2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2}，则A∩B=
A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{-2,-1,0,1,2} 解析：选A 2．设z=
1-i
+2i，则|z|= 1+i
1
A．0 B． C．1 D．2
21-i
解析：选C z=+2i=-i+2i=i
1+i
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析：选A
xy
4．已知椭圆C：2＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为
a41A． 3
1B． 2
2
2
2
C．
2 2
D．
22
3
解析：选C ∵ c=2，4=a-4 ∴a=22 ∴e=
2 2
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．122π B．12π C．82π D．10π
22
解析：选B 设底面半径为R,则(2R)=8 ∴R=2,圆柱表面积=2πR×2R+2πR=12π
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高考真题 高三数学
6．设函数f(x)=x+(a-1)x+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x
32
解析：选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x+x f′(x)=3x+1 f′(0)=1 故选D 7．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则→EB= 31A．→AB - →AC
44
13
B． →AB - →AC
44
31
C．→AB + →AC
44
13
D． →AB + →AC
44
3
2
1→→1111→→3→1→
解析：选A 结合图形，→EB=- (BA+BD)=- →BA-→BC=- →BA-(AC-AB)=AB - AC
22424448．已知函数f(x)=2cosx-sinx+2，则
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x) 的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x) 的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 35
解析：选B f(x)= cos2x+ 故选B
22
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面
上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
2
2
A．217 B．25 C．3 D．2 解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长
0
10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为 A．8 B．62 C．82 D．83
0
解析：选C ∵AC1与平面BB1C1C所成的角为30 ，AB=2 ∴AC1=4 BC1=23 BC=2 ∴CC1=22 V=2×2×22=82
2
11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos2α=，
3则|a-b|= 1A． 5
B．
5 5
C．25
5
D．1
225112222
解析：选B ∵cos2α= 2cosα-1= cosα= ∴sinα= ∴tanα=
33665
又|tanα|=|a-b| ∴|a-b|=
2，x≤0
12．设函数f(x)=
1，x>0
-x
5
5
，则满足f(x+1)< f(2x)的x的取值范围是
A．(-∞,-1] B．(0,+ ∞) C．(-1,0) D．(-∞,0)
-x-1-2x
解析：选D x≤-1时，不等式等价于2<2,解得x<1,此时x≤-1满足条件
-2x
-1 第 2 页 共 7 页 高考真题 高三数学 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 2 13．已知函数f(x)=log2(x+a)，若f(3)=1，则a=________． 解析：log2(9+a)=1,即9+a=2,故a=-7 x-2y-2≤0 14．若x，y满足约束条件x-y+1≥0 ， 则z=3z+2y的最大值为_____________． y≤0 解析：答案为6 22 15．直线y=x+1与圆x+y+2y-3=0交于A,B两点，则|AB|=________． 解析：圆心为(0,-1),半径R=2,线心距d=2,|AB|=2R-d=22 222 16．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b+c-a=8，则△ABC的面积为________． 1 解析：由正弦定理及bsinC+csinB=4asinBsinC得2sinBsinC=4sinAsinBsinC ∴sinA= 2 由余弦定理及b+c-a=8得2bccosA=8,则A为锐角，cosA=123 ∴S=bcsinA= 23 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） an 已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2(n+1)an，设bn=． n（1）求b1,b2,b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式． 2(n+1) 解：（1）由条件可得an+1=an． n 将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4． 将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12． 从而b1=1，b2=2，b3=4． （2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． an+12an 由条件可得=，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． n+1nann-1n-1 （3）由（2）可得=2，所以an=n·2． n 18．（12分） 0 如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,∠ACM=90，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； 2 （2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q-ABP的体积． 3 2 2 2 2 2 383, ∴bc= 23 第 3 页 共 7 页 高考真题 高三数学 18．解：（1）由已知可得，∠BAC=90°，BA⊥AC． 又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD． 又AB平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC． （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32． 2 又BP=DQ=DA，所以BP=22． 31 作QE⊥AC，垂足为E，则QE//DC，且QE=DC． 3 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1． 1110 因此，三棱锥Q-ABP的体积为V=×QE×SΔABP=×1××3×22×sin45=1 332 19．（12分） 3 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 频数 日用水量 频数 [0,0.1) 1 [0,0.1) 1 [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7) 3 [0.1,0.2) 5 2 [0.2,0.3) 13 4 [0.3,0.4) 10 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 [0.4,0.5) 16 [0.5,0.6) 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图： （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 解：（1） 第 4 页 共 7 页 3 高考真题 高三数学 （2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48， 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 1 x1=(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48 50该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 1 x2=(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35 50 估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m)． 20．（12分） 2 设抛物线C:y=2x，点A(2,0),B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点． （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM=∠ABN． 解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）． 11 所以直线BM的方程为y=x+1或y=- x-1． 22 （2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN． 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x-2)( (k≠0))，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0． 222 代y=k(x-2)入y=2x消去x得ky–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4． ky1y2x2y1+x1y2+2(y1+y2) 直线BM，BN的斜率之和为kBM+kBN=+=．① x1+2x2+2(x1+2)( x2+2)y1y2 将x1=+2，x2=+2及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得 kkx2y1+x1y2+2(y1+y2)= 2y1y2+4k(y1+y2)-8+8 = =0 kk 3 所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以，∠ABM=∠ABN． 21．（12分） x 已知函数f(x)=ae-lnx-1． （1）设x=2是f(x)的极值点．求a，并求f(x)的单调区间； 1 （2）证明：当a≥时，f(x)≥0． e 第 5 页 共 7 页 高考真题 高三数学 1x 解：（1）f（x）的定义域为(0,+∞)，f ′（x）=ae–． x 由题设知，f ′（2）=0，所以a=从而f（x）= 12． 2e 1x1x12e-lnx-1，f ′（x）=2e- ． 2e2ex 当0 所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． 1e （2）当a≥时，f（x）≥ -lnx-1． ee ee1设g（x）= -lnx-1，则g ′（x）= – eex 当0 故当x>0时，g（x）≥g（1）=0． 1 因此，当a≥时，f(x)≥0． e （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xoy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 2 线C2的极坐标方程为ρ+2ρcosθ-3=0. （1）求C2的直角坐标方程； （2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程. 22 解：（1）C2的直角坐标方程为(x+1)+y=4． （2）由（1）知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆． 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2． 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． |-k+2|4 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2=2，故k= - 或k=0． 3k+14 经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= - 时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点． 3当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以 |k+2| 4 =2，故k=0或k=- ． 2 3k+1 x x x 4 经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k= 时，l2与C2没有公共点． 34 综上，所求C1的方程为y= - |x|+2． 3 23．[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. （1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围. -2 x<-1 2x -1≤x≤11 解:（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞)． 2 x>12 （2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立． 第 6 页 共 7 页 高考真题 高三数学 若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1； 22 若a>0，|ax-1|<1的解集为(0, )，所以≥1，故(0,2]． aa综上，a的取值范围为(0,2]． 第 7 页 共 7 页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容