怎么证明自然对数e的两种定义是等价的？
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热心网友
我来给你说说吧：
e=lim(1+ 1/n)^n ------(n→+∞) 这个是e的定义。
下面就来给你说为什么 e=1/0!+ 1/1! +1/2! +1/3! +....1/n!
令 An=(1+ 1/n)^n
=1^n + n*1/n + (1/2！)*(1- 1/n) + （1/3！）*（1-1/n)(1-2/n) +...+ （1/n！）*（1-1/n)(1-2/n)....(1- (n-1)/n)
An是单调增的序列 把 第k+1，k+2.....n 项去掉得到：
An> 2+(1/2！)*(1- 1/n) + （1/3！）*（1-1/n)(1-2/n)+.....+（1/k！）*（1-1/n)(1-2/n)....(1- (k-1)/n) =Xk
固定k让n 趋近无穷 ,那么括号里面全都是1，就有：
e>2+ 1/2! +1/3! +1/4!+...+1/k! = Yk >Xk
可以看出 对于任何自然数k 恒有不等式：
Xk< Yk < e
当k趋近于无穷大时 有Xk=e 根据夹*准则有 Yk =e ---(k→+∞）
所以有 e = 1/0! +1/1! +1/2! +1/3!+....+1/n!
你上大学后就明白了
突然想到可以给你换个说法：
当 n 等于一个具体的数时，这两个东西不相等
比如 n=100
(1+ 1/100)^100 ≠ 1/0! +......+1/100!
但是当n趋近于无穷大时 它们都=e.
你必须清楚“趋近于无穷大”这个概念你才能理解这个东西
参考资料：菲赫金哥尔茨 写的微积分教学
热心网友
定义:e=(i=1,n)∑1/i
而lim(x->00)(1+1/x)^x=1+C(1,X)1/X+C(2,X)1/X^2+.....C(X,X)X^X=(i=1,n)∑1/i
就是多项式的展开
C(M,N):从N中取M排列
热心网友
高数上有自己看
