高一基本不等式
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发布时间：2022-04-21 04:26
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热心网友
时间：2022-06-17 23:35
一般结论 （ab）^n + 1/(ab)^n >= 4^n + 1/4^n
证明：由a>0,b>0,a+b=1，易知 0<ab<=1/4
令x=ab， （0<x<=1/4)
构造函数
f(x)= x^n +1/x^n （0<x<=1/4)
对f（x）求导，f(x)'= n*(x^2n -1)/x^(n+1)
由于0<x<=1/4，那么x^2n -1 <0
从而f（x)'<0
∴ f(x)在（0，1/4]上为减函数
∴ f(x)>= f(1/4)
=4^n + 1/4^n
证毕
当然 楼主也可以采用高一的人教版课本证明函数单调性的方法 ，
在（0，1/4]上任取x1，x2且x1<x2
那么f(x1)-f(x2)
=x1+1/x1 -(x2+ 1/x20
=（x1^n -x2^n)[1- 1/(x1x2)^n]
两部分正负情况楼主自己考虑下
∴f(x1)>f(x2)
又∵x1<x2
所以.......
所以那个特殊不等式（n=2)的证明方法楼主可以自己写出来了
