给定三点,求到三点距离之和最小的点
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发布时间：2022-04-24 22:31
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时间：2023-10-13 10:39
分为两种情况：
1、如果三点共线，那么到三点距离之和最小的点就是中间的那个点。
2、如果三点不共线，则这三点可构成一个三角形，此时此点就是费马点。
费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”。
“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
扩展资料
求费马点举例:
有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：
在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。
解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点 即为所求P点。
证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。
∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆
∴∠APB=120° ， ∠APD=∠ABD=60°
同理：∠APC=∠BPC=120°
以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，
以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°
∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF重合。
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心
将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。
则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。
从而CD为最短的线段。
以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。
参考资料来源：百度百科-费马点
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时间：2023-10-13 10:39
1、三点共线，则到三点距离之和最小的点就是中间的那个点。
2、三点不共线，则这三点可构成一个三角形，此时此点就是费马点。
若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
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相关证明：
如图，以△ABC三边为边向外作等边△ABD、△BCE、△ACF，
连接CD、BF、AE交于点O，试证：O是费马点。
证明：在△ACD、△ABF中，
AD=AB
∠DAC=∠BAF
AC=AF
∴△ACD≌△ABF(SAS)
∴∠ADC=∠ABF
∴A、B、O、D四点共圆。
∴∠AOB=120°。
同理可得，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°。
过点A、B、C作OA、OB、OC的垂线交于三点R、S、T，易知△RST
是正三角形。
在△ABC内作异于O一点G，作RS、ST、RT的垂线GX、GY、GZ，连
接GA、GB、GC。
易用面积法得：OA+OB+OC=GX+GY+GZ。
∵点到线之间，垂线段最短，
∴OA+OB+OC=GX+GY+GZ<GA+GB+GC
∴点O是费马点。
参考资料来源：百度百科-费马点
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时间：2023-10-13 10:40
1.三点共线，则到三点距离之和最小的点就是中间的那个点
2.三点不共线，则这三点可构成一个三角形，此时此点就是费马点。
费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”.
引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：
在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。
解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点 即为所求P点。
证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。
∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆
∴∠APB=120° ， ∠APD=∠ABD=60°
同理：∠APC=∠BPC=120°
以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，
以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°
∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF重合。
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心
将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。
则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。
从而CD为最短的线段。
以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。
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时间：2023-10-13 10:40
作三条边的垂直平分线，交点就是三角形外接圆的圆心，也称外心，该点到三顶点的距离之和最小。。。。。。。
