2018-2019学年度九年级上学期数学期末试卷
一、选择题（本大题共5小题，共15分）
2
1. 一元二次方程x+2x+1=0的根的情况（ ）
A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
2. 有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，
小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 极差
2
3. 下列关于二次函数y=-x-2x+3说法正确的是（ ）
A. 当 时，函数最大值4 B. 当 时，函数最大值2
C. 将其图象向上平移3个单位后，图象经过原点 D. 将其图象向左平移3个单位后，图象经过原点 4. 如图，P为▱ABCD边AD的中点，E、F分别是PB、PC上的点，且 ， 则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 如图，AB是⊙O的弦，AB=a，C是圆O上的一个动点，且
∠ACB=45°，若点D、E分别是AB、BC上的点， ，则DE的最大值是（ ）
A. B.
C.
D.
二、填空题（本大题共12小题，共24分） 6. 已知 = ，则 =______．
7. 一组数据：80，75，85，90，80的中位数是______． 8. 如图，⊙O是 ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的
度数是______°．
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2
9. 已知x=-1是关于x的一元二次方程x+ax+b=0的一个实数根，则代数式2019-a+b
的值为______．
D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC， ，10. 如图，在 ABC中，
DE=6，则BC=______．
2
11. 当实数m满足______条件时，一元二次方程x-2x-m=0有两个不相等的实数根． 12. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高
BC=12.4m，为1.2m，测得AB=1.6m，则楼高CD为______m．
2
13. 已知点（-1，m）、（2，n）在二次函数y=ax-2ax-1的图象上，如果m＞n，那么
a______0（用“＞”或“＜”连接）．
2
14. 已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为8cm，它的侧面积为______cm．
2
15. 已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应
关系： x y …… …… 3 3.5 5 3.5 7 -2 …… …… 则a+b+c=______．
22
16. 二次函数y=ax+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax+bx+k-1=0没有
实数根，则k的取值范围为______．
AB=6，AC=8，17. 如图，在Rt ABC中，已知∠BAC=90°，
点D是AC上的一点，将 ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点C落在BC边上的点E处，连接AE、DE，当∠CDE=∠AEB时，AE的长是______． 三、计算题（本大题共1小题，共7分）
18. 如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
（1）求证： ABE∽ ECF；
（2）若AB=3，AD=7，BE=2，求FC的长．
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四、解答题（本大题共9小题，共74分） 19. 解下列方程：
22
（1）2（x-3）=x-9；
2
（2）2y+4y=y+2．
20. 甲口袋有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2，乙口袋中装有3个相同的小
球，它们分别写有数字3、4、5，从这两个口袋中各随机地取出1个球． （1）用“树状图法”或“列表法”表示所有可能出现的结果； （2）取出的两个小球上所写数字之和是偶数的概率是多少？
21. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人
十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1
分． 运动员甲测试成绩表 测试序号 1 2 6 3 8 4 7 5 7 6 5 7 8 8 7 9 8 10 7 成绩（分） 7 第3页，共22页
（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；
（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你
2
S乙2=0.4、认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲=0.8、
S丙2=0.8）
22. 关于x的一元二次方程x2-x-（m+2）=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．
上一点，P为 PC． 正方形ABCD内接于⊙O，连接PD、23. 如图，
（1）∠CPD=______°．
（2）若DC=4，CP=2 ，求DP的长．
24. 已知二次函数y= -3x+ ．
（1）该二次函数图象与x轴的交点坐标是______；
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2
（2）将y= 化成y=a（x-h）+k的形式，并写出顶点坐标；
（3）在坐标轴中画出此抛物线的大致图象； （4）写出不等式 ＞0的解集．
25. 为积极绘就我市“一福地、四名城”建设的宏伟蓝图，某镇大力发展旅游业，一店
铺专门售卖地方特产“曲山老鹅”，以往销售数据表明，该“曲山老鹅”每天销售数量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数y=- x+110，每只“曲山老鹅”各项成本合计为20元/只．
（1）该店铺“曲山老鹅”销售单价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
（2）该店店主关心教育，决定今后的一段时间从每天的销售利润中捐出200元给当地学校作为本学期优秀学生的奖励资金，为了保证该店捐款后每天剩余利润不低于4000元，试确定该“曲山老鹅”销售单价的范围．
26. 如图， ABC中，AB=AC，AB是⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，点E在AC上，
且∠ADE=∠B．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求 ABC的面积．
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27. 已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），顶点为D，
点C是直线l：y=x+5与x轴的交点． （1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是直线l在第三象限上的点，连接EA、EB，当 ECA∽ BCE时，求E点的坐标；
BD，（3）在（2）的条件下，连接AD、在直线DE上是否存在点P，使得∠APD=∠ADB？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】B 【解析】
2
1×1=0， 解：∵ =2-4×
2
∴一元二次方程x+2x+1=0有两个相等的实数根；
故选：B．
先求出 的值，再根据 ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； =0⇔方程有两个相等的实数； ＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可． 此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （1） ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2） =0⇔方程有两个相等的实数根； （3） ＜0⇔方程没有实数根． 2.【答案】C 【解析】
解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，
第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少． 故选：C．
9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、极差、方差的意义． 3.【答案】A 【解析】
22
解：y=-x-2x+3=-（x+1）+4．
A、抛物线顶点坐标是（-1，4），且开口方向向下，则当x=-1时，函数最大值4，故本选项正确．
B、抛物线顶点坐标是（-1，4），且开口方向向下，则当x=-1时，函数最大值4，
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故本选项错误．
C、将其图象向上平移3个单位后得到y=-（x+1）2+7，图当x=0时，y=6，即该函数图象不经过原点，故本选项错误．
D、将其图象向左平移3个单位后得到y=-（x+5）2+7，图当x=0时，y=-18，即该函数图象不经过原点，故本选项错误． 故选：A．
将抛物线解析式转化为顶点式，然后利用二次函数的性质对四个选项逐一判断即可得到答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特证，以及二次函数的最值的求法，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断．
4.【答案】C 【解析】 解：∵
∴ PEF∽ PBC， ∴
=（
2
）=，
，∠EPF=∠BPC，
∵P为▱ABCD边AD的中点， ∴S PAB=∴故选：C．
证明 PEF∽ PBC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5.【答案】D 【解析】
S PBC， =，
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解：∵∴
．
，
∵∠ABC=∠DBE， ∴ BDE∽ BAC， ∴
．
∴当AC取得最大值时，DE就取得最大值， 当AC是直径时，最大，即AC′最大， 如图，DE′最大．
，AB=a， ∵∠AC′B=∠ACB=45°
， ∴AC′=∴DE′=
AC′=
，
故选：D．
根据已知条件可以证明 BDE∽ BAC，所以当DE最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候AC的值最大，有一定的难度． 6.【答案】 【解析】
解：∵=，
∴设a=5k，b=2k， 则
=
． =
．
故答案为：
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根据比例设a=5k，b=2k，然后代入比例式计算即可得解． 本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便． 7.【答案】80 【解析】
解：将数据重新排列为75，80，80，85，90， 所以这组数据的中位数是80， 故答案为：80．
由中位数的意义知，先把数据按由小到大顺序排序，若数据个数为偶数，则取中间两数的平均数，若数据个数为奇数，则取中间的一个数．
本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 8.【答案】50 【解析】
解：根据圆周角定理，可知 ∠ACB=
∠AOB
而∠AOB=100°，
∴∠ACB=50°故答案为50．
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可知∠ACB=∠AOB，从而可求解．
本题考查的是圆周角定理的应用，准确把握定理内容并灵活运用是解题的关键．
9.【答案】2018
【解析】
2
解：把x=-1代入方程x+ax+b=0得1-a+b=0，
所以-a+b=-1，
所以2019-a+b=2019-1=2018． 故答案为2018．
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2
把x=-1代入方程x+ax+b=0得-a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算代数式
的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10.【答案】18 【解析】
解：∵DE∥BC， ∴ ADE∽ ABC， ∴又∵∴
， ， ，DE=6，
∴BC=18， 故答案为：18．
根据相似三角形的性质可得长．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
11.【答案】m＞-1 【解析】
2
1×解：由题意知 =（-2）-4×（-m）＞0，即4+4m＞0，
，再根据，DE=6，即可得出BC
解得：m＞-1， 故答案为：m＞-1．
2
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式 =b-4ac＞0，建立关于m的不等
式，求出m的取值范围．
22
此题考查了根的判别式．一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与 =b-4ac有
如下关系：（1） ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2） =0⇔方程有两个相等的实数根；（3） ＜0⇔方程没有实数根．
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12.【答案】10.5 【解析】
解：∵EB∥CD， ∴ ABE∽ ACD， ∴
=
，即
=
，
∴CD=10.5（米）． 故答案为10.5．
先证明 ABE∽ ACD，则利用相似三角形的性质得用比例性质求出CD即可．
本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
13.【答案】＞ 【解析】
2
解：∵二次函数的解析式为y=ax-2ax-1，
=，然后利
∴该抛物线对称轴为x=1， ∵|-1-1|＞|2-1|，且m＞n， ∴a＞0． 故答案为：＞．
二次函数的性质即可判定．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键． 14.【答案】48π 【解析】
解：圆锥母线长=8cm，底面半径r=6cm， 则圆锥的侧面积为S=πrl=π×6×8=48πcm2． 故答案为：48π．
根据圆锥的侧面积等于展开以后扇形的面积以及扇形的面积公式计算即可．
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此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
15.【答案】-2 【解析】
解：∵x=3，y=3.5；x=5，y=3.5， ∴抛物线的对称轴为直线x=4， ∴当x=1和x=7时函数值相等， 而x=7时，y=-2， ∴x=1时，y=-2， 即a+b+c=-2． 故答案为-2．
利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=4，则可判断当x=1和x=7时函数值相等，所以x=1时，y=-2，然后把x=1时，y=-2代入解析式即可得到a+b+c的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 16.【答案】k＜-1 【解析】
2
解：把关于x的一元二次方程ax+bx+k-1=0没有实数根看作为抛物线
y=ax2+bx与直线y=-k+1没有交点，
2
而当-k+1＞2时，直线y=-k+1与抛物线y=ax+bx没有交点， 2
所以当k＜-1时，关于x的一元二次方程ax+bx+k-1=0没有实数根．
故答案为k＜-1．
22
把关于x的一元二次方程ax+bx+k-1=0没有实数根看作为抛物线y=ax+bx
与直线y=-k+1没有交点，结合图象得到当-k+1＞2时，直线y=-k+1与抛物线y=ax2+bx没有交点，从而得到k的范围．
2
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，
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a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决此题的关键是数形结合的思想的运用．
17.【答案】
【解析】
解：由勾股定理可得BC=10．
分别过A、D点作AM、DN垂直于BC与M、N点． 根据折叠的性质可知∠C=∠DEC，EN=CN．
，∠DEC+∠AED+∠AEB=180°， ∵∠DEC+∠C+∠EDC=180°
已知∠EDC=∠AEB，∴∠AED=∠DCE=∠DEC，即ED平分∠AEC， 根据角平分线的性质可得DN=DA，设DN=DA=x，则CD=8-x． sinC=
，即
，解得x=3．
所以DN=3，CD=5，所以NC=4，EN=4，所以BE=10-4-4=2． sinB=
，即
，解得AM=4.8．
在Rt ABM中利用勾股定理可得BM=3.6， 则EM=3.6-2=1.6． 在Rt AEM中，AE=
=
分别过A、D点作AM、DN垂直于BC与M、N点，利用三角形内角和180°，以及平角180度，推导出ED平分∠AEC，则DA=DN，设DN=DA=x，则CD=8-x，利用三角函数求出ED、DN长，从而确定了EN和CN长为4，可求BE=2，利用三角函数知识求出AM、BM值，最后在Rt AEM中利用勾股定理求的AE长．
本题主要考查了翻折的性质、解直角三角形、勾股定理，综合性较强，熟练运用三角函数解直角三角形中线段问题是解题的捷径． 18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，
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∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB， 又∵∠DAE=∠F， ∴∠AEB=∠F， ∴ ABE∽ ECF，
（2）解：∵ ABE∽ ECF， ∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=7．
∴EC=BC-BE=7-2=5． ∴ ， ∴
．
【解析】
（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB，又因为∠DAE=∠F，进而可证明： ABE∽ ECF，由相似三角形的性质即可证得结论； （2）由（1）可知： ABE∽ ECF，可得
，由平行四边形的性质可知
BC=AD=7，所以EC=BC-BE=7-2=5，代入计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
19.【答案】解：（1）2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，
（x-3）（2x-6-x-3）=0， x-3=0或2x-6-x-3=0， 所以x1=3，x2=9；
（2）2y（y+2）-（y+2）=0， （y+2）（2y-1）=0， y+2=0或2y-1=0， 所以y1=-2，y2= ． 【解析】
2
（1）把方程变形为2（x-3）-（x+3）（x-3）=0，然后利用因式分解法解方程；
（2）把方程变形为2y（y+2）-（y+2）=0，然后利用因式分解法解方程．
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本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 20.【答案】解：（1）画树状图得：
则共有6种等可能的结果；
（2）∵取出的两个小球上所写数字之和是偶数的有3种情况， ∴取出的两个小球上所写数字之和是偶数的概率是： = ． 【解析】
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由（1）中的树状图求得取出的两个小球上所写数字之和是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：（1）甲运动员测试成绩中7出现最多，故甲的众数为7；
甲成绩重新排列为：5、6、7、7、7、7、7、8、8、8， ∴甲的中位数为
=7，
∴甲测试成绩的众数和中位数都是7分；
（2） 甲= ×（7+6+8+7+7+5+8+7+8+7）=7， 乙=×（6+6+7+7+7+7+7+7+8+8）=7， 丙=×2+6×4+7×3+8×1）=6.3， （5×
22
∵ 甲= 乙，S甲＞S乙，
∴选乙运动员更合适． 【解析】
（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分； （2）易知
=7，
=7，
=6.3，根据方差的意义不难判断．
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本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键． 22.【答案】解：
2
（1）∵方程x-x-（m+2）=0有两个不相等的实数根，
2
∴（-1）+4（m+2）＞0，
解得 ＞ ； （2）∵ ＞ ， ∴m的最小整数为-2，
2
∴方程为x-x=0， 解得x=0或x=1． 【解析】
（1）由方程有两个不相等的实数根，根据判别式可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；
（2）由m的取值范围，可求得其最小整数值，代入方程，解方程即可． 本题主要考查根的判别式，由根的情况得到关于m的不等式是解题的关键． 23.【答案】45 【解析】
解：（1）如图，连接BD， ∵正方形ABCD内接于⊙O，P为， ∴∠DBC=45°
∵∠CPD=∠DBC，
． ∴∠CPD=45°故答案为：45°．
（2）如图，作CH⊥DP于H， ，∠CPD=45°， ∵CP=2
∴CH=PH=2， ∵DC=4， ∴DH=
∴DP=PH+DH=2+
．
，
上一点，
（1）连接BD，根据正方形ABCD内接于⊙O，可得∠CPD=∠DBC=45°； （2）作CH⊥DP于H，因为CP=2
，∠CPD=45°，可得CH=PH=2，因为DC=4，
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所以DH=，即DP=PH+DH=2+．
本题考查圆周角定理，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握圆周角定理．
24.【答案】（1，0），（5，0） 【解析】 解：（1）当y=0时，
-3x+=0，解得x1=1，x2=5，
所以该二次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）； 故答案为（1，0），（5，0）； （2）y=
-3x+=
222
（x-6x）+=（x-6x+9-9）+=（x-3）-2，
所以二次函数图象的顶点坐标为（3，2）； （3）当x=0时，y=如图，
x2-3x+=，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，），
（4）不等式（1）解方程
＞0的解集为x＜1或x＞5．
-3x+=0，解得该二次函数图象与x轴的交点坐标；
2
（x-3）-2，从而得到抛物线的顶点坐标；
（2）利用配方法得到y=
（3）利用描点法画出二次函数的图象；
（4）利用函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
2
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，
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a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
25.【答案】解：（1）设利润为w，
由题意可得：w=（x-20）y=（x-20）（- x+110） =-x2+120x-2200
=- （x-120）2+5000，
则该店铺“曲山老鹅”销售单价x定为120元时，每天获利最大，最大利润是5000元；
2
（2）由题意可得：w-200=- （x-120）+5000-200=4000，
解得：x1=80，x2=160，
故为了保证该店捐款后每天剩余利润不低于4000元，试确定该“曲山老鹅”销售单价的范围为：80≤x≤160． 【解析】
（1）直接利用总利润=销量×每只利润，进而利用配方法求出函数最值； （2）利用w-200=4000，进而结合二次函数增减性得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
26.【答案】解：（1）
连接OD．
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∴∠B+∠BAD=90°
∵AO=DO
∴∠BAD=∠ADO ∵∠ADE=∠B，
∴∠ADO+∠ADE=∠BAD+∠B=90°， 即∠ODE=90°． ∴OD⊥DE
∵OD是⊙O的半径 ∴DE是⊙O的切线．
（2）由（1）知，∠ADB=90°． ∴AD⊥BC ∵AB=AC
∴AD是 ABC的中线
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∴点D是BC的中点 又∵OB=OA
∴DO是 ABC的中位线 ∵⊙O的半径为5 ∴AC=2DO=10 ∵CE=2
∴AE=AC-CE=8
∵DO是 ABC的中位线 ∴DO∥AC
∴∠EDO+∠AED=180°
∴∠AED=90°
∴∠AED=∠DEC=90° ∴∠EDC+∠C=90°
-∠ADB=90° ∵ADC=180°
∴∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠C
∵∠AED=∠DEC，∠ADE=∠C ∴ AED～ DEC ∴ 即 ∴DE=4
∴S ADC= AC•DE=20 ∵AD是 ABC的中线 ∴S ABC=2S ADC=40 【解析】
（1）连接OD，证明OD⊥DE即可．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，因此∠B+∠BAD=90°．因为AO=DO，所以∠BAD=∠ADO．因为∠ADE=∠B，所以，即∠ODE=90°．可证DE是⊙O的切线． ∠ADO+∠ADE=90°
（2）由AB=AC，∠ADB=90°可得点D是BC的中点，所以 ABC的面积是 ADC面积的2倍．因为点O是AB的中点，点D是BC的中点，可得AC=2DO=10，∠AED=180°-∠ODE=90°．因为CE=2，所以AE=8，根据射影定
2
理DE=AE•CE，所以DE=4，所以S ABC=2S ADC=2×（
×AC•DE）=40．
本题考查了三角形中位线、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质．圆的切线的判定，分两种情况：1．已知半径证垂直；2．作出垂直证半径，常见第
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一种情况．在中学数学，求线段的长，常见的就是利用勾股定理列方程或利用相似三角形的性质求解，在解题过程中注意合理选择． 27.【答案】解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：
，解得： ，
2
∴该二次函数的表达式为y=x-2x-3． （2）当y=0时，x+5=0， 解得：x=-5，
∴点C的坐标为（-5，0）． ∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）， ∴AC=4，BC=8． ∵ ECA∽ BCE，
∴∠ECA=∠BCE， = ，即=，
∴EC=4 或EC=-4 （舍去）．
过点E作EF⊥x轴于点F，如图1所示．
∵直线l的函数表达式为y=x+5，
∴ CEF为等腰三角形， ∴CE=EF=4，
∴OF=5+4=9，EF=4，
∴点E的坐标为（-9，-4）．
22
（3）∵y=x-2x-3=（x-1）-4， ∴点D的坐标为（1，-4）， ∴AD=BD=
=2 ． 由（2）可知：点E的坐标为（-9，-4），
∴直线DE的函数表达式为y=-4． 过点A作AM⊥BD于点M，过点
A作AN⊥直线DE于点N，如图2所示．
∵点D的坐标为（1，-4），点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）， [3-（-1）]×4=8， ∴S ABD= ×∴AM=
= = ，
∴DM= = ．
∵∠APD=∠ADB，
∴tan∠APD=tan∠ADB，即 = ，
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∴ =
，
∴PN=3．
又∵点N的坐标为（-1，-4），
∴点P的坐标为（-4，-4）或（2，-4）．
综上所述：在直线DE上存在点P（-4，-4）或（2，-4），使得∠APD=∠ADB． 【解析】
（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点A，B的坐标利用相似三角形的性质可求出EC的值，过点E作EF⊥x轴于点F，则 CEF为等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质可求出CE，EF的值，进而可得出点E的坐标；
（3）利用配方法可求出点D的坐标，进而可得出BD的长度，结合点E的坐标可得出直线DE的函数表达式为y=-4，过点A作AM⊥BD于点M，过点A作AN⊥直线DE于点N，利用面积法可求出AM的值，由∠APD=∠ADB结合正切的定义可求出PN的值，再结合点N的坐标可得出点P的坐标，此题得解． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的性质、等腰直角三角形、三角形的面积以及正切的定义，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数的表达式；（2）利用相似三角形的性质求出EC的长；（3）利用等角的正切相等，求出PN的长．
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