角AOB=45度,P是角AOB内一点,PO=10，Q、P分别是OA,OB上的动点。三角形PQR周长最
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发布时间：2022-04-22 09:46
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时间：2023-10-30 17:00
Q,R分别是OA,OB上的点，设P关于OA的对称点为P1，关于OB的对称点为P2，则
PQ=P1Q,PR=P2R,
∴△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R<=P1P2，
当P1，Q,R,P2共线时取等号，
这时，∠AOB=45°，∴∠P1OP2=90°，PO=10，P1P2=10√2，
设PP1=x,则PP2=10√2-x,设∠OPP1=a,则∠OPP2=180°-a,
由余弦定理，OP1^2=100+x^2-20xcosa,
OP2^2=100+(10√2-x)^2+20(10√2-x)cosa,
由OP1^2+OP2^2=P1P2^2得x^2-20xcosa+(10√2-x)^2+20(10√2-x)cosa=0，
2x^2-20(√2+2cosa)x+200+200√2coa=0,
x^2-10(√2+2cosa)x+100+100√2coa=0,
△/4=25(√2+2cosa)^2-(100+100√2cosa)
=-50+100(cosa)^2
=50cos2a=0,
a=45°，
答：∠QPO,∠RPO分别是45°，135°.
