含绝对值一次方程的解法

初中数学培优辅导讲义

含绝对值一次方程的解法

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|12x|3202［例1］解方程 (1) (2) 3|2x1|x0

解：| 1 – 2x | + 3 – 4 = 0 解：| 2x – 1 | = 3 + x ［x ≥ - 3］

| 1 – 2x | = 1 2x – 1 = 3 + x 或 2x – 1 = - (3 + x)

23

1 – 2x = 1或 1 – 2x = - 1 x 1 = 4 或 x 2 =

x 1 = 0 或 x 2 = 1

★当方程中只含有一个绝对值时，可将绝对值看作一个整体来求解，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，最终达到解方程的目的。

解含绝对值方程的总原则是设法去掉绝对值符号，化为一般方程。由绝对值的定义：

a|a|0aa0a0a0

可知，本题解法中，是先设法确定未知数的取值范围，从而得到绝对值中部分的正、负取值，最终达到去绝对值符号的目的。

【小试牛刀】

11|13x|041、| x – 2 | - 2 = 0 2、3 3、4 – 2 | 5 – x | = 3x

1714〖 x 1 = 4，x 2 = 0 〗 〖 x 1 =12，x 2 =12 〗 〖 x 1 = - 6，x 2 =5(舍) 〗

［例2］解方程 | x - | 2x + 1 | | = 3

解：x - | 2x + 1 | = 3 或 x - | 2x + 1 | = - 3

| 2x + 1 | = x – 3 ［x ≥ 3］ 或 | 2x + 1 | = x + 3 ［x ≥ - 3］

2x + 1 = x – 3 或 2x + 1 = - (x – 1) 或 2x + 1 = x + 3 或 2x + 1 = - (x + 3)

24x 1 = - 4 (舍) x 2 = 3(舍) x 3 = 2 x 4 = 3

∴ 原方程的解为 x4 1 = 2 ，x 2 =

3

【小试牛刀】

1、2 + | 3 - | x + 4 | | = 2x

15〖 x(舍)，xx 1 =3 2 = 9 (舍)， 3 = 3，x 4 =3(舍) 〗

2、| | | x – 1 | - 1 | - 1 | - 1 = 0

〖 x 1 = 4，x 2 = - 2，x 3 = 2，x 4 = 0 〗

［例3］解方程| 3x – 2 | + | x + 1 | = 10

2解：令3x – 2 = 0，x =3；令x + 1 = 0，x = - 1

2① 当x ＜ - 1时， ②当 – 1≤ x ＜3时 - (3x – 2) – (x + 1) = 10 - (3x – 2) + x + 1 = 10 - 3x + 2 – x – 1 = 10 - 3x + 2 + x + 1 = 10 2③当x ≥3时

3x – 2 + x + 1 = 10

3x + x = 10 + 2 – 1

- 3x – x = 10 – 2 + 1 - 3x + x = 10 – 2 – 1 4x = 11

11- 4x = 9 - 2x = 7 ∴ x =4

97∴ x =4 ∴ x = 2(舍)

119 ∴原方程的解为x 1 =4，x 2 =4

★由于零是正、负的分界点，因此解题中所用的分类方法常被称为“零点”法。在解题时应注意分段后各自求得的解是否在相应的取值范围内，从而确定它是否是原方程真正的解。

【小试牛刀】

1、| x – 4 | - | x + 3 | = 2

12 〗

〖 x =

2、15 + | 2x + 3 | - 2 | 2 – 3x | = 0

112 〗

〖 x 1 = - 2，x 2 =



3、| x – 2 | - 3 | x + 1| = 2x – 9

4〖 x = 3 〗

［思考］

1、已知ab < 0，且| a | = 2，| b | = 7，求 a + b的值

解：∵| a | = 2，∴a = ±2， ∵| b | = 7，∴b = ±7

又 ∵ab < 0， ∴a、b异号

2(7)5∴a + b = 275

答：a + b = - 5 或 a + b = 5

2、已知 | 3x – 2 | + | 2y + 3 | = 0，求 | x + y + 1 |的值

解：∵ | 3x – 2 | + | 2y + 3 | = 0

2x33x20y32 ∴ 2y30 ∴23111||∴| x + y + 1 | = | 32 | = 6 = 6

abcabbcacabc3、已知 abc > 0，求|a||b||c||ab||bc||ac||abc|的值

解：∵abc > 0

∴a、b、c为三正或二负一正

① 当a > 0，b > 0，c > 0时

abcabbcacabc原式 = abcabbcacabc = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7

② 不访设 a < 0，b < 0，c > 0

abcabbcacabc原式 = abcabbcacabc = - 1 – 1 + 1 + 1 – 1 – 1 + 1 = - 1

4、已知：| a | = a + 1，| x | = 2ax，求 | x – 1 | - | x + 1 | + 2的最小值与最大值

解：∵ | a | = a + 1

∴ a = a + 1 或 a = - (a + 1)

12

∴ 0x = 1 (无解) 或 a =

又 ∵ | x | = 2ax

∴ | x | = - x，∴x ≤ 0

令 x – 1 = 0，x = 1，令 x + 1 = 0，x = - 1

① 当 x ≤ - 1时

| x – 1 | - | x + 1 | + 2 = - (x – 1) + (x + 1) + 2

= - x + 1 + 4 + 1 + 2

= 4

② 当 – 1＜ x ≤ 0时

| x – 1 | - | x + 1 | + 2 = - (x – 1) – (x + 1) + 2

= - x + 1 – x – 1 + 2

4(x1) = -2x + 2 = 2(x0)

答：| x – 1 | - | x + 1 | + 2的最大值为4，最小值为2