两道函数周期问题怎么求证?
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发布时间：2022-04-24 22:16
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时间：2023-10-13 01:26
1、已知f(a+x)=f(a-x)，因为f(x)是奇函数，所以f(a-x)= -f[-(a-x)]，第二式代入第一式得
f(a+x)= -f[-(a-x)]，变形得
f(x+a)= -f(x-a) ………………①
仿照①式的形式有
f(x+2a)= f[(x+a)+a]= -f[(x+a)-a]= -f(x) ………………②
仿照②式的形式有
f(x+4a)= f[(x+2a)+2a]= -f(x+2a)，将②式代入得
f(x+4a)= f(x)
所以函数f(x)的周期是4a
2、因为f(x)关于点（a，y0）对称，所以f(a+x)= -f(a-x)
因为f(x)关于x=b对称，所以f(b+x)=f(b-x)
将第一式的x换成x-b得f(a+x-b)= -f(a+b-x)
将第二式的x换成x-a得f(b+x-a)=f(a+b-x)
两式相加得
f[x+(b-a)]= - f[x-(b-a)] ………………①
仿照①式的形式有
f[x+2(b-a)]= f[x+(b-a)+ (b-a)]= -f[x+(b-a)- (b-a)]= -f(x) ………………②
仿照②式的形式有
f[x+4(b-a)]= f[x+2(b-a)+2(b-a)]= -f[x+2(b-a)]，将②式代入得
f[x+4(b-a)]= f(x)
所以函数f(x)的周期是4(b-a)
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时间：2023-10-13 01:26
1.f(a+x)=f(a-x)=-f(x-a)
同理f(x-a)=-f(x-3a) ∴f(x+a)=f(x-3a) 即f(x+4a)=f(x) 周期T=4a
2.f(a+x)+f(a-x)=2f(y0) f(b+x)=f(b-x)
令c=2f(y0) 即f(x)+f(2a-x)=c f(x)=f(2b-x)
∴f(x)=c-f(2a-x)=c-f(2b-2a+x) 同理f(2b-2a+x)=c-f(4b-4a+x)
∴f(x)=f(4b-4a+x) 周期T=4(b-a)
