在） 斜截式：ykxb 截距式：xy1 ab 一般式：AxByC0（A、B不同时为零） （3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离dAx0By0CAB22

（4）l1到l2的到角公式：tank2k1

1k1k2 l1与l2的夹角公式：tank2k1

1k1k2 65. 如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1l1∥l2

A1C2A2C1 k1k2l1∥l2（反之不一定成立） A1A2B1B20l1⊥l2 k1·k21l1⊥l2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

36

68. 分清圆锥曲线的定义

椭圆PF1PF22a，2a2cF1F2 第一定义双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2

抛物线PFPK 第二定义：ePFPKc a 0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y

b O F1 F2 a x a2x c

x2y2 221ab0

ab a2b2c2



x2y2 221a0，b0

ab cab222

37

e>1 e=1 P 0x2y2x2y2 69.与双曲线221有相同焦点的双曲线系为220

abab 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？

△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。） 弦长公式P1P2 1kx21x24x1x2

21212y1y24y1y2 k 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

y P(x0,y0) K F1 O F2 x l

x2y2 221

aba2e，PF2ex0ex0a

PKc PF1ex0a

PF2 38

y A P2 O F x P1 B 2 y2pxp0

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mxny1与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

22线的斜率为2m，则的值为2n

答案：

m2 n2 73. 如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。 （由axx'yy'，bx'2ax，y'2by） 22 只要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y' （2）点A、A'关于直线l对称AA'⊥lAA'中点在l上

kAA'·kl1 

AA'中点坐标满足l方程xrcos74.圆xyr的参数方程为（为参数）

yrsin222xacosx2y2 椭圆221的参数方程为（为参数）

ybsinab 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法） 76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

39

40